1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 24
Текст из файла (страница 24)
они не лежат на одной прямой, проходящей через точкус абсциссой x. Этот случай представлен точкой M1 на рис. 51. Вточках M2 и M3 отношение (1) при h → −0 и h → +0 стремится к бесконечности. Обратим внимание на знак этой бесконечности.Для точек N , лежащих на кривой слева от M2 , величина h < 0и f (x + h) − f (x) < 0 при h, достаточно близких к нулю, так как ордината слева меньше ординаты в точке M2 . Таким образом, в этомслучае (1) положительно, и при h → −0 оно стремится к (+∞)(касательная слева параллельна оси OY ). Справа от M2 величина h > 0 и по-прежнему f (x + h) − f (x) < 0, т. е. отношение (1)отрицательно и оно стремится к (−∞) при h → +0. Переходим кточке M3 .
Здесь слева h < 0 и f (x + h) − f (x) < 0, а справа h > 0 иf (x+ h)− f (x) > 0, т. е. слева и справа отношение (1) положительнои оно стремится к (+∞) как при h → −0, так и при h → +0, т. е. вэтом случае отношение (1) стремится к (+∞) при h → ±0.Отметим, что при определении производной мы требовали, чтобы отношение (1) стремилось к конечному пределу при h → ±0.Если этот предел при h → ±0 равен (+∞) или (−∞), то мы всеже не говорим, что при соответствующем значении x существуетпроизводная, равная (+∞) или (−∞).47]§ 3. Производная и дифференциал первого порядка137Возможны, конечно, и такиеточки на кривой y = f (x), в которых нет и производных f ′ (x − 0)и f ′ (x + 0).
Такая кривая изображена на рис. 52. Она не имеет указанных производных при x = c.Если непрерывная функциязадана только на промежутке(a, b), то при x = a мы имеем возможность образовать только правую производную f ′ (a + 0), а приРис. 52.x = b — только левую производную f ′ (b − 0). Когда говорят, что f (x) имеет в промежутке (a, b)(замкнутом) производную f ′ (x), то во внутренних точках промежутка эту производную надо понимать в обычном смысле, а наконцах промежутка в только что указанном смысле.Если f (x) определена в промежутке (A, B), более широком,чем (a, b), т. е. A < a и B > b, и имеет внутри (A, B) обычнуюпроизводную f ′ (x), то тем более она будет производной в указанномсмысле и на промежутке (a, b).47.
Производные простейших функций. Из понятия производной следует, что для определения производной надо составить приращение функции, разделить его на соответствующееприращение независимой переменной и найти предел этого отношения при стремлении приращения независимой переменной кнулю. Применим это правило к некоторым простейшим функциям.I.
y = b (постоянная) [12].y ′ = limh→0b−b= lim 0 = 0,h→0hт. е. производная постоянной равна нулю.II. y = xn (n — целое положительное число).** Здесьn!.k!(n−k)!и т. д.k =воспользовались формулой бинома Ньютона и учли, что CnТакже восполльзовались тем, что n! = n · (n − 1)! = n · (n − 1) · (n − 2)!138Понятие о производной и его приложения[47(x + h)n − xn=h→0hh2 xn−2 + · · · + hn − xnxn + nhxn−1 + n(n−1)2!= lim=h→0hhin(n − 1) n−2= lim nxn−1 +hx+ · · · + hn−1 = nxn−1 .h→02!y ′ = limВ частности, если y = x, то y ′ = 1. В дальнейшем мы обобщимэто правило дифференцирования степенной функции на любые значения показателя n.III. y = sin x.*hh2cosx+2 sin 2sin(x + h) − sin x= lim=y ′ = limh→0h→0hh!h sin h2= lim cos x += cos x,hh→022так как при стремленииIV. y = cos x.y ′ = limh→0h2к нулюsinh2cos(x + h) − cos x= lim −h→0hh2→ 1 [33].2 sin x + h2 sin h2h= − lim sin x +h→0h2!sin h2h2== − sin x.V.
y = log x (x > 0).y ′ = limh→0log(x + h) − log x= limh→0hlog 1 + hxh= limh→0=hlog1+x1xhx=1,x* Здесь и далее используются теоремы об арифметических действиях с пределами, рассмотренные в [28]. Соответствующие пределы существуют так какпо предположению существуют производные у функций u(x), v(x), w(x).47]§ 3. Производная и дифференциал первого порядка139так как при h → 0 переменная α = hx также стремится к нулю иlog(1+α)→ 1 [38].αVI. y = cu(x), где c — постоянная и u(x) есть функция от x.cu(x + h) − cu(x)u(x + h) − u(x)= c lim= cu′ (x),h→0h→0hhт.
