1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 7
Текст из файла (страница 7)
I. Функциональная зависимость и теория пределов[15практике средством для определения встреч движущихся точек и вообще для обозрения всего движения (рис. 11).15. Эмпирические формулы. Простота построения прямой и выражаемого ею закона пропорциональности приращения функции и независимой переменной делает график прямой весьма удобным средствомпри нахождении эмпирических формул, т. е. таких, которые выводятсянепосредственно из данных опыта, без особого теоретического исследования.Изобразив графически полученную из опыта таблицу на листе миллиметровой бумаги, мы найдем ряд точек, и если мы желаем получитьприближенную эмпирическую формулу для изучаемой функциональнойзависимости в виде линейной функции, нам остается провести прямую,которая если и не проходит сразу через все построенные точки (что,конечно, почти никогда невозможно), то, по крайней мере, проходитм е ж д у этими точками и при этом так, чтобы по возможности одинаковое число точек оказалось как по одну, так и по другую сторону отпрямой, и все они лежали достаточно к ней близко.
В теории ошибок иобработки наблюдений изучаются более точные способы как для построения указанной прямой, так и для суждения о совершаемой при такомприближенном представлении погрешности.Но при менее точных исследованиях, с которыми приходится иметьдело в технике, построение эмпирической прямой проще всего произво-Рис.
12.16]§ 1. Переменные величины37дить по способу «натянутого шнурка», сущность которого ясна из самогоназвания. Построив прямую, с помощью непосредственного измеренияопределяем ее уравнениеy = ax + b,которое и дает искомую эмпирическую формулу. При выводе этой формулы надлежит иметь в виду, что очень часто масштабы для величин xи y бывают различны, т. е. одна и та же длина, отложенная на осяхOX и OY , изображает разные числа. В этом случае угловой коэффициент a не будет равен тангенсу угла, образуемого прямой с осью OX, нобудет отличаться от него множителем, равным численной величине отношения между единицами длины, принятыми при изображении величинx и y.П р и м е р (рис. 12).x 0,212 0,451 0,530 0,708 0,901 1,120 1,341 1,520 1,738 1,871y 3,721 3,779 3,870 3,910 4,009 4,089 4,150 4,201 4,269 4,350Отв.y ≈ 0, 375x + 3, 65.(3наком ≈ мы обозначаем здесь и в дальнейшем приближенное равенство.)16.
Парабола второй степени. Линейная функцияy = ax + bесть частный случай целой функции n-й степени или многочлена(полинома) n-й степени:y = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an ,простейший случай которого после линейной функции есть трехчлен второй степени (n = 2);y = ax2 + bx + c;график этой функции называется параболой второй степени илипросто параболой.38Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[16Пока мы будем исследовать лишь простейший случай параболы:y = ax2 ,(5)Кривая эта без труда может быть построена по точкам. На рис.
13изображены кривые y = x2 (a = 1) и y = −x2 (a = −1). Кривая, соответствующая уравнению (5), расположена целиком над осью OXпри a > 0 и под осью OX при a < 0. Ордината этой кривой возрастает по абсолютному значению, когда x возрастает по абсолютномузначению, и тем быстрее, чем больше абсолютная величина a. Нарис. 14 изображен ряд графиков функции (5) при различных значениях a, которые проставлены на чертеже при соответствующихэтим значениям параболах.-2Рис.
13.-1012Рис. 14.Уравнение (5) содержит только x2 , а потому не меняется при замене x на (−x), т. е. если некоторая точка (x, y) лежит на параболе(5), то и точка (−x, y) лежит на той же параболе. Две точки (x, y)и (−x, y), очевидно, симметричны относительно оси OY , т. е. одна16]§ 1. Переменные величины39из них является зеркальным изображением другой относительноэтой оси. Таким образом, если повернуть правую часть плоскостина 180◦ вокруг оси OY и совместить ее с левой частью, то частьпараболы, лежащая справа от оси OY , совпадает с частью параболы, лежащей слева от этой оси. Иначе говоря, ось OY есть осьсимметрии параболы (5).Начало координат оказывается самой низкой точкой кривой приa > 0 и самой высокой при a < 0 и называется вершиной параболы.Коэффициент a вполне определяется, если задать одну точкуM0 (x0 , y0 ) параболы, отличную от вершины, так как тогда имеемy0 = ax20 , a =y0,x20после чего уравнение параболы (5) примет вид x 2.(6)x0Существует весьма простой графический способ построения какогоугодно числа n точек параболы при заданных вершине, оси симметрии илюбой ее точке M0 , отличной от вершины.
