1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Но может оказаться, чтонаибольшая ордината находится не внутри промежутка, а на одномиз его концов x = a и x = b. Поэтому для нахождения, например,наибольшего значения функции недостаточно сравнить все ее максимумы внутри промежутка и взять наибольший, но необходимотакже принять во внимание и значение функции на концах промежутка. Точно так же для определения наименьшего значенияфункции надо взять все ее минимумы, лежащие внутри промежутка, и граничные значения функции при x = a и x = b. Заметимпри этом, что максимумы и минимумы могут вовсе отсутствовать,а наибольшее и наименьшее значения у непрерывной функции вограниченном промежутке (a, b) обязательно будут существовать.Отметим некоторые частные случаи, когда нахождение наименьших и наибольших значений производится наиболее просто.Если, например, функция f (x) возрастает в промежутке (a, b), тоочевидно, что при x = a она будет принимать наименьшее, а приx = b наибольшее значение.
Для убывающей функции картина будет противоположной.Если функция имеет внутри промежутка один максимум и неимеет минимумов, то этот единственный максимум и дает наибольшее значение функции (рис. 63), так что в этом случае для60]§ 5.
Приложение к изучению функций183определения наибольшего значенияфункции вовсе не надо определять значений функций на концах промежутка. Точно так же, если функция имеет внутри промежутка один минимум ине имеет вовсе максимумов, то упомянутый единственный минимум и дает наиРис. 63.меньшее значение функции. Указанныетолько что обстоятельства будут иметь место в первых из четырехизложенных ниже задач.1. Дан отрезок длины l. Требуется разделить его на две части так,чтобы площадь прямоугольника, построенного на них, была наибольшей.Пусть x — длина одной из частей отрезка, (l − x) — длина другой егочасти.
Принимая во внимание, что площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон, видим, что задача сводится к нахождению тех значений x, при которых функцияf (x) = x(l − x)достигает наибольшего значения в промежутке (0, l) изменения x. Составим производные первого и второго порядкаf ′ (x) = (l − x) − x = l − 2x,f ′′ (x) = −2 < 0.Приравнивая первую производную нулю, получим единственное значение x = 2l , которому и соответствует максимум, так как f ′′ (x) постоянноотрицательна. Таким образом, наибольшая площадь будет у квадрата состороною 2l .2. Из круга радиуса R вырезается сектор и из оставшейся частикруга склеивается конус.
Требуется определить угол вырезанного сектора так, чтобы объем конуса был наибольшим.Примем за независимую переменную x не угол вырезанного сектора, а его дополнение до 2π, т. е. уголоставшегося сектора. При значениях x,близких к 0 и 2π, объем конуса будет близок к нулю, и, очевидно, внутри промежутка (0, 2π) будет существоРис. 64.вать такое значение x, при которомэтот объем будет наибольшим.184Гл. II. Понятие о производной и его приложения[60При склеивании оставшейся части круга в конус (рис. 64) получитсятакой конус, у которого образующая равна R, длина окружности оснои высотавания равна Rx, радиус основания r = Rx2πh=rR2 −R 2 x2Rp 2=4π − x2 .4π 22πОбъем этого конуса будетv(x) =R3 2 p 21 R 2 x2 R p 2π·4π − x2 =x 4π − x2 .23 4π2π24π 2При отыскании наибольшего значения этой функции мы можем неR3обращать внимания на постоянный множитель 24π2 .
Оставшееся про√изведение x2 4π 2 − x2 положительно и, следовательно, будет достигатьнаибольшего значения при тех же значениях x, при которых достигаетнаибольшего значения его квадрат. Таким образом, мы можем рассматривать функциюf (x) = 4π 2 x4 − x6внутри промежутка (0, 2π). Составляем первую производнуюf ′ (x) = 16π 2 x3 − 6x5 .Она существует при всех значениях x. Приравнивая ее к нулю, получимтри значения:x1 = 0,x2 = −2πr2,3x3 = 2πr2.3Первые два значения не лежатq внутри промежутка (0, 2π). Остаетсяединственное значение x3 = 2π 23 , лежащее внутри этого промежутка;но выше мы видели, что наибольшее значение внутри этого промежуткадолжно встретиться, а следовательно, и не исследуя значения x3 , можемутверждать, что ему будет соответствовать наибольший объем конуса.3.
Прямою L плоскость разделена на две части (среды) I и II. Точка двигается в среде I со скоростью v1 , в среде II — со скоростью v2 .По какому пути должна двигаться точка, чтобы возможно скорее попасть из точки A среды I в точку B среды II?60]§ 5. Приложение к изучению функций185Пусть AA1 и BB1 — перпендикулярныиз точек A и B на прямую L. Введем следующие обозначения: AA1 = a, BB1 =b, A1 B1 = c, и на прямой L будем отMсчитывать абсциссы в направлении A1 B1(рис.
65).Ясно, что как в среде I, так и в среде II путь точки должен быть прямолиРис. 65.нейным, но путь по прямой AB не будет,вообще говоря, «скорейшим путем». Итак, «скорейший путь» будет состоять из двух прямолинейных отрезков AM и M B, причем точка Mдолжна лежать на прямой L.
