1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Приложение к изучению функций189поверхности цилиндра. Эту величину можно легко определить, подставляя значение r из (2) в выражение для S.Предположим теперь, что значение (2) не лежит внутри промежутка(0, R), т. е. что не выполнено одно из неравенств (3). При этом могут. Обепредставиться две возможности: или H 6 R или H > R, но R > H2они могут быть охарактеризованы одним неравенствомH 6 2R.(4):Преобразуем выражение для dSdrdS2π2r= 2π 2r + H −H =[(2R − H)r + H(R − r)].drRR> 0Из этого выражения видно, что при выполнении условия (4) dSdrпри 0 < r < R, т.

е. функция S возрастает в промежутке (0, R), а потому достигает наибольшего значения при r = R. При этом значении r,очевидно, h = 0, и полученное решение можно рассматривать как сплющенный цилиндр, основание которого совпадает с основанием конуса ився поверхность которого приводится к 2πR2 .61. Теорема Ферма. Выше мы изложили, пользуясь элементарными геометрическими соображениями, способы исследованиявозрастания и убывания функций, нахождения их максимумов иминимумов, а также наибольших и наименьших значений. Сейчасмы переходим к строгому аналитическому изложению некоторыхтеорем и формул, которые дадут нам аналитическое доказательство справедливости приведенных выше правил, а также позволятпродвинуть исследование функций еще несколько дальше.

В дальнейшем изложении мы будем уже вполне отчетливо и подробно перечислять все условия, при которых соответствующие теоремы иформулы имеют место.Т е о р е м а Ф е р м а. Если функция f (x) непрерывна в промежутке (a, b), в каждой точке внутри этого промежутка имеет производную и в некоторой точке x = c внутри промежуткадостигает наибольшего (или наименьшего) значения, то в этойточке x = c первая производная равна нулю, т. е. f ′ (c) = 0.** Часто теорема Ферма формулируется для точек максимумов и минимумовкак необходимое условие существования экстремума.190Гл. II. Понятие о производной и его приложения[62Итак, положим для определенности, что значение f (c) является наибольшим значением функции. Для этого случая, когда этоесть наименьшее значение, доказательство может быть проведеносовершенно аналогичным образом.

Итак, согласно условию, точкаx = c лежит внутри промежутка и разность f (c+ h)− f (c) будет отрицательной или, во всяком случае, не положительной, при любомh как положительном, так и отрицательном:f (c + h) − f (c) 6 0.Составим отношениеf (c + h) − f (c).hЧислитель написанной дроби, как сказано, меньше или равеннулю, а потомуf (c + h) − f (c)6 0 при h > 0,h(5)f (c + h) − f (c)> 0 при h < 0,hТочка x = c лежит внутри промежутка, и в ней по условиюсуществует производная, т. е. написанная выше дробь стремится копределенному пределу f ′ (c), если h стремится к нулю со стороныположительных значений.

При этом, переходя к пределу в первомиз неравенств (5), получимf ′ (c) 6 0.Точно так же переход к пределу при h → 0 во втором неравенстве (5) даетf ′ (c) > 0.Сопоставляя эти неравенства, мы получим требуемый результат:f ′ (c) = 0.62. Теорема Ролля. Если функция f (x) непрерывна в промежутке (a, b), имеет производную в каждой точке внутри этого62]§ 5. Приложение к изучению функций191промежутка и значения функции на концах этого промежуткаравны, т. е. f (a) = f (b), то внутри промежутка существует покрайней мере одно такое значение x = c, при котором производнаяобращается в нуль, т. е.

f ′ (c) = 0.Непрерывная функция f (x) должна достигать в рассматриваемом промежутке наименьшего значения m и наибольшего значенияM . Если бы оказалось, что эти наименьшее и наибольшее значениеодинаковы, т. е. m = M , то отсюда следовало бы, очевидно, чтофункция во всем промежутке сохраняет постоянное значение, равное m (или M ).

