1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 8
Текст из файла (страница 8)
20, на котором изображены кривые (11) при различныхзначениях m, причем сплошной линией начерчены кривые, соответствующие случаю m > 0, пунктирной — случаю m < 0, и у каждойкривой проставлено соответствующее ей значение m. Мы видим,что каждая из построенных кривых, которые называются равнобочными гиперболами, имеет бесконечные ветви, приближающиеся косям координат OX и OY при беспредельном увеличений абсциссыx или ординаты y точки на рассматриваемой ветви. Эти прямыеназываются асимптотами ∗ гиперболы.Рис. 20.Рис. 21.Коэффициент m в уравнении (11) определяется вполне, если задатьлюбую точку M0 (x0 , y0 ) изучаемой кривой, так как тогдаx0 y0 = m;∗В [72] будет дано определение асимптоты.44Гл. I.
Функциональная зависимость и теория пределов[19уравнение же (11) перепишется в видеxy = x0 y0 ,(12)илиy0y=.x0xОтсюда вытекает графический способ построения какого угодно числа точек равнобочной гиперболы, если заданы ее асимптоты и какаянибудь ее точка M0 (x0 , y0 ). Приняв асимптоты за оси координат, проведем из начала координат произвольные лучи OP1 , OP2 , . . . и отметимточки пересечения этих лучей с прямыми y = y0 и x = x0 .Проводя через каждые две такие точки, лежащие на одном луче,прямые, параллельные осям координат, получим в пересечении этих прямых точки гиперболы (рис. 21).
Это вытекает из подобия треугольниковORQ1 и OSP1 :SP1ORy0y1=или=,xxOSRQ101т. е. точка M1 (x1 , y1 ) лежит на кривой (12).19. Степенна́я функция. Функция y = ax, y = ax2 , y = ax3и y = mx , которые мы выше исследовали, суть частные функциивидаy = axn ,(13)где a и n — какие угодно постоянные.
Функция (13) вообще называется степенной функцией. При построении кривой мы ограничимсялишь положительными значениями x и случаем a = 1. На рис. 22и 23 изображены графики, соответствующие различным значениям n.Для всех значений n уравнение y = xn дает y = 1 при x = 1,т. е. все кривые проходят через точку (1, 1). При положительныхзначениях n кривые при x > 1 подымаются вверх тем круче, чембольше величина n (рис. 22). При отрицательных n (рис. 23) функция y = xn равносильна дроби. Например, вместо y = x−2 можнонаписать y = x12 .
В этих случаях при возрастании x ординаты y,наоборот, убывают.19]§ 1. Переменные величиныРис. 22.45Рис. 23.Заметим при этом, что при дробном n с четным знаменателем12мы√ считаем значение радикала положительным; например, x =x считаем положительным (при x > 0).Две постоянные a и n, входящие в уравнение (13), определятся, еслизадать две точки кривой M1 (x1 , y1 ) и M2 (x2 , y2 ), после чего окажетсяny1 = axn1 , y2 = ax2 ;(14)деля одно уравнение на другое, исключаем a: x ny11=,y2x2затем, логарифмируя, находим n по формулеn=log y1 − log y2;log x1 − log x2найдя n, из любого из уравнений (14) получим a.Графический способ построения какого угодно числа точек кривой(13) по двум заданным ее точкам M1 (x1 , y1 ) и M2 (x2 , y2 ) изображен нарис.
24. Проводим через точку O два произвольных луча под углом α коси OX и β к оси OY ; из данных точек M1 и M2 опускаем перпендикуляры на координатные оси до пересечения их с лучами в точках S1 , S2 ;T1 , T2 и с осями в точках Q1 , Q2 ; R1 , R2 . Через точку R2 проводим R2 T346Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[19Рис. 24.параллельно R1 T2 и через точку S2 проводим S2 Q3 параллельно S1 Q2 .Проводя, наконец, через T3 и Q3 прямые, параллельные соответственно осям OX и OY , получим в их пересечении точку M3 (x3 , y3 ) кривой.Действительно, из подобия треугольников находимOQ3OS2=,OQ2OS1OS2OQ2=,OS1OQ1т.е.OQ3OQ2=OQ2OQ1илиx2x3=,x2x1откудаx3 =x22,x1и точно так же можно показать, чтоy3 =y22.y1Принимая во внимание (14), находимy3 = x2 n2(axn2)=a 2= axn3,nax1x120]§ 1.
Переменные величины47т. е. точка (x3 , y3 ) лежит действительно на кривой (13), что и требовалось доказать.20. Обратные функции. Для исследования дальнейших элементарных функций введем новое понятие, а именно понятие обобратной функции. Как мы уже упоминали в [5], при исследованиифункциональной зависимости между переменными x и y, вопрос овыборе независимой переменной находится в нашем распоряжениии решается исключительно соображениями удобства. Пусть имеется некоторая функция y = f (x), причем x играет роль независимойпеременной.Функция, которая определяется из той же функциональнойзависимости y = f (x), если в ней рассматривать y как независимую переменную, а x как функциюx = ϕ(y),называется обратной по отношению к данной функции f (x), а этапоследняя функция часто называется прямой.Обозначения для переменных не играют существенной роли и,обозначая в обоих случаях независимую переменную буквою x, мыможем сказать, что ϕ(x) будет обратной функцией для функцииf (x).
