Главная » Просмотр файлов » 1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98

1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 25

Файл №824737 1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (Курс высшей математики. В 5-ти т. Т. 1 Смирнов В .И. 2008) 25 страница1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737) страница 252021-01-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

(Совершенно аналогично рассматриваетсяслучай убывающих функций.)Т е о р е м а. Если f (x) имеет в точке x0 производную f ′ (x0 ),отличную от нуля, то обратная функция ϕ(y) имеет в точкеy0 = f (x0 ) производнуюϕ′ (y0 ) =1.f ′ (x0 )(4)Обозначая через ∆x и ∆y соответствующие приращения x и y,т. е.∆x = ϕ(y0 + ∆y) − ϕ(y0 ),∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ),и принимая во внимание, что оба они отличны от нуля, можем написать:1∆x= ∆y .∆y∆xКак мы видели выше, ∆x и ∆y одновременно стремятся к нулю, и последнее равенство в пределе и приводит к (4). Доказанная теорема может быть формулирована в виде следующего правила дифференцирования обратных функций: производная обратнойфункции равна единице, деленной на производную первоначальнойфункции в соответствующей точке.* Можно сказать, что производная сложной функции равна произведениюпроизводной внешней функции по своему аргументу на производную внутренней функции.144Понятие о производной и его приложения[48Правило дифференцирования обратныхфункций имеет простое геометрическое истолкование [21].

Функции x = ϕ(y) и y = f (x)имеют один и тот же график на плоскостиXOY с той лишь разницей, что для функции x = ϕ(y) ось независимой переменнойесть ось OY , а не OX (рис. 53). Проводя касательную M T и вспоминая геометрическоезначение производной, получимРис. 53.f ′ (x) = tg (OX, M T ) = tg α,ϕ′ (y) = tg (OY, M T ) = tg β,причем на рис. 53 угол β, как и угол α, считается положительным.Но, очевидно, β = π2 − α, и, следовательно,tg β =1,tg αт. е. ϕ′ (y) =1f ′ (x).Если x = ϕ(y) есть функция, обратная y = f (x), то, очевидно,и наоборот — функцию y = f (x) можно считать обратной функцииx = ϕ(y).Применим правило дифференцирования обратных функций кпоказательной функции.XIII. y = ax (a > 0).Обратная функция в данном случае будетx = ϕ(y) = loga y,и, в силу VII,11·,y log aоткуда по правилу дифференцирования обратных функцийϕ′ (y) =y′ =1ϕ′ (y)= y log aили (ax )′ = ax log a.В частном случае при a = e имеем(ex )′ = ex .48]§ 3.

Производная и дифференциал первого порядка145Полученная формула, вместе с правилом дифференцированиясложных функций, даст нам возможность вычислить производнуюот степенной функции.XIV. y = xn (x > 0; n — любое вещественное число).Эта функция при всех x > 0 определена и имеет положительныезначения [19].Пользуясь определением логарифма, мы можем представить нашу функцию в виде сложной функцииy = xn = en log x .Дифференцируя по правилу дифференцирования сложных функций, получимnny ′ = en log x = xn = nxn−1 .xxЭтот результат нетрудно обобщить и на случай отрицательных значений x, если√ только сама функция при этом существует, например,y = x1/3 = 3 xПрименим правило дифференцирования обратных функций кнахождению производных обратных круговых функций.XV. y = arc sin x.Мы рассматриваем главное значение [24]т. е.

этой функции,ππту дугу, которая находится в промежутке − 2 , + 2 . Функциюэту можно рассматривать как обратную функцию по отношению кфункции x = sin y и, согласно правилу дифференцирования обратных функций, имеемyx′ =1111==p,= √′2xycos y1 − x21 − sin yпричем у радикала надо брать знак (+), так как cos y имеет знакπ π(+) в промежутке − 2 , 2 . Точно так же можно получить1,(arc cos x)′ = − √1 − x2причем рассматривается главное значение arc cos x, т. е. та дуга, которая заключается в промежутке (0, π).146Понятие о производной и его приложения[49XVI. y = arc tg x.Главное значение arc tg x заключается в промежутке − π2 , π2 ,и функцию эту можно рассматривать как обратную по отношениюк функции x = tg y; следовательно,yx′ =1=x′y11cos2 y= cos2 y =112 = 1 + x2 .1 + tg yТочно так же получим(arc ctg x)′ = −1.1 + x2XVII.

Рассмотрим еще дифференцирование функций вида:y = uv ,где u и v — функции от x (степенно-показательная функция).Мы можем написатьy = ev log u ,и, применяя правило дифференцирования сложных функций, получимy ′ = ev log u · (v log u)′ .Применяя правило дифференцирования произведения и дифференцируя log u, как сложную функцию от x, будем иметь окончательноv y ′ = ev log u v ′ log u + u′uилиv y ′ = uv v ′ log u + u′ .u49. Таблица производных и примеры.