е. производная от произведения постоянной величины на переменную равна произведению этой постоянной на производную отпеременного сомножителя, или, другими словами, постоянныймножитель можно выносить за знак производной.VII. y = loga x.Как мы знаем, loga x = log x · log1 a [38]. Применяя правило VI,получим11.y′ = ·x log aVIII. Рассмотрим производную от суммы нескольких функций;для определенности ограничимся тремя слагаемыми:y ′ = limy = u(x) + v(x) + w(x),[u(x + h) + v(x + h) + w(x + h)] − [u(x) + v(x) + w(x)]=hh u(x + h) − u(x) v(x + h) − v(x) w(x + h) − w(x) i= lim++=h→0hhh= u′ (x) + v ′ (x) + w′ (x),y ′ = limh→0т. е.
производная суммы нескольких функций равна сумме производных этих функций.IX. Рассмотрим теперь производную от произведения двухфункций:y = u(x) · v(x),u(x + h)v(x + h) − u(x)v(x).h→0hy ′ = limПрибавляя к числителю величину u(x + h)v(x) и вычитая из неготу же величину, получимy ′ = limh→0u(x+h)v(x+h)−u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x)−u(x)v(x)=h140Понятие о производной и его приложения[47v(x + h) − v(x)u(x + h) − u(x)+ lim v(x)=h→0hh′′= u(x)v (x) + v(x)u (x),= lim u(x + h)h→0т.
е. для случая двух сомножителей мы показали, что производнаяпроизведения равна сумме произведений производных каждого изсомножителей на остальные.Докажем справедливость этого правила для трех сомножителей, соединяя два сомножителя в одну группу и применяя правилок случаю двух сомножителей:y = u(x)v(x)w(x),y ′ = {[u(x)v(x)]w(x)}′ = [u(x)v(x)]w′ (x) + w(x)[u(x)v(x)]′ == u(x)v(x)w′ (x) + u(x)v ′ (x)w(x) + u′ (x)v(x)w(x).Применяя известный метод математической индукции, нетруднораспространить это правило на случай любого конечного числа сомножителей.X. Пусть теперь y есть частное:y=′u(x),v(x)y = limu(x+h)v(x+h)−u(x)v(x)=hu(x + h)v(x) − v(x + h)u(x)1.= limh→0 v(x)v(x + h)hh→0Вычитая и прибавляя к числителю второй из дробей произведение u(x)v(x), получим, принимая во внимание непрерывность v(x):u(x+h)v(x)−u(x)v(x)+u(x)v(x)−v(x+h)u(x)1·=h→0 v(x)v(x+h)hhu(x+h)−u(x)v(x+h)−v(x) i1= limv(x)−u(x)=h→0 v(x)v(x+h)hhu′ (x)v(x) − v ′ (x)u(x)=,[v(x)]2y ′ = lim48]§ 3.
Производная и дифференциал первого порядка141т. е. производная дроби (частного) равна производной числителя,умноженной на знаменатель, минус производная знаменателя,умноженная на числитель, все разделенное на квадрат знаменателя.XI. y = tg x.y′ = sin x ′cos x=(sin x)′ cos x − (cos x)′ sin x cos2 x + sin2 x1==.cos2 xcos2 xcos2 xXII. y = ctg x.y′ = cosx ′sin x=(cos x)′ sin x−(sin x)′ cos x − sin2 x− cos2 x1==− 2 .sin2 xsin2 xsin xПри выводе правил VI, VIII, IX и X мы предполагали, что функции u(x), v(x), w(x) имеют производные, и доказали существованиепроизводной у функции y.48.
