1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Например, для пронумерованной переменной (xn = a при любом n)|xn − a| = 0 меньше любого заданного положительного ε при всехn [ср. 26]. Такое рассмотрение постоянной величины как частногослучая переменной будет нам удобно впоследствии.Отметим еще, что если переменная x имеет предел, напримерa, то |x − a| < ε при заданном ε > 0, начиная с некоторого значения x, и, следовательно, при этом |x| < |a| + ε, т.
е. x величинаограниченная (см. замечание в [26]).76Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[28Переменная величина, как мы уже упоминали, не всегда имеет предел. Возьмем, например, пронумерованную переменную x1 =0, 1, x2 = 0, 11, x3 = 0, 111, . . . , имеющую предел 19 , и переменнуюy1 = 12 , y2 = 212 , y3 = 213 , . . . , имеющую предел нуль. Пронумерованная переменная z1 = 0, 1, z2 = 12 , z3 = 0, 11, z4 = 212 , z5 =0, 111, z6 = 213 , . .
. не имеет предела. Последовательность ее значений z1 , z3 , z5 , . . . имеет предел 19 , а последовательность значенийz2 , z4 , z6 , . . . имеет предел нуль.Возьмем указанную выше последовательность y1 = 12 , y2 =1122 , y3 = 23 , . . . , имеющую предел нуль, и вставим между двумя еечленами числа 1, 12 , 212 , .
. . , которые вдвое больше предыдущегочисла. Эта последняя последовательность также стремится к нулю.Получится последовательность, стремящаяся к нулю:1 1 1 11, 1, 2 , , 3 , 2 , . . .22 2 2 2Члены этой последовательности, приближаясь беспредельно кнулю от положительных значений, не всегда убывают: второй больше первого, четвертый больше третьего и т. д.Рассмотрим непронумерованную переменную, которая, убываяна промежутке (1 < x 6 5), стремится к единице, т. е. x → 1 + 0. Если мы исключим значения x, удовлетворяющие условию 3 < x 6 4,то оставшееся множество значений x при прежнем упорядочивании(убывание) также будет стремиться к единице. Если мы исключимзначения x, удовлетворяющие условию 1 < x 6 2, то при прежнемпорядке (убывание) оставшееся множество будет упорядоченным,но будет стремиться не к единице, а к двум. Если же мы исключим значения x, удовлетворяющие условию 1 < x < 2, то оставшееся множество значений x при прежнем порядке (убывание) небудет упорядоченным, ибо будет иметь последнее значение x = 2.Этот пример связан с тем замечанием, которое мы сделали вышеоб исключении значений из непронумерованной упорядоченной переменной.28.
Основные теоремы. Дальнейшие теоремы мы будем проводить для пронумерованных переменных. В общем случае доказательство совершенно аналогично [ср. 26].28]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции771. Если слагаемые алгебраической суммы нескольких (определенного числа) переменных имеют пределы, то их сумма имеетпредел, и этот предел равен сумме пределов слагаемых.Рассмотрим алгебраическую сумму x − y + z и положим, чтопронумерованные переменные xn , yn и zn (n = 1, 2, 3, . . . ) имеютпределы a, b и c.
В силу этого имеемxn = a + αn , yn = b + βn , zn = c + γn ,где αn , βn и γn — величины бесконечно малые. Для последовательных значений суммы x − y + z имеемxn − yn + zn = (a + αn ) − (b + βn ) + (c + γn ) == (a − b + c) + (αn − βn + γn ).Первая скобка в правой части есть постоянная, а вторая — бесконечно малая величина [26].
Следовательно [27],xn − yn + zn → a − b + c,то естьlim(x − y + z) = a − b + c = lim x − lim y + lim z.2. Если сомножители произведения нескольких переменныхимеют пределы, то и произведение имеет предел и этот пределравен произведению пределов сомножителей.Рассмотрим произведение двух сомножителей xy и положим,что пронумерованные переменные xn , yn (n = 1, 2, 3, . . . ) имеютпределы a и b. В силу этого имеемxn = a + an , yn = b + βn ,где αn и βn — величины бесконечно малые. Для последовательныхзначений произведения xn yn имеемxn yn = (a + αn )(b + βn ) = ab + (aβn + bαn + αn βn ).Сумма, стоящая в правой части в скобках, есть сумма бесконечно малых.
Действительно, первые два слагаемые ее суть произведения постоянных a и b на бесконечно малые, а в третьем слагаемом78Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[28первый множитель αn → 0 и потому есть ограниченная величина,а второй множитель βn — бесконечно малая величина. Таким образом, в правой части первое слагаемое ab есть постоянная, а второе (скобка) — бесконечно малая [26]. Следовательно, xn yn → ab,то естьlim(xy) = ab = lim x · lim y.3.
Если делимое и делитель — переменные величины, имеющиепределы, и предел делителя отличен от нуля, то и частное имеетпредел и этот предел равен частному пределов делимого и делителя.Рассмотрим частное x/y и положим, что пронумерованные переменные xn , yn (n = 1, 2, 3, . . . ) имеют пределы a и b, причемb 6= 0. Докажем, что xynn → ab . Для этого достаточно показать, чторазность xynn − ab есть бесконечно малая. По условиюxn = a + αn , yn = b + βn ,где αn и βn — бесконечно малые.