Приведем таблицувсех выведенных нами правил дифференцирования.1. (c)′ = 0.2. (cu)′ = cu′ .49]§ 3. Производная и дифференциал первого порядка1473. (u1 + u2 + . . . + un )′ = u′1 + u′2 + . . . + u′n .4. (u1 u2 . . . un )′ = u′1 u2 u3 . . . un +u1 u′2 u3 . . . un +. . .+u1 u2 u3 . . . u′n . ′′′u.5.

uv = u v−vv26. (xn ) = nxn−1 и (x)′ = 1.7. (loga x)′ = x1 · log1 a и (log x)′ = x1 .8. (ex ) = ex и (ax )′ = ax log a.9. (sin x)′ = cos x.10. (cos x)′ = − sin x.11. ( tg x)′ = cos12 x .12. ( ctg x)′ = − sin12 x .113. (arc sin x)′ = √1−x.21′14. (arc cos x) = − 1−x2 .115. (arc tg x)′ = 1+x2.116. (arc ctg x)′ = − 1+x2.v ′v−1 ′17. (u ) = vu u + uv log uv ′ .18.

yx′ = yu′ · u′x (y зависит от x через посредство u).19. x′y = y1′ .xПрименим выведенные правила к нескольким примерам.1. y = x3 − 3x2 + 7x − 10.Применяя правила 3, 6 и 2, получимy ′ = 3x2 − 6x + 7.2−31.2. y = √3 2 = xxПрименяя правило 6, получим22 5.y ′ = − x− 3 = − √333x x23. y = sin2 x.Полагая u = sin x, применим правила 18, 6 и 9:y ′ = 2u · u′ = 2 sin x cos x = sin 2x.4. y = sin x2 .Полагая u = sin x, применим те же правила:y ′ = cos u · u′ = 2x cos(x2 ).148Понятие о производной и его приложения[49p5. y = log(x + x2 + 1). √Полагая сначала u = x + x2 + 1 и затем v = x2 + 1, применим двараза правило 18, а также правила 7, 3 и 6:hipp11√√y′ =(x + x2 + 1)′ =1 + ( x2 + 1)′ =22x+ x +1x+ x +1hi112√1+ √(x + 1)′ ==22x+ x +12 x +1x1√1+ √==22x+ x +1x +1√1x + x2 + 11√=· √= √.222x+ x +1x +1x +1nx6.

y = 2x+1.xПоложим u = 2x+1и применим правила 18, 6 и 5:y′ = n x n−1 2x+1−2xx n−1 x ′nxn−1=n=.22x+22x+12x+1(2x+1)(2x+1)n+17. y = xx .Применяя правило 17, получимy ′ = xx−1 · x + xx log x = xx (1 + log x).8. Функция y задана уравнениемy2x2+ 2 − 1 = 0,2ab(5)как неявная функция от x. Требуется найти производную y.Если бы мы решили данное уравнение относительно y, то получили бы y = f (x), левая часть уравнения после подстановки y = f (x),очевидно, обращается тождественно в нуль.

Но производная от нуля какпроизводная от постоянной равна нулю, а потому если мы продифференцируем левую часть данного уравнения по x, считая, что y есть заданнаяэтим уравнением функция от x, то должны получить нуль:2y2x+ 2 y ′ = 0,a2bоткудаy′ = −b2 x.a2 yВ этом случае, как мы видим, y ′ выражается не только через x, нои через y, но зато нам не пришлось для отыскания производной решатьуравнение (5) относительно y, т.

е. находить явное выражение функции.50]§ 3. Производная и дифференциал первого порядка149Как известно из аналитической геометрии, уравнению (5) соответствует эллипс, и найденное выражение y ′ дает угловой коэффициент касательной к этому эллипсу в точке с координатами (x, y).50. Понятие о дифференциале.

Пусть ∆x — произвольноеприращение независимой переменной, которое мы считаем уже независящим от x. * Мы будем называть его дифференциалом независимой переменной и обозначить знаком ∆x либо dx. Знак этот нив коем случае не является произведением d на x, а служит лишьсимволом для обозначения произвольной, не зависящей от x величины.Дифференциалом функции называется произведение ее производной на дифференциал независимой переменной.Дифференциал функции y = f (x) обозначают символом dy илиdf (x):dy = df (x) = f ′ (x)dx.(6)Из этой формулы естественно получается выражение производнойв виде частного двух дифференциалов:f ′ (x) =dy.dxПодчеркнем, что дифференциал dx независимого переменного,входящий в определение дифференциала функции и в формулу (6),может принимать совершенно произвольные значения.

Фиксируякакое-либо значение dx, мы по формуле (6)получаем соответствующее значение dy призаданном x. Если мы считаем dx приращением независимого переменного x, то надо,чтобы не только x, но и x + dx принадлежалипромежутку, на котором определена функция. Но и при этом дифференциал функцииdy не совпадает, кроме исключительных случаев, с приращением функции, соответствующим приращению dx независимого переменРис.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
4,05 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее