1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Первый из них — возрастающая переменная, принимающая все значения из промежутка −k 6 x < 0. При заданномε > 0 для всех значений этой переменной, следующих после значения x = −ε, если ε 6 k, имеем |x| < ε. Если же ε > k, то |x| < ε длявсех значений x. Таким образом, x стремится к нулю (от меньшихзначений). Совершенно аналогично x стремится к нулю и в остальных двух случаях: когда x — убывающая переменная, принимающая все значения из промежутка 0 < x 6 k, и когда x принимаетвсе значения (различные) из промежутка −k 6 x 6 +k, кромеx = 0, с определением последовательности значений, указанной в[25].
Для переменной x с указанными выше способами стремленияк нулю введем специальные обозначения: в первом случае будемписать x → − 0 (x стремится к нулю от меньших значений); во втором x → + 0 (x стремится к нулю от больших значений); в третьемслучае x → ± 0 (x стремится к нулю с двух сторон).Имеется, конечно, бесчисленное множество способов, какимипронумерованная или не пронумерованная переменная x может27]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции71стремиться к нулю.
Во всех этих случаях мы будем писать x → 0.В указанных выше трех случаях мы у нуля пишем знаки. Характерная особенность первого из этих трех случаев состоит в том, чтоx, возрастая, принимает все значения, меньшие нуля и достаточноблизкие к нулю. Во втором случае тот же характер изменения xсвязан с убыванием x. В третьем случае x принимает все значения,достаточно близкие к нулю, как меньшие, так и большие, кроме значения нуль.
Из двух значений x′ и x′′ , не одинаково удаленных отнуля (т. е. |x′ | 6= |x′′ |), последующим считается то, которое ближе кнулю, а из двух значений, одинаково удаленных от нуля (x′′ = −x′ ),последующим считается отрицательное значение.Сделаем еще одно замечание.
Из определения бесконечно малойвеличины следует, что при доказательстве того, что переменнаяx — бесконечно малая, достаточно ограничиться рассмотрениемлишь тех значений x, которые следуют после какого-либо определенного значения x = x0 , причем это последнее значение можновыбирать произвольно.В связи с этим полезно в теории пределов сделать добавлениек определению ограниченной величины, а именно не надо требовать, чтобы для всех значений величины y выполнялось неравенство |y| < M , а достаточно дать такое более общееО п р е д е л е н и е. Величина y называется ограниченной, еслисуществует такое положительное число M и такое значениеy0 , что для всех последующих значений выполняется неравенство|y| < M .При таком определении ограниченной величины доказательствовторого свойства бесконечно малых остается без изменения.
Дляпронумерованного переменного из второго определения ограниченной величины следует первое, так что второе определение не является более общим. Действительно, если |xn | < M при n > N , то,обозначая через M ′ наибольшее из чисел:|x1 |, |x2 |, . . . , |xN | и M,мы можем утверждать, что |xn | < M ′ + 1 при всяком n.27. Предел переменной величины. Переменную величину мы назвали бесконечно малой, если соответствующая72Гл. I.
Функциональная зависимость и теория пределов[27ей движущаяся по оси OX точка K обладает тем свойством, что длина отрезка OK при последовательном изменении K ′ становилась и при дальнейшем изменении K оставалась меньше любого заданного положительного числа ε. Положим теперь, что это свойство выполняется не для отрезка OK, а для отрезкаAK, где A есть определенная точка на оси OX с абсРис. 42.циссой a (рис. 42). В этомслучае промежуток S ′ S длины 2ε будет иметь середину не в начале координат, а в точке A с абсциссой x = a, и точка K присвоем последовательном перемещении должна попасть внутрь этого промежутка и там при дальнейшем перемещении оставаться. Вэтом случае говорят, что постоянное число a есть предел переменной величины x, или что переменная величина x стремится к a.Учитывая, что длина отрезка AK есть |x − a| [9], мы можемсформулировать следующее определение.О п р е д е л е н и е.
Пределом переменной величины x называется такое число a, что разность x − a есть величина бесконечномалая.Отметим, что при этом и величина a − x есть величина бесконечно малая. Принимая во внимание определение бесконечно малойвеличины, можно сформулировать определение предела a следующим образом.О п р е д е л е н и е. Пределом переменной величины x называется такое число a, что имеет место следующее свойство: при любом заданном положительном числе ε существует такое значение переменной x, что, для всех последующих значений выполняется неравенство |x − a| < ε (или, что то же, |a − x| < ε).В случае пронумерованного множества x1 , x2 , x3 , . .
. при любомзаданном положительном числе ε надо установить существованиетакого целого положительного числа N , что |xn − a| < ε (или |a −xn | < ε) при n > N .∗∗Это есть определение предела числовой последовательности.27]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции73Если a есть предел x (x стремится к a), то пишут:lim x = a,или x → a.В случае пронумерованной переменной: x1 , x2 , x3 , . .
