1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

е. показательная функция ex возрастает быстрее любойположительной степени x при беспредельном возрастании x.1log x1x== lim= 0 (n > 0),2. limlimx→+∞ nxn−1x→+∞ nxnx→+∞ xnт. е. log x возрастает медленнее любой положительной степени x.1log xx=3. lim xn log x = limlim1−n =x→+0x→+0x→+0xnxn+1xn= 0 (n > 0).x→+0 n4. Найдем предел xx при стремлении x к (+0). Логарифмируя этовыражение, получим неопределенность вида 0 · ∞.

Эта неопределенностьв силу примера 3 даст в пределе нуль, а следовательно,= − limlim xx = 1.x→+05. Найдем предел отношенияlimx→∞x + sin x.x67]§ 6. Функция двух переменных203Числитель и знаменатель написанного отношения стремятся к бесконечности. Заменяя по правилу Лопиталя отношение функций отношением производных, получимlimx→∞1 + cos x.1Но 1 + cos x при беспредельном возрастании x ни к какому пределуне стремится, ибо cos x будет все время колебаться между (+1) и (−1);однако нетрудно видеть, что само данное отношение стремится к пределуsin xx + sin x= lim 1 += 1.limx→∞x→∞xxИтак, в этом случае неопределенность раскрывается, но правило Лопиталя ничего не дает. Этот результат не противоречит доказанной теореме, ибо в теореме утверждалось лишь то, что если отношение производных стремится к пределу, то к тому же пределу стремится и отношениефункций, но не наоборот.6.

Отметим еще неопределенность вида (∞ ± ∞). Она приводитсяобычно к неопределенности вида 00 . Например,11x + x2 − sin x−= limlim.2x→0x→0 (x + x2 ) sin xsin xx+xПоследнее выражение представляет собою неопределенность вида 00 .Раскрывая ее указанным выше способом, получим11−= 1.limx→0sin xx + x2§ 6. ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ67. Основные понятия. До сих пор мы рассматривали функцию одной независимой переменной. Рассмотрим теперь функциюдвух независимых переменных u = f (x, y).Для определения частных значений такой функции должныбыть заданы значения независимых переменных: x = x0 , y = y0 .Каждой такой паре значений x и y соответствует определенная точка M0 на координатной плоскости с координатами (x0 , y0 ), и вместо того, чтобы говорить о значении функции при x = x0 , y = y0 ,204Гл.

II. Понятие о производной и его приложения[67можно говорить о значении функции в точке M0 (x0 , y0 ) плоскости.Функция может быть определена на всей плоскости или только внекоторой ее части, в некоторой области. Если f (x, y) есть целыймногочлен от x, y, например,u = f (x, y) = x2 + xy + y 2 − 2x + 3y + 7,то можно считать, что эта формула определяет функцию на всейплоскости. Формулаpu = 1 − (x2 + y 2 )определяет функцию внутри окружности x2 + y 2 = 1 с центромв начале координат и радиусом единица и на самой окружности,где u = 0.

Аналогом промежутка на плоскости является область,определяемая неравенствами a1 6 x 6 b1 , a2 6 y 6 b2 . Это — прямоугольник со сторонами, параллельными осям, причем границаэтого прямоугольника также включается в область. Неравенстваa1 < x < b1 , a2 < y < b2 определяют только внутренние точки прямоугольника. Если граница области причисляется к ней, то областьназывается замкнутой. Если граница не причисляется к области,то область называется открытой [ср.

4]. Определим понятие предела для функции f (x, y) двух переменных [ср. 32]. Положим, чтофункция определена во всех точках M (x, y), достаточно близкихк точке M0 (a, b).О п р е д е л е н и е. Говорят, что число A есть предел f (x, y)при стремлении M (x, y) к M0 (a, b), и пишутlim f (x, y) = A,x→ay→bилиlim f (x, y) = A,M→M0если для любого заданного положительного числа ε существуеттакое положительное число η, что|A − f (x, y)| < ε,если |x − a| < ηи|y − b| < η.** Заметим, что x и y стремятся к своим предельным значениям a и b независимо друг от друга.67]§ 6.

