1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Докажем, что многочлен степени m есть бесконечно большая порядка m по сравнению с x. Действительно,limx→0a0 xm + a1 xm−1 + · · · + am−1 x + am=x→∞xmam am−1a1= lim a0 ++ · · · + m−1 + m = a0 .x→∞xxxlimНетрудно видеть, что два многочлена одной и той же степени, при x →∞, суть бесконечно большие одного и того же порядка. Их отношениеимеет пределом отношение их старых коэффициентов.
Например,5+5x2 + x − 3= limx→∞ 7 +x→∞ 7x2 + 2x + 4lim1x2x−+3x24x2=5.7Если степени двух многочленов различны, то при x → ∞ тот из них будетбесконечно большой высшего порядка по сравнению с другим, степенькоторого больше.∗ Чтобы получить правую часть этого выражения необходимо левую его√часть домножить и поделить на 1 + x + 1 и воспользоваться в числителе формулой разности квадратов.106Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[3838.
Число e. Рассмотрим один важный для дальнейшего пример переменной величины, а именно рассмотрим переменную, принимающую значения,1 n,1+nгде n, возрастая, принимает целые положительные значения и стремится, таким образом, к +∞. Применяя формулу бинома Ньютона,получим1+n(n − 1) 1n(n − 1)(n − 2) 1n11 n=1++++n1n2!n23!n3n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) 1+ ···++ ···+k!nkn(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1 1=+n!nn11112=1+1+1−+1−+ ···+1−2!n3!nn1 12 k − 11−...
1 −+ ···++1−k!nnn1 12 n − 11−... 1 −.+1−n!nnnНаписанная сумма содержит (n + 1) положительных слагаемых.При увеличении целого числа n, во-первых, увеличится число слагаемых и, во-вторых, каждое из прежних слагаемых также увеличится, так как в выражении общего члена21 2 k − 111−... 1 −1−k!nnnk остается без изменения, а разности, стоящие в круглых скобках,увеличатся при увеличении n.
Таким образом, мы видим, что рассматриваемая переменная при увеличении n увеличивается, и для2 Произведение1−1n1−2n... 1 −k−1nполучается из дробиn(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1),nkесли каждый из k сомножителей, стоящих в числителе, разделить на n, принимая во внимание, что число сомножителей n в знаменателе также равно k.38]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции107того, чтобы убедиться в существовании предела этой переменной,достаточно доказать, что она ограничена.Заменим в выражении общего члена каждую из упомянутыхразностей единицей, а все множители, входящие в k!, начиная с3, заменим на 2. От такой замены общий член увеличится, и мыбудем иметь, применяя формулу для суммы членов геометрическойпрогрессии11111 n< 1 + 1 + + 2 + · · · + k−1 + · · · + n−1 =1+n2 2221 − 21n1=1+= 3 − n−1 < 3,21 − 21nт. е.
переменная 1 + n1ограничена. Обозначим предел этой переменной буквой e:1 n= e (n— целое положительное).(23)lim 1 +n→+∞nЭтот предел не может быть, очевидно, больше 3. В формуле (23)целое n может, очевидно, стремитьсяк +∞ любым образом.xстремится к тому жеДокажем теперь, что выражение 1 + x1пределу e, если x → +∞, принимая любые значения.Пусть n — наибольшее целое число, заключающееся в x, т. е.n 6 x < n + 1.Число n стремится, очевидно, вместе с x к +∞. Принимая во внимание, что при увеличении положительного основания, большегоединицы, и показателя степени увеличивается и сама степень, можем написать1 x 1 n+11 n < 1+< 1+.(24)1+n+1xnНо, в силу равенства (23),limn→+∞n+111 + n+11 ne = =e1+= limn→+∞1n+111 + n+1108Гл.
I. Функциональная зависимость и теория пределов[38иlimn→+∞1+h1 n+11 n 1 i1+= lim1+= e · 1 = e.n→+∞nnnТаким образом, крайние члены неравенства (24) стремятся кпределу e, а потому к тому же пределу должен стремиться и средний член, т. е.1 x= e.(25)lim 1 +x→+∞xРассмотрим теперь тот случай, когда x стремится к −∞. Введемвместо x новую переменную y, полагаяx = −1 − y,откуда y = −1 − x.Из последнего равенства видно, что, при стремлении x к −∞ yстремится к +∞.xСовершая в выражении 1+ x1 замену переменных и принимаяво внимание равенство (25), получим −y −1−y 1 + y 1+y1 x= lim= lim1+=x→−∞y→+∞ −1 − yy→+∞xyh1 y 1 i1+= lim1+= e · 1 = e.y→+∞yylimЕсли x стремится к ∞, имея любые знаки, т.
е. |x| → +∞, то изпредыдущего следует, что и в этом случае1 x= e.1+x→∞xlim(26)Впоследствии мы покажем удобный путь для вычисления числаe с любой степенью точности. Число это, как оказывается, есть число иррациональное и с точностью до седьмого десятичного знакаоно выражается так: e = 2, 7182818 .