Так, например, если прямые функции сутьy = ax + b,то обратные будутy = xn ,√x−b, y = n x.aНахождение обратной функции по уравнению прямой функции называется ее обращением.Пусть мы имеем график прямой функции y = f (x). Нетрудновидеть, что этот же график может служить и графиком обратной функции x = ϕ(y). Действительно, оба уравнения y = f (x) иx = ϕ(y) дают одну и ту же функциональную зависимость между xи y. В прямой функции произвольно задается x.
Откладывая на осиOX от начала O отрезок, соответствующий числу x, и восставляя∗y=∗То есть восстанавливая.48Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[20из конца этого отрезка перпендикуляр к оси OX до пересечения сграфиком, мы получаем, взяв длину этого перпендикуляра с соответствующим знаком, значение y, отвечающее взятому, значению x.Для обратной функции x = ϕ(y) мы должны только откладыватьзаданное значение y по оси OY от начала O и восставлять из концаэтого отрезка перпендикуляр к оси OY до пересечения с графиком.Длина этого перпендикуляра с соответствующим знаком дает намзначение x, отвечающее взятому значению y.При этом возникает неудобство, что в первом случае независимая переменная x откладывается по одной оси, а именно оси OX,а во втором случае независимая переменная y откладывается подругой оси, а именно по оси OY . Иначе говоря, при переходе отпрямой функции y = f (x) к обратной x = ϕ(y) мы можем оставить тот же график, но должны помнить, что при этом переходеось для изображения значений независимой переменной становитсяосью значений функции, и наоборот.Чтобы избежать этого неудобства, мы должны при упомянутомпереходе повернуть плоскость как целое таким образом, чтобы осиOX и OY поменялись местами.
Для этого, очевидно, достаточноповернуть плоскость чертежа вместе с графиком на 180◦ вокругбиссектрисы первого координатного угла. При этом повороте осипоменяются местами, и обратнуюфункцию x = ϕ(y) надо уже писатьв обычном виде: y = ϕ(x). Итак, еслипрямая функция y = f (x) задана графически, то для получения графикаобратной функции y = ϕ(x) достаточно повернуть плоскость графикана 180◦ вокруг биссектрисы первогокоординатного угла.На рис.
25 график прямой функции изображен сплошной линией, аграфик обратной функции — пунктиРис. 25.ром. Пунктиром же изображена биссектриса первого координатного угла, вокруг которой надо повернуть всю плоскость чертежа для получения пунктирной кривой изсплошной кривой.21]§ 1. Переменные величины4921. Многозначность функции.
Во всех графиках элементарных, функций, которые мы рассмотрели выше, характерным былтот факт, что прямые перпендикулярные оси OX, пересекали график не больше, чем в одной точке, и большею частью именно водной точке. Это значит, что у функции, определяемой этим графиком, заданному значению x соответствует одно определенное значение y. Иначе про такую функцию говорят, что она однозначна.Если же прямые, перпендикулярные оси OX, пересекают график в нескольких точках, то это значит, что заданному x соответствует несколько ординат графика, т.
е. несколько значений y.Такие функции называются многозначными.∗ Мы уже упоминалио многозначных функциях раньше [5].Если прямая функция y = f (x) однозначна, то обратная функция y = ϕ(x) может оказаться и многозначной. Это видно, например, из рис. 25.Разберем подробнее один элементарный случай. На рис. 13 изображен сплошной линией график функции y = x2 . Если повернутьчертеж вокруг биссектрисы первого координатногоугла на 180◦ ,√то получится график обратной функции y = x (рис. 26).Рассмотрим его подробнее.
При отрицательных x (левее оси OY )прямые, перпендикулярныеоси OX, вовсе не пересекают графика,√т. е. функция y = x не определена при x < 0. Это соответствуеттому факту, что корень квадратный отрицательного числа не имеет вещественных значений. Наоборот, при любом положительномx прямая, перпендикулярная оси OX, пересекает график в двухточках, т. е. при заданном положительном x мы имеем две ординаты графика: M N и M N1 .
Первая ордината дает для y некотороеположительное значение, а вторая дает такое же по абсолютной величине отрицательное значение. Это соответствует тому факту, чтокорень квадратный из положительного числа имеет два значения,равные по абсолютной величине и обратные по знаку. Из чертежавидно также, что при√ x = 0 мы имеем одно только значение y = 0.Итак, функция y = x определена при x > 0, имеет два значенияпри x > 0 и одно при x = 0.∗ Вообще говоря, поняте «однозначности» функции содержится уже в самом ее определении, данном в [5], и в этом смысле кривая, изображенная нарис. 26, графиком какой-либо функции не является.50Гл. I.
Функциональная зависимость и теория пределовРис. 26.[21Рис. 27.√Заметим, что мы можем сделать нашу функцию y = x однозначной, взяв лишь часть графика на рис. 26. Возьмем, например,только ту часть графика, которая находится в первом координатном угле (рис. 27). Это соответствует тому, что мы рассматриваемлишь положительные значения квадратногокорня. Отметим так√же, что часть графика функции y = x, изображенная на рис. 27,получается из той части графика прямой функции y = x2 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
