1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Из рассуждений с показательной функцией непосредственно следует, что функция (39) имеет определенное значение привсяком x > 0. Пользуясь определением логарифма и применяя, например, натуральные логарифмы, мы можем написать вместо (39):z = eb log x .∗Формула бинома Ньютона (a + b)n =nPk=0k ak bn−k , где C k — число сочеCnnтаний из n по k. В случае (1 + b)n , b > 0, оценка получается отбрасываниемвсех слагаемых из разложения в бином Ньютона, кроме первых двух, при этомучитывается, что все слагаемые положительны.130Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[44Полагая y = b log x и z = eν , мы можем рассматривать эту функциюкак сложную функцию от x, и непрерывность показательной и логарифмической функций докажет нам непрерывность функции (39) при всякомx > 0.Мы доказали выше [34] непрерывность функции sin x при всех значениях x. Так же доказывается непрерывность функции cos x при всехx.
Из формулcos xsin x, ctg x =tg x =cos xsin xнепосредственно следует [34] непрерывность tg x и ctg x при всех x, кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль.Функция x есть непрерывная возрастающая функция в про y = sinππмежутке − 2 , 2 . Пользуясь сказанным выше об обратных функциях,можем утверждать, что главное значение функции x = arc sin y будетнепрерывной возрастающей функцией в промежутке −1 6 y 6 1. Аналогично доказывается непрерывность и остальных обратных круговыхфункций.Г Л А В А IIПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙИ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ§ 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛПЕРВОГО ПОРЯДКА45. Понятие о производной.
Рассмотрим движущуюся по направлению прямой линии точку. Пройденный ею путь s, отсчитываемый от определенной точки прямой, есть, очевидно, функциявремени t:s = f (x),так что всякому определенному моменту времени t соответствуетопределенное значение s. Придадим t приращение ∆t, и тогда новому моменту времени t + ∆t будет соответствовать путь s + ∆s. Вслучае равномерного движения, приращение пути пропорционально приращению времени, и в этом случае отношение ∆s∆t выражаетпостоянную скорость движения. В общем случае это отношение зависит как от выбранного момента времени t, так и от приращения∆t и выражает среднюю скорость движения за промежуток времени от t до t + ∆t. Эта средняя скорость есть скорость воображаемой точки, которая, двигаясь равномерно, за промежуток времени∆t проходит путь ∆s.
Например, в случае равномерно ускоренного132Гл. II. Понятие о производной и его приложения[45движения мы будем иметьs=1 2gt + v0 t*2и∆s=∆t12 g(t+ ∆t)2 + v0 (t + ∆t) − 12 gt2 − v0 t1= gt + v0 + g∆t.∆t2Чем меньше промежуток времени ∆t, тем с большим правом мы можем считать движение рассматриваемой точки за этот промежутоквремени равномерным, и предел отношения ∆s∆t , при стремлении ∆tк нулю, определяет скорость v в данный момент t:v = lim∆t→0∆s.∆tТак, в случае равномерно ускоренного движения1∆s= lim gt + v0 + g∆t = gt + v0 .∆t→0∆t→0 ∆t2v = limСкорость v есть так же, как и путь s, функция от t; функцияэта называется производной функции f (t) по t; таким образом, скорость есть производная от пути по времени.Положим, что некоторое вещество вступает в химическую реакцию.
Количество этого вещества x, вступившее уже в реакциюк моменту времени t, есть функция от t. Приращению времени ∆tбудет соответствовать приращение ∆x величины x, и отношение∆x∆t выражает среднюю скорость химической реакции за промежуток времени ∆t, а предел этого отношения, при стремлении ∆t кнулю, выражает скорость химической реакции в данный моментвремени t.Отвлечемся теперь от примеров и дадим общее определение производной. Положим, что функция y = f (x) определена при некотором фиксированном значении x и при всех значениях к нему достаточно близких, т. е.
при всех значениях вида x + h, где h — любое* Здесь g — постоянное ускорение, v — начальная скорость движения в мо0мент t = 0.45]§ 3. Производная и дифференциал первого порядка133положительное или отрицательное число достаточно малое по абсолютному значению. Величину h называют обычно приращениемнезависимой переменной x.
Вместо h пишут часто ∆x. Соответствующее приращение функции будет: ∆y = f (x + h) − f (x). Составимотношение этих приращений:f (x + h) − f (x)∆y=.∆xh(1)Это отношение определено при всех значениях h, достаточно малыхпо абсолютной величине, т. е. в некотором промежутке −k 6 h 6 +kкроме h = 0. Поскольку x фиксировано, отношение (1) являетсяфункцией только от h.О п р е д е л е н и е.
Если отношение (1) имеет предел (конечный)при стремлении h к нулю (h → ±0), то этот предел называетсяпроизводной функции f (x) при заданном x.Иначе говоря, производной данной функции f (x) при задан∆yприращения ∆yном значении x называется предел отношения ∆xфункции к соответствующему приращению ∆x независимого переменного, когда это последнее стремится к нулю (∆x → ±0), еслиупомянутый предел существует. Для обозначения производной пишут y ′ , или f ′ (x):y ′ = f ′ (x) =lim∆x→±0f (x + h) − f (x)∆y= lim.∆x h→±0hОперация нахождения производной называется дифференцированием функции.Дробь (1) при h → ±0 может и не иметь предела, и тогда производная при заданном значении x не существует.