Имеемaa + αna1xn− =− =(bαn − aβn ).ynbb + βnbb(b + βn )Знаменатель дроби, стоящей в правой части, состоит из двух множителей и, в силу предыдущих двух теорем, стремится к b2 . Следовательно, начиная с некоторого значения n, знаменатель будет21будет, начиная с указанного знабольше b2 (b 6= 0), и дробь (b+βn)чения n, заключаться между нулем и b22 , т. е. будет величиной ограниченной.
Величина (bαn − aβn ) есть бесконечно малая. Итак, разность xynn − ab есть бесконечно малая. Следовательно, xynn → ab , тоестьalim xx(lim y 6= 0).lim = =yblim yОтметим некоторые следствия доказанных теорем. Если x стремится к пределу a, то переменная bxk , где b — постоянная и k —целое положительное число, будет стремиться, согласно теореме 2,к пределу bak .29]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции79Рассмотрим многочленf (x) = a0 xm + a1 xm−1 + · · · + ak xm−k + · · · + am−1 x + am ,где коэффициенты ak — постоянные.
Применяя теорему 1 и пользуясь только что сделанным замечанием, можно утверждать, чтопри стремлении x к a этот многочлен будет стремиться к пределуlim f (x) = f (a) = a0 am + a1 am−1 + · · · ++ ak am−k + · · · + am−1 a + am .Точно так же мы можем утверждать, что при указанном изменении x рациональная дробьϕ(x) =a0 xm + a1 xm−1 + · · · + am−1 x + amb0 xp + b1 xp−1 + · · · + bp−1 x + bpбудет стремиться к пределуlim ϕ(x) = ϕ(a) =a0 am + a1 am−1 + · · · + am−1 a + am,b0 ap + b1 ap−1 + · · · + bp−1 a + bpеслиb0 ap + b1 ap−1 + · · · + bp−1 a + bp 6= 0.Все эти утверждения имеют место при любом способе стремления x к пределу a.Вместо многочленов, расположенных по степеням одной переменной, мы мог ли бы, конечно, рассматривать многочлены, расположенные по степеням нескольких переменных, стремящихся кпределам.Так, например, для пронумерованных переменных, если lim xn = a иlim yn = b, тоlim(x2n + xn yn + yn2 ) = a2 + ab + b2 .29.
Величины бесконечно большие. Если переменная величина x стремится к пределу, то она, как мы упоминали, очевидно,ограничена.80Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[29Теперь мы рассмотрим некоторые случаи изменения неограниченных величин.Как и раньше, вместе с величиной x мы будем рассматриватьсоответствующую ей точку K, перемещающуюся по оси OX. Пустьэта точка K перемещается так, что какой бы большой отрезок T ′ Tс серединой в начале координат мы ни взяли, точка K при своемпоследовательном перемещении окажется вне этого отрезка и придальнейшем перемещении будет оставаться вне его.
В этом случаеговорят, что x есть величина бесконечно большая, или стремится кбесконечности. Пусть 2M — длина отрезка T ′ T . Принимая во внимание, что длина отрезка OK = |x|, можем высказать следующеео п р е д е л е н и е:Величина x называется бесконечно большой, или стремящейся к бесконечности, если |x|, при последовательном изменении x,делается и при дальнейшем изменении остается больше любогозаданного положительного числа M .
Иначе говоря: величина xназывается бесконечно большой при соблюдении следующего условия: при любом заданном положительном числе M существуеттакое значение переменной x, что для всех последующих значенийсоблюдается неравенство |x| > M .В частности, если бесконечно большая величина x при своем последовательном изменении, начиная с некоторого своего значения,остается постоянно положительной (точка K справа от точки O),то говорят, что x стремится к плюс бесконечности (+∞).
Если жевеличина x остается отрицательной (точка K слева от точки O), тоговорят, что x стремится к минус бесконечности (−∞).Для обозначения бесконечно большой величины употребляютсимволы: lim x = ∞, lim x = +∞, lim x = −∞. Вместо lim x = ∞можно, очевидно писать lim |x| = +∞.Термин «бесконечно большой» служит лишь для краткого обозначения вышеуказанного характера изменения переменной величины x, и здесь, как и в понятии бесконечно малой величины, надоотличать понятие бесконечно большой величины от понятия оченьбольшой величины.Если, например, величина x принимает последовательно значения 1, 2, 3, . .
. , то, очевидно, lim x = +∞. Если ее последовательныезначения будут: –1, –2, –3, . . . , то lim x = −∞, и, наконец, если эти30]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции81значения будут: –1, 2, –3, 4, . . . , то мы можем написать: lim x = ∞.Рассмотрим еще в качестве примера величину, принимающуюпоследовательно значенияq, q 2 , . . . , q n , . . . (q > 1),(5)и пусть M > 1 — любое заданное число. Неравенствоqn > Mравносильно следующему:n>log10 M,log10 qи, следовательно если N есть наибольшее целое число, заключающееся в частном log10 M : log10 q, то будем иметьqn > Mпри условии n > N,т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
