1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В случае x < 1 он имеет знак минус, а при x > 1 — знак плюс.Таким образом, все произведение, т. е. f ′ (x), имеет при x < 1 знак плюси при x > 1 знак минус. Откуда следует, что значению x = 1 соответствует максимум функции f (x). Подставляя значение x = 1 в выражениесамой функции f (x), мы получим величину найденного максимума, т. е.ординату соответствующей вершины графика функцииf (1) = 02 · (−1)3 = 0.75Повторяя аналогичные рассуждения и для остальных значений x2 =и x3 = 2, мы получим следующую табличку:xf ′ (x)f (x)1−h11+h+0−возр.0макс.75−h75−0убывает108− 312575+h+2−h22+h+0+возрастаетминим.В указанном нами способе исследования максимумов и минимумов функции представляется несколько затрудненным, особенно вболее сложных примерах, определение знака f ′ (x) при значениях xкак меньших, так и бо́льших испытуемого. Во многих случаях этогоможно избегнуть, если ввести в рассмотрение вторую производнуюf ′′ (x).
Положим, что нам надо испытать значение x = x0 в выражении второй производной и положим, что мы получили положительную величину, т. е. f ′′ (x0 ) > 0. Если принять f ′ (x) за основнуюфункцию, то f ′′ (x) будет ее производной и положительность этойпроизводной в точке x = x0 показывает, что сама основная функцияf ′ (x) возрастает в соответствующей точке, т. е.
f ′ (x) при переходечерез нуль в точке x = x0 должна идти от отрицательных значений к положительным. Таким образом, в случае f ′′ (x0 ) > 0 в точкеx = x0 функция f (x) будет достигать минимума. Точно так же176Гл. II. Понятие о производной и его приложения[58можно показать, что в случае f ′′ (x0 ) < 0 в точке x = x0 функцияf (x) достигает максимума. Если, наконец, при подстановке x = x0в выражение f ′′ (x) мы получим нуль, т. е. f ′′ (x0 ) = 0, то пользование второй производной не дает возможности исследовать значениеx = x0 , и приходится обращаться к непосредственному исследованию знака f ′ (x).
Мы получаем, таким образом, изображенную втаблице схему:xf ′ (x)x00f ′′ (x)−+0f (x)максимумминимумсомнительный случайИз приведенных рассуждений непосредственно следует, что приналичии производной второго порядка необходимым условием максимума является неравенство f ′′ (x) 6 0, а необходимым условиемминимума — неравенство f ′′ (x) > 0. При этом мы можем определять максимум условием f (x1 + h) − f (x1 ) 6 0 и минимум — условием f (x2 + h) − f (x2 ) > 0, как мы об этом говорили выше.П р и м е р. Требуется найти максимумы и минимумы функцииf (x) = sin x + cos x.Эта функция имеет период 2π, т.
е. не меняется при замене x на x + 2π.Достаточно исследовать промежуток изменения x от 0 до 2π. Составимпроизводные первого и второго порядкаf ′ (x) = cos x − sin x,f ′′ (x) = − sin x − cos x.Приравнивая первую производную нулю, получим уравнениеcos x − sin x = 0 или tg x = 1.Корни этого уравнения из промежутка (0, 2π) будутx1 =5ππи x2 =.44Исследуем эти значения x по знаку f ′′ (x):ππ √√ππ= − sin − cos = − 2 < 0; максимум f= 2;f ′′44 4 4√√5π5π5π5π− cos= 2 > 0; минимум ff ′′= − sin= − 2.444458]§ 5. Приложение к изучению функций177В заключение обратим внимание на одно обстоятельство, которое иногда имеет место при нахождении максимумов и минимумов.Может случиться, что на графике функции имеются такие точки,в которых касательной или вовсе нет, или она параллельна оси OY(рис.