Но, как известно, производная от постоянной равна нулю, и, следовательно, в этом простом случае во всякой точкевнутри промежутка производная была бы равна нулю. Обращаяськ рассмотрению общего случая, мы можем, следовательно, считать,что m < M . Так как значения функции на концах по условию одинаковы, т. е.

f (a) = f (b), то по крайней мере одно из чисел m или Mотлично от этого общего значения на концах. Положим, например,что это будет M , т. е. что наибольшее значение функции достигается не на концах, а внутри промежутка. Пусть x = c будет та точка,где это значение достигается. Согласно теореме Ферма, мы будемиметь в этой точке f ′ (c) = 0, что и доказывает теорему Ролля.В частном случае, если f (a) = f (b) = 0, можно теорему Ролляформулировать кратко так: между двумя корнями функции заключается по крайней мере один корень первой производной.Теорема Ролля имеет простое геометрическое значение.

По условию,f (a) = f (b), т. е. ординаты кривой y =f (x), соответствующие концам промежутка, равны, и внутри этого промежутка существует производная, т. е.кривая имеет определенную касательРис. 68.ную. Теорема Ролля утверждает, чтопри этом внутри промежутка будет существовать по крайней мереодна такая точка, в которой производная будет равна нулю, т. е. вкоторой касательная будет параллельна оси OX (рис. 68).З а м е ч а н и е. Если не выполнено условие теоремы Ролля о существовании производной f ′ (x) во всех точках внутри промежутка,то теорема может оказаться и неверной.192Гл.

II. Понятие о производной и его приложения[63Так, например, функцияf (x) = 1 −√3x2непрерывна в промежутке (−1, +1) и f (−1) = f (1) = 0, но производная2f ′ (x) = − √33xвнутри промежутка в нуль не обращается. Происходит это от того,что f ′ (x) не существует (обращается в бесконечность) при x = 0(рис. 69). Другой пример дает кривая, изображенная на рис. 70. Вэтом случае мы имеем кривую y = f (x), у которой f (a) = f (b) = 0.Однако из чертежа видно, что касательная внутри промежуткаРис. 69.Рис. 70.(a, b) не может быть параллельна оси OX, т.

е. f ′ (x) не обращается в нуль. Происходит это от того, что кривая в точке x = αимеет две различные касательные, справа и слева от этой точки,и, следовательно, в этой точке не существует определенной производной, и условие теоремы Ролля о существовании во всех точкахвнутри промежутка не выполнено.63. Формула Лангранжа.

Положим, что функция f (x) непрерывна в промежутке (a, b) и имеет внутри этого промежутка производную, но условие f (a) = f (b) теоремы Ролля может быть невыполнено. Составим функциюF (x) = f (x) + λx,где λ — постоянная, которую мы определим так, чтобы новая функция F (x) удовлетворяла упомянутому условию теоремы Ролля, т. е.63]§ 5. Приложение к изучению функций193потребуем, чтобыF (a) = F (b)илиf (a) + λa = f (b) + λb,откудаf (b) − f (a).b−aПрименяя теперь к F (x) теорему Ролля, можем утверждать, чтомежду a и b будет находиться такое значение x = c, при которомλ=−F ′ (c) = f ′ (c) + λ = 0 (a < c < b),откуда, подставляя найденное выше значение λ,f ′ (c) = −λ или f ′ (c) =f (b) − f (a).b−aПоследнее равенство можно переписать так:f (b) − f (a) = (b − a)f ′ (c).Равенство это называется формулой Лангранжа.

Значение c заключается между a и b, а потому отношение c−ab−a = θ заключаетсямежду нулем и единицей, и мы можем написатьc = a + θ(b − a) (0 < θ < 1),и формула Лангранжа перепишется в виде:f (b) − f (a) = (b − a)f ′ (a + θ(b − a)) (0 < θ < 1).Полагая b = a + h, получим еще следующий вид формулы:f (a + h) − f (a) = hf ′ (a + θh).Формула Лагранжа дает точное выражение для приращенияf (b) − f (a) функции f (x), а потому называется также формулойконечных приращений.** То есть утверждается, что существует такая точка с (c = a + θ(b − a)), чтотакое равенство имеет место.194Гл.