. говоряттакже, что a есть предел указанной последовательности (последовательность стремится к a) и пишут:lim xn = a,илиxn → aОбратим внимание на некоторые непосредственно ясные следствия определения предела, на доказательстве которых мы не останавливаемся.1. Переменная величина не может стремиться к различнымпределам, т. е. или вовсе не имеет предела, или имеет один определенный предел.2. Переменная величина, имеющая предел, равный нулю, естьбесконечно малая величина, и, наоборот, всякая бесконечно малаявеличина имеет предел, равный нулю.3.
Если две переменные xn и yn (n = 1, 2, 3, . . . ) или x(t) иy(t) имеют пределы a и b и удовлетворяют при своем последовательном изменении неравенствам xn 6 yn (n = 1, 2, 3, . . . ) илиx(t) 6 y(t), то и a 6 b.Заметим, что если переменные удовлетворяют неравенству xn <yn , то для их пределов может получиться и знак равенства, т. е.a 6 b.4.
Если три переменные xn , yn и zn удовлетворяют неравенству xn 6 yn 6 zn , а xn и zn стремятся к одному и тому жепределу а, то и переменная yn стремится к пределу a.Существование предела a у переменной x равносильно тому, чторазность x− a = α есть бесконечно малая, причем упорядоченностьα определяется упорядоченностью x.
Для пронумерованной переменной: xn − a = αn . Отсюда следует, что5. Существование предела a у переменной x равносильно тому,что x можно представить в виде суммы числа a и бесконечномалой величины, т. е. x = a + α или xn = a + αn , где α или αn —бесконечно малые.74Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[276. При определении предела a переменной x достаточно ограничиться рассмотрением лишь тех значений x, которые следуют после какого-либо определенного значения x = x0 , причем этопоследнее значение можно выбирать произвольно, т.
е. можно необращать внимания на значения, предшествующие x0 .7. Если последовательность x1 , x2 , x3 , . . . стремится к a, то всякая бесконечная частичная подпоследовательность xn1 , xn2 , xn3 , . . . , выделенная из вышеуказанной, также стремится к a. В частичной подпоследовательности значкиn1 , n2 , n3 , .
. . образуют какую-либо возрастающую последовательность целых положительных чисел.Для непронумерованной переменной x, стремящейся к a, аналогичное свойство имеет место при некоторой оговорке. Положим, чтоиз последовательности значений x мы исключили некоторые значения (возможно, бесчисленное множество значений), но сделали этотак, что для любого фиксированного значения x = x0 оставшаясяпоследовательность значений x содержит значения, для которыхx = x0 есть предшествующее значение.
При этом оставшаяся последовательность значений при прежнем упорядочивании значенийесть упорядоченная переменная, стремящаяся к a.В качестве примера рассмотрим пронумерованную переменнуюnz }| {x1 = 0, 1, x2 = 0, 11, . . . , xn = 0, 11 . . . 1, .
. .и докажем, что ее предел равен 19 . Составим разность1 11111− x1 =, − x2 =, . . . , − xn =, ...990 990099 · 10nНеравенство19·10n< ε равносильно неравенству11или n > log10 − log10 9,εεи за N можно принять наибольшее целое число, содержащееся вразности log10 1ε − log10 9 (считаем ε < 19 ).Рассмотрим теперь сумму первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.9 · 10n >Sn = b + bq + bq 2 + · · · + bq n−1(0 < |q| < 1).27]§ 2.
Теория пределов. Непрерывные функции75Как известно,b − bq n,1−qи, придавая n значения 1, 2, 3, . . . , получим последовательностьSn =S1 , S2 , S3 , . . .Из выражения Sn имеемb nb− Sn =q .1−q1−qbПравая часть является произведением постоянного множителя 1−qи бесконечно малого множителя q n [26]. В силу второго свойстваb− Sn есть величина бесконечнобесконечно малых [26] разность 1−qbмалая и, следовательно, число 1−q есть предел последовательностиS1 , S2 , . . .Вернемся к непронумерованной переменной величине x из [25],определяемой неравенствами: a − k 6 x < a, или a < x 6 a + k, илиa − k 6 x 6 a + k кроме x = a, с указанной в [25] последовательностью значений.
Эта переменная x имеет, очевидно, во всех трехслучаях предел a, и мы будем обозначать эти три случая измененияx следующим образом: x → a−0, x → a+0, x → a±0 [ср. 26]. Отметим, что это обозначение не связано с величиною положительногочисла k, ибо, как указано выше, при определении предела можноне обращать внимания на значения, предшествующие какому-либозначению x.Сделаем еще несколько замечаний и приведем примеры. Упорядоченная «переменная» величина x, все значения которой равнычислу a, подходит под определение величины, стремящейся к a.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