Производные сложных и обратных функций. Напомним понятие о сложной функции [44]. Пусть y = f (x) — функция,непрерывная в некотором промежутке a 6 x 6 b, причем ее значения принадлежат промежутку c 6 y 6 d. Пусть далее, z = F (y) —функция, непрерывная в промежутке c 6 y 6 d. Понимая под yвышеуказанную функцию от x, мы получим сложную функцию отx:z = F (y) = F (f (x)).Говорят, что эта функция зависит от x через посредство y.Нетрудно видеть, что эта функция будет непрерывна в промежуткеa 6 x 6 b. Действительно, бесконечно малому приращению x соответствует бесконечно малое приращение y в силу непрерывностифункции f (x), а бесконечно малому приращению y соответствуетбесконечно малое приращение z в силу непрерывности f (y).Прежде чем переходить к выводу правила дифференцированиясложной функции сделаем одно замечание. Если z = F (y) имеетпроизводную при y = y0 , то, согласно сказанному в [45], мы можемнаписать∆z = F (y0 + ∆y) − F (y0 ) = [F ′ (y0 ) + α]∆y,(3)142Понятие о производной и его приложения[48где переменная α есть функция ∆y, определенная при всех ∆y,достаточно близких к нулю и отличных от нуля, причем α → 0,если ∆y → 0, оставаясь отличным от нуля.
Равенство (3) остаетсясправедливым для ∆y = 0 при любом выборе α, ибо при ∆y = 0 и∆z = 0. В силу сказанного выше естественно положить α = 0 при∆y = 0. При таком соглашении мы можем считать, что в формуле(3) α → 0, если ∆y → 0 любым образом, даже и принимая значение,равное нулю. Формулируем теперь теорему о производной сложнойфункции.Т е о р е м а. Если y = f (x) имеет в точке x = x0 производнуюf ′ (x0 ) и z = F (y) имеет в точке y0 = f (x0 ) производную F ′ (y0 ),то сложная функция F (f (x)) имеет в точке x = x0 производную,равную произведению F ′ (y0 )f ′ (x0 ).Пусть ∆x — приращение (отличное от нуля), которое мы придаем значению x0 независимой переменной x, и ∆y = f (x0 + ∆x) −f (x0 ) — соответствующее приращение переменной y (оно можетоказаться и равным нулю).
Пусть, далее, ∆z = F (y0 + ∆y) − F (y0 ).Производная от сложной функции z = F (f (x)) по x при x = x0∆zпри ∆x → 0, если этотравна, очевидно, пределу отношения ∆xпредел существует. Разделим обе части (3) на ∆x:∆z∆y= [F ′ (y0 ) + α].∆x∆xПри стремлении ∆x к нулю и ∆y → 0, в силу непрерывности функции y = f (x) в точке x = x0 , а потому, как мы указали выше,∆yстремится при этом к производной f ′ (x0 ), и,α → 0. Отношение ∆xпереходя в написанном выше равенстве к пределу, получимlim∆x→0∆z= F ′ (y0 )f ′ (x0 ),∆xчто и доказывает теорему. Отметим, что непрерывность f (x) приx = x0 вытекает из предположенного существования производнойf ′ (x0 ) [45].Доказанная теорема может быть формулирована в виде следующего правила дифференцирования сложных функций: производнаясложной функции равна произведению производной по промежу-48]§ 3.
Производная и дифференциал первого порядка143точной переменной на производную от промежуточной переменной по независимой переменной:zx′ = F ′ (y)f ′ (x).*Переходим к правилу дифференцирования обратных функций.Если y = f (x) непрерывна и возрастает в промежутке (a, b) (т. е.бо́льшим значением x соответствует и бо́льшие y), причем A = f (a)и B = f (b), то, как мы знаем [21 и 44], в промежутке (A, B) существует однозначная и непрерывная обратная, а также возрастающая функция x = ϕ(y). В силу возрастания, если ∆x 6= 0, то и∆y 6= 0, и наоборот, и в силу непрерывности из ∆x → 0 следует ∆y → 0, и наоборот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