Функция двух переменных205При этом предполагается, что исключена пара значений x = a,y = b (M не совпадает с M0 ). Если точка M0 лежит на границе той области, в которой определена f (x, y), то M , стремящаяся к M0 , должна принадлежать области, в которой определенафункция f (x, y). Пусть имеется какая-либо пронумерованная последовательность точек Mn (xn , yn ), стремящаяся к M0 (a, b), т.

е.такая, что последовательность xn имеет предел a, а последовательность yn — предел b. Можно доказать, что если последовательностьчисел un = f (xn , yn ) для любой такой последовательности точекMn (xn , yn ) имеет один и тот же предел A, то A есть предел f (x, y)при стремлении M (x, y) к M0 (a, b) в смысле сформулированноговыше определения.Положим, что f (x, y) определена в точках M0 (a, b) и во всехточках, достаточно близких к M0 (a, b) [ср. 32].О п р е д е л е н и е.

Функция f (x, y) называется непрерывной вточке M0 (a, b), еслиlim f (x, b),x→ay→bилиlim f (x, y) = f (a, b).M→M0Функция называется непрерывной в некоторой области, еслиона непрерывна в каждой точке этойобласти.pТак, например, функция u = 1 − x2 − y 2 непрерывна внутрикруга, в котором она определена. Про нее можно также сказать,что она остается непрерывной, если мы к кругу присоединим и егограницу, т. е. окружность, на которой u = 0.Пусть B — ограниченная замкнутая область на плоскости иf (x, y) — непрерывная в B функция (непрерывная внутри B ивплоть до границы B). Такая функция обладает свойствами, аналогичными свойствам функции одной независимой переменной,непрерывной в конечном замкнутом промежутке [35].

Доказательства этих свойств, по существу, те же, что и доказательства из [43].Сформулируем лишь результаты.1. Функция f (x, y) равномерно непрерывна в B, т. е. при любом заданном положительном числе ε существует такое положительное число η, что|f (x2 , y2 ) − f (x1 , y1 )| < ε,206Гл. II. Понятие о производной и его приложения[68если (x1 , y1 ) и (x2 , y2 ) принадлежат B и|x2 − x1 | < η,|y2 − y1 | < η.2.

Функция f (x, y) ограничена в B, т. е. существует такое положительное число M , что |f (x, y)| < M для всех (x, y), принадлежащих B.3. Функция f (x, y) достигает в B наибольшего и наименьшегозначений.Обратим внимание на одно следствие, которое вытекает из определений непрерывности функций. Если f (x, y) непрерывна в точке(a, b) и если мы положим y = b, то функция f (x, b) одной переменной x непрерывна при x = a. Аналогично, f (a, y) непрерывнапри y = b.68. Частные производные и полный дифференциалфункции двух независимых переменных. Допустим, что уфункции u = f (x, y) переменная y сохраняет постоянное значение и меняется только x, то есть u становится функцией одного x иможно вычислить ее приращение и производную. Обозначим через∆x u приращение u, которое эта функция получает, когда y остаетсяпостоянным, а x получает приращение ∆x:∆x u = f (x + ∆x, y) − f (x, y).Производную получим, найдя пределlim∆x→±0f (x + ∆x, y) − f (x, y)∆x u= lim.∆x→±0∆x∆xПроизводная эта, вычисленная в предположении, что y остаетсяпостоянным, называется частной производной функции u по x иy), или fx′ (x, y), или дuобозначается так: дf (x,дxдx .дuЗаметим, что дx нельзя толковать как дробь, но лишь как символ для обозначения частной производной.

Если f (x, y) имеет частную производную по x, то она является непрерывной функцией xпри фиксированном y.68]§ 6. Функция двух переменных207Точно так же определяется приращение ∆y u и частная производная от u по y, вычисленная в предложении, что x не меняется:дf (x, y)дu∆y u= fy′ (x, y) == lim=∆y→±0 ∆yдyдyf (x, y + ∆y) − f (x, y)= lim.∆y→±0∆yЕсли, например, u = x2 + y 2 , тодuдx= 2x,дuдy= 2y.Рассмотрим уравнение Клапейронаpv = RT.С помощью этого уравнения одна из величин p, v и T может бытьопределена в зависимости от двух других, причем эти последние должныуже считаться независимыми переменными.