58). В точках первого рода производная f ′ (x) вовсе не будет существовать, а в точках второго рода она будет равна бесконечности, так как угловой коэффициент прямой, параллельной оси OY , равен бесконечности. Но,как непосредственно видно из чертежа, в таких точках может встретитьсяРис. 58.максимум или минимум функции. Таким образом, мы должны, строго говоря, дополнить предыдущееправило нахождения максимумов и минимумов следующим указанием: максимум и минимум функции f (x) может встретиться не только в тех точках, где f ′ (x) обращается в нуль, но и втех точках, где она не существует или обращается в бесконечность. Исследование таких точек надо производить по первой изсхем, указанных выше, а именно — путем определения знака f ′ (x)при значениях, меньших и больших исследуемого.Во всем предыдущем мы занимались простейшим случаемнепрерывной функции f (x) с непрерывной производной, имеющейконечное число нулей в исследуемом промежутке.
При последнемзамечании отсутствие производной допускается также в конечномчисле точек. Вообще настоящий и следующие два параграфа имеютцелью быть наглядным введением в исследование свойств функции.Далее мы вернемся к строгому аналитическому изложению.П р и м е р. Требуется найти максимумы и минимумы функции√3f (x) = (x − 1) x2 .Составим первую производную√5 x − 252(x − 1)3√√ .=f ′ (x) = x2 +3 3x33xОна обращается в нуль при x = 25 и в бесконечность при x = 0. Исследуемпоследнее значение: числитель написанной выше дроби имеет при x = 0178Гл.
II. Понятие о производной и его приложения[59знак минус и при всех значениях x, как бо́льших, так и меньших нуля,но близких к нему, он будет иметь тот же знак. Знаменатель дроби приx < 0 имеет знак минус, а при x > 0 знак плюс. Следовательно, вся дробьимеет при x < 0 и близких к нулю знак плюс, а при x > 0 — знак минус,т. е. при x = 0 мы имеем максимум f (0) = 0. В точке x = 52 будем иметьминимумr 3 3 43 √23=−=−20.f55 252559. Построение графиков.
Разыскание максимумов и минимумов функции f (x) существенным образом облегчает построениеграфика этой функции. Выясним на некоторых примерах простейшую схему построения графиков функций.1. Пусть требуется построить график функцииy = (x − 1)2 (x − 2)3 ,исследованной нами в предыдущем номере. Мы получили там две вер108. Отшины этой кривой, а именно максимум (1, 0) и минимум 75 , − 3125метим эти точки на чертеже. Кроме того, полезно отметить и следы*искомой кривой на осях.
При x = 0 мы имеем y = −8, т. е. след на осиOY будет y = −8.Приравнивая y нулю, т. е.(x − 1)2 (x − 2)3 = 0,мы получим следы на оси OX. Один изних, x = 1, как мы уже выяснили, является вершиной, а другой, x = 2, как это было выяснено в предыдущем номере, вершиной не является, но в соответствующейточке графика касательная параллельнаоси OX. Искомая кривая изображена нарис. 59.2. Вычертим кривую2y = e−x .Составим первую производнуюРис. 59.* Имеются2y ′ = −2xe−x .в виду точки пересечения кривой с осями координат.59]§ 5. Приложение к изучению функций179Приравнивая y ′ нулю, получим значение x = 0, которому, как нетрудновидеть, соответствует вершина (максимум) кривой с ординатой y = 1.Эта же точка дает и след кривой на оси OY .
Приравнивая y нулю, по2лучим уравнение e−x = 0, которое не имеет решений, т. е. следов наоси OX кривая не имеет. Заметим, кроме того, что при стремлении x к2(+∞) или (−∞) показатель степени у e−x стремится к (−∞), и все выражение стремится к нулю, т. е. при беспредельном удалении направо иналево кривая беспредельно приближается к оси OX. Соответствующаявсем полученным данным кривая изображена на рис.
