1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

Сущность его заключается в том, что соединенный эффект от нескольких малых действий∆x и ∆y с достаточной точностью может быть заменен суммой эффектов от каждого малого действия в отдельности.69. Производные сложных и неявных функций. Положимтеперь что функция u = f (x, y) зависит через посредство x и y отодной независимой переменной t, т. е. допустим, что x и y суть ненезависимые переменные, но функции независимой переменной t,и определим производную dudt от u по t.Если независимая переменная t получит приращение ∆t, тофункции x и y получат соответственно приращения ∆x и ∆y, аu получит приращение ∆u:∆u = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y).210Гл. II.

Понятие о производной и его приложения[69В [68] мы видели, что приращение можно написать в виде:∆u = fx′ (x + θ∆x, y + ∆y)∆x + fy′ (x, y + θ1 ∆y)∆y.Разделим обе части этого равенства на ∆t:∆u∆x∆y= fx′ (x + θ∆x, y + ∆y)+ fy′ (x, y + θ1 ∆y).∆t∆t∆tМы предполагали, что x и y допускают производную по t, аследовательно, и подавно будут непрерывными функциями от t.Поэтому при стремлении ∆t к нулю ∆x и ∆y также будут стреduмиться к нулю, и, в силу предполагаемой непрерывности dudx и dy ,написанное равенство в пределе даст намdudxdy= fx′ (x, y)+ fy′ (x, y) .dtdtdt(3)Равенство это выражает правило дифференцирования сложнойфункции в случае функции нескольких переменных.Предположим, в частности, что роль независимой переменной tиграет переменная x, т.

е. что функция u = f (x, y) зависит от независимой переменной x как непосредственно, так и через посредствопеременной y, которая является функцией от x. Принимая во внимание, что dxdx = 1, получим на основании равенства (3)dudy= fx′ (x, y) + fy′ (x, y) .dxdx(4)Производная dudx называется полной производной от u по x вотличие от частной производной fx′ (x, y).Доказанное правило дифференцирования сложных функцийприменяется для нахождения производной неявной функции.

Положим, что уравнениеF (x, y) = 0(5)определяет y как неявную функцию от x, имеющую производнуюy ′ = ϕ′ (x).70]§ 7. Некоторые геометрические приложения211Подставляя y = ϕ(x) в уравнение (5), мы должны были бы получить тождество 0 = 0, так как y = ϕ(x) есть решение уравнения(5). Мы видим, таким образом, что постоянную нуль можно рассматривать как сложную функцию от x, которая зависит от x какнепосредственно, так и через посредство y = ϕ(x).

Производная поx от этой постоянной должна равняться нулю; применяя правило(4), получимFx′ (x, y) + Fy′ (x, y)y ′ = 0,откудаy′ = −Fx′ (x, y).Fy′ (x, y)В полученное таким образом выражение для y ′ может войтикак x, так и y, и если нужно получить выражение y ′ только через независимую переменную x, то придется решить уравнение (5)относительно y.§ 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕПРИЛОЖЕНИЯПОНЯТИЯ О ПРОИЗВОДНЫХ70. Дифференциал дуги. В интегральном исчислении будетпоказано, каким образом находится длины дуги кривой, будет выведено выражение для дифференциала длины дуги и будет доказано, что отношение длины хорды к длине стягиваемой ею дугистремится к единице, когда дуга беспредельно сжимается к точке.Пусть дана некоторая кривая y =f (x), и будем отсчитывать на нейдлину дуги от некоторой фиксированной точки A в определенном направлении (рис.

73). Пусть s — длина дуги AM от точки A до переменной точки M . Величина s, как и ордината y, является функцией абсцисРис. 73.сы x точки M . Если направление AMсовпадает с принятым направлением212Гл. II. Понятие о производной и его приложения[70кривой, то s > 0, а в противном случае s < 0. Пусть M (x, y) иN (x + ∆x, y + ∆y) — две точки кривой и ∆s — разность длин дугAN и AM , т. е. приращение длины дуги при переходе из M в N .Абсолютное значение ∆s есть длина дуги M N , взятая со знакомплюс. Из прямоугольного треугольника имеем(M N )2 = ∆x2 + ∆y 2 ,откудаили ∆y 2(M N )2=1+∆x2∆x M N 2 ∆s 2 ∆y 2.∆s∆x∆xКасательная M T , если она существует, является предельнымположением секущей M N при стремлении N к M вдоль кривой,т.