Абсциссу и ординату даннойточки M0 (x0 , y0 ) делим на n равных частей (рис. 15) и через начало координат проводим лучи к точкам деления ординаты. Пересечение этихлучей с прямыми, проведенными через точки деления абсциссы параллельно оси OY , и дает точки параболы. Действительно, по построениюмы имеем (рис. 15):y = y0n−1n−1, y ′ = y0 ·,nnn−1n−1 2x1 2y1 = y ′ ·= y0,= y0nnx0x1 = x0 ·т.
е. на основании (6) точка M1 (x1 , y1 ) также лежит на параболе. Доказательство для других точек аналогично.Если имеются две функции:y = f1 (x) и y = f2 (x)и соответствующие им графики, то координаты точек пересеченияэтих графиков удовлетворяют обоим написанным уравнениям, т. е.40Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[17абсциссы этих точек пересечения суть решения уравненияf1 (x) = f2 (x).x1x2=-0,85Рис. 15.x1=1,7Рис.
16.Указанное обстоятельство легко использовать для приближенного решения квадратного уравнения. Построив на отдельном листе миллиметровой бумаги, по возможности точнее, график параболыy = x2 ,(61 )мы можем рассматривать корни квадратного уравненияx2 = px + q,(7)как абсциссы точек пересечения параболы (61 ) и прямой y = px + q,так что решение уравнения (7) сводится к нахождению на чертежеупомянутых точек пересечения. На рис.
16 изображены три случая,когда таких точек будет две, одна (касание прямой с параболой) ини одной.17. Парабола третьей степени. Многочлен 3-й степениy = ax3 + bx2 + cx + d17]§ 1. Переменные величины41имеет своим графиком кривую, называемую параболой третьейстепени.
Мы рассмотрим эту кривую в простейшем случаеy = ax3 .(8)При положительном a знаки x и y одинаковы, а при отрицательном a — различны. В первом случае кривая расположена в первоми третьем координатных углах, а во втором случае — во втором ичетвертом углах. На рис. 17 изображен вид этой кривой при различных значениях a.Если x и y одновременно заменить на (−x) и (−y), то обе части уравнения (8) изменят знак, и уравнение по существу не изменится, т.
е. если точка x, y лежит на их кривой (8), то и точка(−x, −y) также лежит на этой кривой; точки (x, y) и (−x, −y)лежат, очевидно, симметрично относительно начала O, т. е. отрезок, их соединяющий, делится началом O пополам. Из предыдущего следует, что всякая хорда кривой (8), проходящая через начало координат O, делится этим началом пополам.
Иначе это выражают так: начало координат Oесть центр кривой (8).Отметим еще один частныйслучай параболы третьей степени:y = ax3 + cx.(9)Правая часть этого уравненияесть сумма двух слагаемых, и,следовательно, для построенияэтой кривой достаточно провести прямуюy = cxРис. 17.(10)и взять сумму соответствующих ординат линий (8) и (10) непосредственно из чертежа. Различные виды, которые может при этом принять кривая (9) (при a = 1 и различных c), изображены на рис. 18.42Гл.
I. Функциональная зависимость и теория пределов[18Построив кривуюy = x3 ,получим удобный (при небольшой точности вычислений) графическийспособ для решения уравнения 3-й степениx3 = px + q,так как корни этого уравнения суть не что иное, как абсциссы точекпересечения кривойy = x3с прямойy = px + q.Рис. 18.Рис.
19.Чертеж нам покажет (рис. 19), что таких точек пересечения можетбыть одна, две или три, но одна — наверно, т, е. уравнение 3-й степениимеет по крайней мере один вещественный корень. Строго доказано этобудет впоследствии.18. 3акон обратной пропорциональности.
Функциональнаязависимостьm(11)y=x18]§ 1. Переменные величины43выражает закон обратной пропорциональности между переменными x и y. При увеличении x в несколько раз y уменьшается востолько же раз. При m > 0 переменные x и y одного и того жезнака, т. е. график расположен в первом и третьем координатныхуглах, а при m < 0 — во втором и четвертом. При x, близких к нулю,дробь mx велика по абсолютной величине. Наоборот, при большихпо абсолютной величине значениях x дробь mx мала по абсолютнойвеличине.Непосредственное построение этой кривой по точкам приведетнас к рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
