1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(Совершенно аналогично рассматриваетсяслучай убывающих функций.)Т е о р е м а. Если f (x) имеет в точке x0 производную f ′ (x0 ),отличную от нуля, то обратная функция ϕ(y) имеет в точкеy0 = f (x0 ) производнуюϕ′ (y0 ) =1.f ′ (x0 )(4)Обозначая через ∆x и ∆y соответствующие приращения x и y,т. е.∆x = ϕ(y0 + ∆y) − ϕ(y0 ),∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ),и принимая во внимание, что оба они отличны от нуля, можем написать:1∆x= ∆y .∆y∆xКак мы видели выше, ∆x и ∆y одновременно стремятся к нулю, и последнее равенство в пределе и приводит к (4). Доказанная теорема может быть формулирована в виде следующего правила дифференцирования обратных функций: производная обратнойфункции равна единице, деленной на производную первоначальнойфункции в соответствующей точке.* Можно сказать, что производная сложной функции равна произведениюпроизводной внешней функции по своему аргументу на производную внутренней функции.144Понятие о производной и его приложения[48Правило дифференцирования обратныхфункций имеет простое геометрическое истолкование [21].
Функции x = ϕ(y) и y = f (x)имеют один и тот же график на плоскостиXOY с той лишь разницей, что для функции x = ϕ(y) ось независимой переменнойесть ось OY , а не OX (рис. 53). Проводя касательную M T и вспоминая геометрическоезначение производной, получимРис. 53.f ′ (x) = tg (OX, M T ) = tg α,ϕ′ (y) = tg (OY, M T ) = tg β,причем на рис. 53 угол β, как и угол α, считается положительным.Но, очевидно, β = π2 − α, и, следовательно,tg β =1,tg αт. е. ϕ′ (y) =1f ′ (x).Если x = ϕ(y) есть функция, обратная y = f (x), то, очевидно,и наоборот — функцию y = f (x) можно считать обратной функцииx = ϕ(y).Применим правило дифференцирования обратных функций кпоказательной функции.XIII. y = ax (a > 0).Обратная функция в данном случае будетx = ϕ(y) = loga y,и, в силу VII,11·,y log aоткуда по правилу дифференцирования обратных функцийϕ′ (y) =y′ =1ϕ′ (y)= y log aили (ax )′ = ax log a.В частном случае при a = e имеем(ex )′ = ex .48]§ 3.
Производная и дифференциал первого порядка145Полученная формула, вместе с правилом дифференцированиясложных функций, даст нам возможность вычислить производнуюот степенной функции.XIV. y = xn (x > 0; n — любое вещественное число).Эта функция при всех x > 0 определена и имеет положительныезначения [19].Пользуясь определением логарифма, мы можем представить нашу функцию в виде сложной функцииy = xn = en log x .Дифференцируя по правилу дифференцирования сложных функций, получимnny ′ = en log x = xn = nxn−1 .xxЭтот результат нетрудно обобщить и на случай отрицательных значений x, если√ только сама функция при этом существует, например,y = x1/3 = 3 xПрименим правило дифференцирования обратных функций кнахождению производных обратных круговых функций.XV. y = arc sin x.Мы рассматриваем главное значение [24]т. е.
этой функции,ππту дугу, которая находится в промежутке − 2 , + 2 . Функциюэту можно рассматривать как обратную функцию по отношению кфункции x = sin y и, согласно правилу дифференцирования обратных функций, имеемyx′ =1111==p,= √′2xycos y1 − x21 − sin yпричем у радикала надо брать знак (+), так как cos y имеет знакπ π(+) в промежутке − 2 , 2 . Точно так же можно получить1,(arc cos x)′ = − √1 − x2причем рассматривается главное значение arc cos x, т. е. та дуга, которая заключается в промежутке (0, π).146Понятие о производной и его приложения[49XVI. y = arc tg x.Главное значение arc tg x заключается в промежутке − π2 , π2 ,и функцию эту можно рассматривать как обратную по отношениюк функции x = tg y; следовательно,yx′ =1=x′y11cos2 y= cos2 y =112 = 1 + x2 .1 + tg yТочно так же получим(arc ctg x)′ = −1.1 + x2XVII.
Рассмотрим еще дифференцирование функций вида:y = uv ,где u и v — функции от x (степенно-показательная функция).Мы можем написатьy = ev log u ,и, применяя правило дифференцирования сложных функций, получимy ′ = ev log u · (v log u)′ .Применяя правило дифференцирования произведения и дифференцируя log u, как сложную функцию от x, будем иметь окончательноv y ′ = ev log u v ′ log u + u′uилиv y ′ = uv v ′ log u + u′ .u49. Таблица производных и примеры.