60.Рис. 60.3. Построим кривуюy = e−ax sin bx(a > 0),которая дает график так называемого затухающего колебания. Множитель sin bx по абсолютному значению не превышает единицы, и вся кривая будет расположена между двумя кривымиy = e−axиy = −e−ax .При стремлении x к (+∞) множитель e−ax , а следовательно, и всепроизведение e−ax sin bx будет стремиться к нулю, т. е. при беспредельномудалении направо кривая будет безгранично приближаться к оси OX.Следы кривой на оси OX определятся из уравненияsin bx = 0,т. е.
будутx=kπb(k — целое число).180Гл. II. Понятие о производной и его приложения[59Определим первую производнуюy ′ = −ae−ax sin bx + be−ax cos bx = e−ax (b cos bx − a sin bx).Но выражение, стоящее в круглых скобках, может быть, как известно,представлено в видеb cos bx − a sin bx = K sin(bx + ϕ0 ),где K и ϕ0 — постоянные. Приравнивая первую производную нулю, получим уравнениеsin(bx + ϕ0 ) = 0,которое даетbx + ϕ0 = kπ,т. е.x=kπ − ϕ0b(k — целое число).(1)Когда x переходит через эти значения, sin(bx + ϕ0 ) будет всякий разменять свой знак. То же можно, очевидно, сказать и относительно производной y ′ , так какy ′ = Ke−ax sin(bx + ϕ0 ),а множитель e−ax знака не меняет.
Следовательно, этим корням соответствуют поочередно максимумы и минимумы функции. В случае отсутствия показательного множителя e−ax мы имели бы синусоидуy = sin bx,и абсциссы ее вершин получились бы из уравненияcos bx = 0,т. е.(2k − 1)π(k — целое число).(11 )2bМы видим, таким образом, что показательный множитель не толькоуменьшает амплитуды колебаний, но и смещает абсциссы вершин кривой. Сравнивая уравнения (1) и (11 ), нетрудновидеть, что это смещениеπ− ϕb0 . На рис. 61 изображен графикравно постоянной величине − 2bзатухающего колебания при a = 1 и b = 2π.
Вершины кривой не находятся на пунктирных линиях, соответствующих уравнениям y = ±e−ax .Это происходит вследствие указанного выше смещения вершин.x=59]§ 5. Приложение к изучению функций181y = e -xy = -e -xРис. 61.4. Построим кривуюx3 − 3x.6Составляем производные первого и второго порядкаy=y′ =x2 − 1,2y ′′ = x.Приравнивая первую производную нулю, получим значения x1 = 1 и x2 = −1. Подставляяэти значения во вторую производную, убедимся, что первому значению будет соответствовать минимум, а второму — максимум. Подставляя эти значения в выражение для y, определимсоответствующие вершины кривой:11,1, −.−1,33Полагая x = 0, получим y = 0, т.
е. начало координат (0, 0) лежит на кривой. Наконец, приравнивая y нулю, получим,кроме x = 0, ещеРис. 62.√два значения x = ± 3, т. е. окончательно точки√√пересечения кривой с осями координат будут (0, 0), ( 3, 0) и (− 3, 0).182Гл. II. Понятие о производной и его приложения[60Отметим еще, что при одновременной замене x и y на (−x) и (−y) обечасти уравнения кривой меняют лишь знак, т. е. начало координат естьцентр симметрии кривой (рис. 62).60. Наибольшее и наименьшее значения функций. Пустьрассматриваются значения функции f (x) при значениях независимой переменной x из промежутка (a, b), т.
е. при a 6 x 6 b, ипусть требуется найти наибольшее и наименьшее из этих значений.При указанном условии функция f (x) будет достигать наибольшего и наименьшего значения [35], т. е. соответствующий этой функции график будет иметь в упомянутом промежутке наибольшуюи наименьшую ординаты. Согласно приведенным выше правилам,мы сможем найти все максимумы и минимумы функции, заключающиеся внутри промежутка (a, b). Если функция f (x) имеет своюнаибольшую ординату внутри этого промежутка, то эта наибольшая ордината будет, очевидно, совпадать с наибольшим максимумом функции внутри промежутка (a, b).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