Существованиепредела f ′ (x) равносильно следующему [32]: при любом заданномчисле ε > 0 существует такое число η > 0, что f (x + h) − f (x)′− f (x) < ε, если |h| < η и h 6= 0.hПредполагая, что производная существует, можем написатьf (x + h) − f (x)= f ′ (x) + β,∗h134Понятие о производной и его приложения[46где β → 0 при h → ±0. Далее, имеемf (x + h) − f (x) = [f ′ (x) + β]h,откуда следует, что f (x + h) − f (x) → 0 при h → ±0, т.
е. еслипри некотором значении x производная f ′ (x) существует, то приэтом значении x функция f (x) непрерывна. Обратное утверждение неправильно, при непрерывности функции при заданном x ещенельзя утверждать, что при этом значении x существует производная.Обратим внимание на то, что при отыскании производной унепрерывной функции мы имеем дробь (1), у которой и числительи знаменатель стремится к нулю, причем знаменатель h в нуль необращается. Отметим один частный случай. Если y = cx, то числитель дроби есть c(x + h) − cx = ch, а вся дробь равна c, т. е. независит от h. Ее предел при h → ±0 также равен c.При фиксированном x значения f (x) и f ′ (x) суть числа.
Еслифункция и производная существует при всех x внутри некоторогопромежутка, то f ′ (x) является функцией от x внутри этого промежутка. В рассмотренном выше случае f (x) = cx производная f ′ (x)равна числу c при всех x.46. Геометрическое значение производной. Для выяснения геометрического значения производной обратимся к графикуфункции y = f (x). Возьмем на нем точку M с координатами (x, y)и близкую к ней, тоже лежащую на кривой, точку N с координатами (x + ∆x, y + ∆y). Проведем ординаты M1 M и N1 N этих точеки из точки M проведем прямую, параллельную оси OX.
Мы будемиметь (рис. 50):M P = M1 N1 = ∆x, M1 M = y, N1 N = y + ∆y, P N = ∆y.(2)∆yравно, очевидно, тангенсу угла α1 , образованОтношение ∆xного секущей M N с положительным направлением оси OX. Пристремлении ∆x к нулю точка N будет, оставаясь на кривой, стремиться к точке M ; предельным положением секущей M N будет касательная M T к кривой в точке M , и, следовательно, производнаяf ′ (x) равна тангенсу угла α, образованного касательной к кривой46]§ 3. Производная и дифференциал первого порядка135в точке M (x, y) с положительным направлением к оси OX, т.
е.равна угловому коэффициенту этой касательной.При вычислении отрезков по формулам (2) надо принимать вовнимание правило знаков и помнить, что приращения ∆x и ∆yмогут быть как положительными, так и отрицательными.Точка N , лежащая на кривой,может стремиться к M с любойстороны. На рис. 50 мы придали касательной определенное направление. Если бы мы придали ей прямо противоположное направление, то это привело бы к изменению угла α на величину π ине повлияло на величину тангенса этого угла.
В дальнейшем мыРис. 50.вернемся еще к вопросу о направлении касательной. Сейчас для нас это не существенно.Мы видим таким образом, что существование производной связано с существованием касательной к кривой, соответствующейуравнению y = f (x), причем угловой коэффициент касательнойtg α = f ′ (x) должен быть конечным. Иными словами, касательная не должна быть параллельна оси OY . В этом последнем случае α = π2 или α = 3π2 , и тангенс такого угла равен бесконечности.Непрерывная кривая может в отдельных точках вовсе не иметь касательной или иметь касательную, параллельную оси OY (рис. 51), и присоответствующих значениях x функция f (x) не имеет производной.
Таких исключительных точек может бытьсколько угодно много на кривой. Доказывается также, что существуют такиеРис. 51.непрерывные функции, которые не имеют производной ни при одном значении x. Кривая, соответствующая такой функции, недоступна нашим геометрическим представлениям.136Понятие о производной и его приложения[46Остановимся несколько подробнее на тех случаях, которыепредставлены на рис. 51.Предварительно введем понятия о производной справа и производной слева.
Положим, что h стремится к нулю не произвольным образом, а со стороны отрицательных значений или со стороны положительных значений, т. е. h → −0 или h → +0. Если приэтом отношение (1) имеет предел (конечный), то он обозначаетсяобычно символом f ′ (x − 0) или, соответственно, f ′ (x + 0) и называется производной слева или, соответственно, производной справа.Существование производной f ′ (x) равносильно тому, что существуют производные f ′ (x − 0) и f ′ (x + 0) и что они равны.
При этомf ′ (x) = f ′ (x − 0) = f ′ (x + 0).Если существуют различные производные f ′ (x − 0) и f ′ (x + 0),то это соответствует тому случаю, когда в соответствующей точке x существуют слева и справа касательные, не параллельные осиOY (предельные положения секущей), но эти касательные различны, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