е. при ∆x → ±0.Переходя к пределу в предыдущем равенстве (предполагаетсясуществование касательной), получим, принимая во внимание, что,2→ 1:в силу сказанного выше MN∆s ds 2dxили=1+=1+ dy 2dx,pds= ± 1 + y ′2 .(1)dxМы должны брать знак (+), если при возрастании x и s возрастает, и знак (−), если s убывает при возрастании x. Будем дляопределенности считать, что имеет место первый случай (изображенный на рис. 73). Из формулы (1) при этом следуетpdy,ds = 1 + y ′2 dx или, в силу y ′ =dxpds = dx2 + dy 2 , т. е. ds2 = dx2 + dy 2 .(2)Если радикал считается положительным, то получается арифметическое значение ds.

Формула (2) является, по существу, иной записью предыдущей формулы или формулы (1). Она, как мы увидим70]§ 7. Некоторые геометрические приложения213в дальнейшем, удобна для приложений. Более подробнее рассмотрение длины дуги будет дано в [103].Естественным параметром при определении положения точкиM на кривой является длина s дуги AM .

Эту величину s можнопринять за независимую переменную, и при этом координаты (x, y)точки M будут функциями s:x = ϕ(s),y = ψ(s).Более подробно мы будем говорить о «параметрическом заданиикривой» в [74]. Теперь мы выясним геометрический смысл производных от x и y по s.Положим, что точка N расположена так, что направление дуги M N совпадает с принятым направлением кривой, т. е. ∆s > 0.При стремлении N к M направление секущей M N в пределе даетопределенное направление касательной к кривой в точке M . Это направление касательной мы назовем положительным направлениемкасательной.

Оно связано с принятым направлением самой кривой.Пусть α1 — угол, образованный направлением M N с положительным направлением оси OX. Приращение ∆x абсциссы x естьпроекция отрезка M N на ось OX, и, следовательно,p∆x = M N · cos α1 (M N = ∆x2 + ∆y 2 ),причем в этом равенстве M N считается положительным. Деля обечасти этого равенства на длину дуги M N , равную ∆s, получимp∆x2 + ∆y 2∆x=cos α1 .∆s∆sПо условию∆s > 0, а потому при стремлении N к M отно√ 2∆x +∆y 2стремится к (+1), а угол α1 стремится к углу α,шение∆sобразованному положительным направлением касательной M T сположительным направлением оси OX. Написанное выше равенство даст нам в пределеcos α =dx.ds214Гл.

II. Понятие о производной и его приложения[71Точно так же, проектируя M N на ось OY , получимsin α =dy.ds71. Выпуклость, вогнутость и кривизна. Случаи выпуклости и вогнутости кривой в сторону положительных ординат представлены на рис. 74 и 75.Рис. 74.Рис. 75.Одна и та же кривая y = f (x) может, конечно, состоять и из выпуклых и из вогнутых частей (рис.

76). Точки, отделяющие выпуклые части кривой от ее вогнутыхчастей, называются точками перегиба. Если будем, двигаясь по кривойв сторону возрастания x, следить заизменением угла α, образуемого касательной с положительным направлением оси OX, то увидим (рис. 76),что на участках выпуклости этотРис. 76.угол убывает, а на участках вогнутости возрастает. Такое же изменение, следовательно, будет претерпевать и tg α, т. е. производная f ′ (x), так как с увеличением(уменьшением) угла α и tg α увеличивается (уменьшается).