II. Понятие о производной и его приложения[63Мы знаем, что производная постоянной равна нулю. Из формулы Лангранжа мы можем вывести обратное предложение: еслипроизводная f ′ (x) во всех точках промежутка (a, b) равна нулю,то функция f (x) постоянна в этом промежутке.В самом деле, возьмем произвольное значение x из промежутка(a, b) и, применяя формулу Лангранжа к промежутку (a, x), получим:f (x) − f (a) = (x − a)f ′ (ξ) (a < ξ < x);но по условию f ′ (ξ) = 0 и, следовательно,f (x) − f (a) = 0,т. е.

f (x) = f (a) = постоянной.Относительно величины c, входящей в формулу Лангранжа, мызнаем только то, что она заключается между a и b, и поэтому формула Лангранжа не дает возможности точного вычисления приращения функции через производную, но с ее помощью можно произвести оценку той ошибки, которую мы делаем, заменяя приращениефункции ее дифференциалом.П р и м е р.

Пустьf (x) = log10 x.Производнаяf ′ (x) =M1 1=x log 10x(M = 0, 43429 . . . ),и формула Лангранжа дастlog10 (a + h) − log10 a = hMa + θh(0 < θ < 1)илиM.a + θhЗаменяя приращение дифференциалом, получим приближеннуюформулуlog10 (a + h) = log10 a + hMM,log10 (a + h) = log10 a + h .aaСравнивая это приближенное равенство с точным, полученным по формуле Лангранжа, увидим, что ошибкаlog10 (a + h) − log10 a = hhMMθh2 M−h=.aa + θha(a + θh)63]§ 5. Приложение к изучению функций195Полагая a = 100 и h = 1, получим приближенное равенствоlog10 101 = log10 100 +с ошибкойθM100(100 + θ)M= 2, 00434 . .

.100(0 < θ < 1).Заменяя в числителе этой дроби θ единицей, а в знаменателе нулем,увеличим дробь и можем поэтому сказать, что ошибка вычисленногозначения log 10 101 меньшеM= 0, 00004 . . .1002Перепишем формулу Лангранжа в виде:f (b) − f (a)= f ′ (c)b−a(a < c < b).Обращаясь к графику функцииy = f (x) (рис. 71), заметим, что отношениеCBf (b) − f (a)== tg ∠CABb−aACдает угловой коэффициент хордыРис. 71.AB, а f ′ (c) дает угловой коэффициент касательной в некоторой точке M дуги AB кривой.

Таким образом, формула Лангранжа равносильна следующему утверждению:на дуге кривой имеется такая точка, в которой касательная параллельна хорде. Частным случаем этого утверждения, когда хордапараллельна оси OX, т. е. f (a) = f (b), является теорема Ролля.З а м е ч а н и е.

Из формулы Лангранжа непосредственно вытекают те признаки возрастания и убывания, которые были установлены нами выше из чертежа. Действительно, положим, что внутринекоторого промежутка первая производная f ′ (x) положительна ипусть x и x+ h — две точки из этого промежутка. Из формулы Лангранжа:f (x + h) − f (x) = hf ′ (x + θh) (0 < θ < 1)196Гл. II. Понятие о производной и его приложения[64видно, что при положительных h разность, стоящая слева, будетвеличиной положительной, так как оба множителя в произведении, стоящем справа, в этом случае положительны.

Таким образом,предполагая положительность производной в некотором промежутке, мы получилиf (x + h) − f (x) > 0,т. е. функция возрастает в этом промежутке. Точно так же из написанной формулы вытекает и признак убывания.Заметим здесь же, что рассуждения, приведенные нами при доказательстве теоремы Ферма, остаются вполне применимыми и длятого случая, когда в рассматриваемой точке функция достигаетне обязательно наибольшего или наименьшего значения, а тольколишь максимума или минимума.

Характеристики

Список файлов книги