Мы получим следующуютаблицу:НезависимыепеременныеФункцииЧастныепроизводныеT, pv=дvдT=t, vRTpR, дvpдpp== − RTp2дpдT=p, vRTvдpR, дvv= − RTv2T =дTдp=pvRv, дTRдv=pRОтсюда получается следующее соотношениедv дT дp= −1.дT дp дvЕсли бы в левой части равенства мы произвели сокращение, то получили бы не (−1), а (+1). Но в этом равенстве частные производныедv— в предложении, чтовычислены при различных предположениях: дTдpдTp постоянно; дp — при v постоянном; дv — при T постоянном, а потомуупомянутое сокращение недопустимо.Обозначим через ∆u полное приращение функции, получаемоепри одновременном изменении как x, так и y:∆u = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y).Прибавляя и вычитая f (x, y + ∆y) можем написать∆u = [f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y + ∆y)] + [f (x, y + ∆y) − f (x, y)].208Гл.

II. Понятие о производной и его приложения[68В первой квадратной скобке мы имеем приращение функции u принеизменном значении (y + ∆y) переменной y, во второй квадратнойскобке — приращение той же функции при неизменном значении x.Положим, f (x, y) определена внутри некоторой области B, чтоточка (x, y) находится внутри B и что ∆x и ∆y взяты настолько малыми по абсолютной величине, что прямоугольник с центром(x, y) и длиной сторон 2|∆x| и 2|∆y| также находится внутри B.Предположим, кроме того, что f (x, y) имеет внутри B частныепроизводные. Применяя к каждому из приращений, входящих ввыражение ∆u, формулу Лангранжа, что мы можем сделать, таккак в каждом случае меняется только одна независимая переменная, получим∆u = fx′ (x + θ∆x, y + ∆y)∆x + fy′ (x, y + θ1 ∆y)∆y,где θ и θ1 заключаются между нулем и единицей.

Предполагаядuнепрерывность частных производных дuдx и дy , мы можем утверждать, что при стремлении ∆x и ∆y к нулю, коэффициент при ∆xбудет стремиться к fx′ (x, y), а коэффициент при ∆y — к fy′ (x, y), апотому имеем∆u = [fx′ (x, y) + ε]∆x + [fy′ (x, y) + ε1 ]∆yили∆u = fx′ (x, y)∆x + fy′ (x, y)∆y + ε∆x + ε1 ∆y,(1)где ε и ε1 — величины бесконечно малые одновременно с ∆x и ∆y.Формула эта аналогична формуле∆y = y ′ ∆x + ε∆x,доказанной нами в случае функции одной независимой переменной[50]. Произведения ε∆x и ε1 ∆y будут бесконечно малыми высшихпорядков по сравнению соответственно с ∆x и ∆y.Напомним, что в предыдущих рассуждениях мы исходили изпредположения не только существования, но и непрерывности частдuных производных дuдx и дy в некоторой области, содержащей точку(x, y) внутри себя.69]§ 6.

Функция двух переменных209В сумме первых двух слагаемых в правой части формулы (1)заменим ∆x и ∆y произвольными величинами dx и dy (дифференциалами независимых переменных). Мы получим таким путемвыражениеdu = fx′ (x, y)dx + fy′ (x, y)dy,илиdu =дuдudx +dy,дxдy(2)которое называется полным дифференциалом функции u [ср. 50].Ввиду вышеуказанных свойств ε∆x и ε1 ∆y можно сказать, чтопри малых значениях |dx| и |dy| полный дифференциал du даетприближенное значение полного приращения ∆u, соответствующее приращениям dx и dy независимых переменных [50].дuС другой стороны, очевидно, что произведения дuдx dx и дy dy дают приближенную величину приращений ∆x u и ∆y u, и, таким образом, при малых приращениях независимых переменных полноеприращение функции приближенно равно сумме ее частных приращений∆u ∼ du ∼ ∆x u + ∆y u.Равенство (2) выражает весьма важное свойство функцийот нескольких независимых переменных, которое можно назвать«свойством наложимости малых действий».

Характеристики

Список файлов книги