Но промежутки убывания f ′ (x) суть те промежутки, где производная этойфункции отрицательна, т. е. f ′′ (x) < 0, и точно так же промежуткивозрастания f ′ (x) суть те промежутки, где f ′′ (x) > 0. Мы получим,таким образом, теорему:Кривая обращена выпуклостью в сторону положительных ординат на тех участках, где f ′′ (x) < 0, и вогнутостью на тех, где71]§ 7. Некоторые геометрические приложения215f ′′ (x) > 0. Точки перегиба суть те ее точки, при переходе черезкоторые f ′′ (x) меняет знак.*Из этой теоремы мы путем рассуждений, аналогичных приведенным раньше рассуждениям [58], получаем правило нахожденияточек перегиба кривой: чтобы найти точки перегиба кривой, надоопределить те значения x, при которых f ′′ (x) обращается в нульили не существует, и исследователь изменение знака f ′′ (x) припереходе через эти значения x, пользуясь следующей таблицей:f ′′ (x)точка перегиба+−−+вогн. вып.

вып. вогн.нет точки перегиба−−++выпукл.вогн.Наиболее естественное представление об искривлении кривоймы получим, если будем следить за изменением угла α, составляемого касательной с осью OX при движении по кривой. Из двух дугодинаковой длины ∆s та дуга будет более искривлена, для которой касательная повернется набольший угол, т. е. для которой приращение ∆αбудет больше. Эти соображения приводят нас кпонятию о средней кривизне ∆s и о кривизне вРис. 77.данной точке: средней кривизной дуги ∆s называется абсолютная величина отношения угла ∆α между касательными в концах этой дуги к длине ∆s дуги. Предел этого отношения при стремлении ∆s к нулю называется кривизной кривой вданной точке (рис.

77).Таким образом, для кривизны C мы получаем выражение: dα C = .dsНо tg α есть первая производная y ′ , т. е.α = arc tg y ′ ,откуда, дифференцируя по x сложную функцию arc tg y ′ :dα =* Такжеy ′′dx.1 + y ′2принято говорить о выпуклости вверх и о выпуклости вниз.216Гл. II. Понятие о производной и его приложения[71Как мы только что показалиpds = ± 1 + y ′2 dx.Деля dα на ds, получим окончательно выражение для кривизныC=±y ′′.(1 + y ′2 )3 /2(5)На участках выпуклости надо брать знак (−), а на участках вогнутости знак (+) для того, чтобы C получило положительное значение.В тех точках кривой, где не существует производных y ′ или y ′′ ,не существует и кривизны. Вблизи тех точек, где y ′′ обращается внуль, и, следовательно, кривизна обращается в нуль, кривая походит на прямую.

Это будет, например, вблизи точек перегиба.Положим, что координаты x, y точек кривой выражены черездлину дуги s. В этом случае, как мы виделиcos α =dx,dssin α =dy.dsУгол α будет также функцией s, и, дифференцируя написанныеравенства по s, получим− sin αd2 xdα= 2,dsdscos αd2 ydα= 2.dsdsВозводя обе части этих равенств в квадрат и складывая, будемиметь dα 2 d2 x 2 d2 y 2 d2 x 2 d2 y 22=+или+,C=dxds2ds2ds2ds2откудаr d2 x 2 d2 y 2+.C=ds2ds2Величина C1 , обратная кривизне, называется радиусом кривизны.Для радиуса кривизны R мы будем иметь, в силу (5), следующеевыражение3 ds (1 + y ′2 ) /2 R= =±,(6)dαy ′′71]§ 7. Некоторые геометрические приложенияилиR = r21712 2 2 ,d2 x+ ddsy2ds2причем значение корня берется положительным.В случае прямой линии y есть многочлен первой степени от x,а потому y ′′ тождественно равна нулю, т. е. вдоль всей прямой кривизна равна нулю, а радиус кривизны — бесконечности.В случае окружности радиуса r будем иметь, очевидно (рис.

78):∆s = r∆αи R = lim∆s= r,∆αт. е. радиус кривизны вдоль всей окружности постоянен. Впоследствии мы увидим, что таким свойством обладает только окружность.Рис. 78.Рис. 79.Заметим, что изменение радиуса кривизны совсем не так наглядно,как изменение касательной. Рассмотрим линию, состоящую из отрезка AB прямой и дуги BC окружности, касательной к отрезку в конце B (рис. 79).

Характеристики

Список файлов книги