Приведем таблицувсех выведенных нами правил дифференцирования.1. (c)′ = 0.2. (cu)′ = cu′ .49]§ 3. Производная и дифференциал первого порядка1473. (u1 + u2 + . . . + un )′ = u′1 + u′2 + . . . + u′n .4. (u1 u2 . . . un )′ = u′1 u2 u3 . . . un +u1 u′2 u3 . . . un +. . .+u1 u2 u3 . . . u′n . ′′′u.5.
uv = u v−vv26. (xn ) = nxn−1 и (x)′ = 1.7. (loga x)′ = x1 · log1 a и (log x)′ = x1 .8. (ex ) = ex и (ax )′ = ax log a.9. (sin x)′ = cos x.10. (cos x)′ = − sin x.11. ( tg x)′ = cos12 x .12. ( ctg x)′ = − sin12 x .113. (arc sin x)′ = √1−x.21′14. (arc cos x) = − 1−x2 .115. (arc tg x)′ = 1+x2.116. (arc ctg x)′ = − 1+x2.v ′v−1 ′17. (u ) = vu u + uv log uv ′ .18.
yx′ = yu′ · u′x (y зависит от x через посредство u).19. x′y = y1′ .xПрименим выведенные правила к нескольким примерам.1. y = x3 − 3x2 + 7x − 10.Применяя правила 3, 6 и 2, получимy ′ = 3x2 − 6x + 7.2−31.2. y = √3 2 = xxПрименяя правило 6, получим22 5.y ′ = − x− 3 = − √333x x23. y = sin2 x.Полагая u = sin x, применим правила 18, 6 и 9:y ′ = 2u · u′ = 2 sin x cos x = sin 2x.4. y = sin x2 .Полагая u = sin x, применим те же правила:y ′ = cos u · u′ = 2x cos(x2 ).148Понятие о производной и его приложения[49p5. y = log(x + x2 + 1). √Полагая сначала u = x + x2 + 1 и затем v = x2 + 1, применим двараза правило 18, а также правила 7, 3 и 6:hipp11√√y′ =(x + x2 + 1)′ =1 + ( x2 + 1)′ =22x+ x +1x+ x +1hi112√1+ √(x + 1)′ ==22x+ x +12 x +1x1√1+ √==22x+ x +1x +1√1x + x2 + 11√=· √= √.222x+ x +1x +1x +1nx6.
y = 2x+1.xПоложим u = 2x+1и применим правила 18, 6 и 5:y′ = n x n−1 2x+1−2xx n−1 x ′nxn−1=n=.22x+22x+12x+1(2x+1)(2x+1)n+17. y = xx .Применяя правило 17, получимy ′ = xx−1 · x + xx log x = xx (1 + log x).8. Функция y задана уравнениемy2x2+ 2 − 1 = 0,2ab(5)как неявная функция от x. Требуется найти производную y.Если бы мы решили данное уравнение относительно y, то получили бы y = f (x), левая часть уравнения после подстановки y = f (x),очевидно, обращается тождественно в нуль.
Но производная от нуля какпроизводная от постоянной равна нулю, а потому если мы продифференцируем левую часть данного уравнения по x, считая, что y есть заданнаяэтим уравнением функция от x, то должны получить нуль:2y2x+ 2 y ′ = 0,a2bоткудаy′ = −b2 x.a2 yВ этом случае, как мы видим, y ′ выражается не только через x, нои через y, но зато нам не пришлось для отыскания производной решатьуравнение (5) относительно y, т.
е. находить явное выражение функции.50]§ 3. Производная и дифференциал первого порядка149Как известно из аналитической геометрии, уравнению (5) соответствует эллипс, и найденное выражение y ′ дает угловой коэффициент касательной к этому эллипсу в точке с координатами (x, y).50. Понятие о дифференциале.
Пусть ∆x — произвольноеприращение независимой переменной, которое мы считаем уже независящим от x. * Мы будем называть его дифференциалом независимой переменной и обозначить знаком ∆x либо dx. Знак этот нив коем случае не является произведением d на x, а служит лишьсимволом для обозначения произвольной, не зависящей от x величины.Дифференциалом функции называется произведение ее производной на дифференциал независимой переменной.Дифференциал функции y = f (x) обозначают символом dy илиdf (x):dy = df (x) = f ′ (x)dx.(6)Из этой формулы естественно получается выражение производнойв виде частного двух дифференциалов:f ′ (x) =dy.dxПодчеркнем, что дифференциал dx независимого переменного,входящий в определение дифференциала функции и в формулу (6),может принимать совершенно произвольные значения.
Фиксируякакое-либо значение dx, мы по формуле (6)получаем соответствующее значение dy призаданном x. Если мы считаем dx приращением независимого переменного x, то надо,чтобы не только x, но и x + dx принадлежалипромежутку, на котором определена функция. Но и при этом дифференциал функцииdy не совпадает, кроме исключительных случаев, с приращением функции, соответствующим приращению dx независимого переменРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