. .38]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции109xНетрудно теперь найти предел выражения 1 + kx , где k —данное число. Пользуясь непрерывностью степенной функции, получимk x= limlim 1 +x→∞x→∞x"1+1xk! kx #k= limy→∞h1+1 y ik= ek ,yгде буквою y обозначено частное xk , стремящееся к бесконечностиодновременно с x. nвстречаются в теории так называеВыражения вида 1 + nkмых сложных процентов. Предположим, что приращение капиталапроисходит ежегодно. Если капитал a отдан из p процентов годовых, то по истечении года наращенный капитал будет a(1 + k), гдеp; по прошествии второго года он будет a(1 + k)2 , и, вообще,k = 100по прошествии m лет он будет a(1 + k)m .Положим теперь, что приращение капитала происходит через n1часть года.
При этом число k уменьшится в n раз, так как процентная такса p рассчитана на год, а число промежутков времениувеличится в n раз, и наращенный капитал через m лет будетk mn.a 1+nПусть, наконец, n увеличивается беспредельно, т. е. приращениекапитала происходит через все меньшие промежутки времени и впределе — непрерывно. По прошествии m лет наращенный капиталбудетhk n imk mn= aekm .= lim a 1 +lim a 1 +n→∞n→∞nnПримем число e за основание логарифмов.
Такие логарифмыназываются натуральными логарифмами и их обычно обозначаютпросто знаком log (или ln) без указания основания.∗чисПри стремлении переменной x к нулю в выражении log(1+x)xлитель и знаменатель стремятся к нулю. Раскроем эту неопределен∗ В современной математической литературе натуральный логарифм обозначается символом ln.110Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[39ность.
Введем новую переменную y, полагаяx=1,yт. е. y =1,xоткуда видно, что при x → 0, y стремится к бесконечности. Введяэту новую переменную и пользуясь непрерывностью функции log xпри x > 0 и формулой (26), получим11 ylog(1 + x)= lim y log 1 += lim log 1 += log e = 1.y→∞y→∞x→0xyylimИз этого ясна целесообразность сделанного выбора основаниялогарифмов. Точно так же как при радианном измерении углов,истинное значение выражения sinx x при x = 0 равно единице, вслучае натуральных логарифмов истинное значение выраженияlog(1+x)при x = 0 тоже равно единице.xИз определения логарифмов вытекает следующее соотношение:N = aloga N .Логарифмируя это соотношение по основанию e, получимlog N = loga N · log aилиloga N = log N ·1.log aСоотношение это выражает логарифм числа N при любом основании a через его натуральный логарифм.
Множитель M = log1 a называется модулем системы логарифмов с основанием a; при a = 10он выражается с точностью до седьмого десятичного знака так:M = 0, 4342945 . . .39. Недоказанные предложения. При изложении теориипределов мы оставили недоказанными несколько предложений, которые сейчас перечислим: существование предела у монотоннойограниченной переменной [30], необходимое и достаточное условиесуществования предела (признак Коши) [31] и три свойства непрерывных в замкнутом промежутке функций [35].
Доказательство39]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции111этих предложений основывается на теории вещественных чисел идействий над ними. Изложению этой теории и доказательству упомянутых выше предложений будут посвящены следующие номера.Введем еще одно новое понятие и сформулируем еще одно предложение, которое также будет доказано ниже.
Если мы имеем множество, состоящее из конечного числа вещественных чисел (например, мы имеем тысячу вещественных чисел), то среди них будеткак наибольшее, так и наименьшее. Если же мы имеем бесконечноемножество вещественных чисел и даже таких, что все эти числапринадлежат определенному промежутку, то все же не всегда среди этих чисел будет наибольшее и наименьшее. Например, если мырассмотрим множество всех вещественных чисел, заключающихсямежду 0 и 1, но не будем причислять к этому множеству самихчисел 0 и 1, то среди этого множества чисел нет ни наибольшего,ни наименьшего. Какое бы число, близкое к единице, но меньше ее,мы ни взяли, найдется другое число, лежащее между взятым числом и единицей. В данном случае числа 0 и 1, не принадлежащие квзятому множеству чисел, обладают по отношению к нему следующим свойством: среди чисел нашего множества нет чисел, бо̂льшихединицы, но при любом заданном положительном числе ε есть числа, бо́льшие (1 − ε).
Точно так же среди чисел нашего множестванет чисел, меньших нуля, но при любом заданном положительномчисле ε есть числа, меньшие (0 + ε). Эти числа 0 и 1 называются точной нижней и точной верхней границами указанного вышемножества вещественных чисел.Перейдем от этого примера к общему случаю.Пусть имеется некоторое множество E вещественных чисел. Говорят, что оно ограничено сверху, если существует такое число M ,что все числа, принадлежащие множеству E, не превосходят M .Точно так же говорят, что множество ограничено снизу, если существует такое число m, что все числа, принадлежащие множеству E,не менее, чем m. Если множество ограничено сверху и снизу, то егопросто, называют ограниченным.О п р е д е л е н и е. Точной верхней границей множества E называют такое число β (если оно существует), что среди чисел,принадлежащих E, нет чисел, бо́льших β, но при любом заданномположительном ε есть числа, бо́льшие (β − ε). Точной нижней112Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