За независимую переменную x выберемабсциссу точки M : x = A1 M . Время t, наименьшее значение которогоищется, определится по формулеp√b2 + (c − x)2MBa2 + x2AM+=+t = f (x) =v1v2v1v2в промежутке (−∞, +∞). Составим производные первого и второго порядков:f ′ (x) =f ′′ (x) =c−xx√− p,2v1 a2 + x2v2 b + (c − x)2v1(a2b2a2+.23/22+x )v2 [b + (c − x)2 ]3/2Обе производные существуют при всех значениях x, и f ′′ (x) всегда имеетзнак (+). Следовательно, f ′ (x) возрастает в промежутке (−∞, +∞) и неможет обратиться в нуль более одного раза. Ноf ′ (0) = −иа потому уравнениеf ′ (c) =v2√c<0b2 + c2c√> 0,v1 a2 + c2f ′ (x) = 0имеет единственный корень x0 между 0 и c, которому соответствует единственный минимум функции f (x), так как f ′′ (x) > 0.
Абсциссы 0 и cсоответствуют точкам A1 и B1 , а потому искомая точка M будет находиться между точками A1 и B1 , что можно было бы показать и изэлементарных геометрических соображений.186Гл. II. Понятие о производной и его приложения[60Поясним геометрический смысл полученного решения. Обозначимчерез α и β углы, составленные отрезками AM и BM с перпендикуляром, восставленным из точки M к L. Абсцисса x искомой точки Mдолжна обращать в нуль f ′ (x), т. е. должна удовлетворять уравнениюc−xx√= p,v1 a2 + x2v2 b2 + (c − x)2которое можно переписать так:M B1A1 M=v1 AMv2 BMилиsin βv1sin αsin α=, т.
е.=;v1v2sin βv2«скорейший путь» будет тот, при котором отношение синусов углов α иβ будет равно отношению скоростей в средах I и II. Результат этот даетнам известный закон преломления света, и, следовательно, преломлениесвета совершается так, как будто луч света выбирает «скорейший путь»из точек одной среды в точки другой.4.
Положим, что экспериментально определяется величина x, и n одинаково тщательно произведенных наблюдений дают для нее n значенийa1 , a2 , . . . , an ,неодинаковых ввиду неточности инструментов. «Наиболее вероятным»значением величины x будем считать то, при котором сумма квадратовошибок будет наименьшей. Таким образом, нахождение этого значенияприводится к нахождению x из условия наименьшего значения функцииf (x) = (x − a1 )2 + (x − a2 )2 + · · · + (x − an )2в промежутке (−∞, +∞).
Составляем производные первого и второгопорядковf ′ (x) = 2(x − a1 ) + 2(x − a2 ) + · · · + 2(x − an ),f ′′ (x) = 2 + 2 + · · · + 2 = 2n > 0.Приравнивая первую производную нулю, получим единственное значениеa1 + a2 + · · · + an,x=n60]§ 5. Приложение к изучению функций187которому будет соответствовать минимум ввиду положительности второй производной. Таким образом «наиболее вероятным» значением x является среднее арифметическое значений, полученных из наблюдений.5. Найти кратчайшее расстояние точки M до окружности.Примем за начало координат центр окружности O, за ось OX — прямую OM . Пусть OM = a и пусть R есть радиус окружности. Уравнениеокружности будетx2 + y 2 = R 2 ,а расстояние точки M с координатами (a, 0) до любой точки окружностиp(x − a)2 + y 2 .Будем искать наибольшее значение квадрата этого расстояния.
Подставив вместо y 2 его выражение R2 − x2 из уравнения окружности, мы получим функциюf (x) = (x − a)2 + (R2 − x2 ) = −2ax + a2 + R2 ,где независимая переменная x может изменяться в промежутке (−R 6x 6 R). Так как первая производнаяf ′ (x) = −2aотрицательна при всех значениях x, то функция f (x) убывает и достигает, следовательно, наименьшего значения при x = R на правомконце промежутка.
Кратчайшим расстоянием будет длина отрезка P M(рис. 66).6. В прямой круговой конус вписать прямой круговой цилиндр (соснованием, лежащим в основании конуса) так, чтобы его полная поверхность была наибольшей.Обозначим радиус основания и высоту конуса буквами R и H а радиус основания и высоту цилиндра — буквами r и h. Функция, наибольшеезначение которой ищется, будет в данном случаеS = 2πr 2 + 2πrh.Переменные величины r и h связаны между собой тем условием, что цилиндр вписан в данный конус. Из подобия треугольников ABD и AM Nимеем (рис. 67):BDHhMN=, или= ,ANADR−rR188Гл. II.
Понятие о производной и его приложенияРис. 66.[60Рис. 67.откудаR−rH.RПодставляя это значение h в выражение для S, получимhr i.S = 2π r 2 + rH 1 −Rh=Таким образом, S оказывается функцией одной независимой переменной r, которая может изменяться в промежутке 0 6 r 6 R. Составимпроизводные первых двух порядков:d2 SdS2rH= 2π 2r + H −H ,=.4π1−drRdr 2RПриравнивая нулюdS,drполучим для r одно значениеr=HR.2(H − R)(2)Для того чтобы это значение находилось внутри промежутка (0, R), необходимо выполнение неравенств0<HRHRи< R.2(H − R)2(H − R)(3)Первое из этих неравенств равносильно тому, что H должно быть большеR. Умножая обе части второго неравенства на положительную величину2(H − R), получимHR< .22При выполнении этого условия ddrS2 имеет знак (−); значению (2) соответствуют единственный максимум функции S и наибольшая величина61]§ 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
