1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Решая написанное вышеуравнение относительно p, получим формулу, выражающую функцию p через независимую переменную:p=273 · 29, 27.v5]§ 1. Переменные величины19Сказанное о двух переменных без труда распространяется и наслучай какого угодно числа переменных; и здесь мы можем отличить переменные независимые от зависимых, или функций.Возвращаясь к нашему примеру, положим, что температура t небудет уже 0 ◦C, а может меняться. Закон Бойля—Мариотта долженбыть при этом заменен более сложной зависимостью Клапейрона:pv = 29, 27(273 + t),которая показывает, что при изучении состояния газа можно менять произвольно лишь две из величин p, v и t, а третья будет полностью определена, если даны значения этих двух.
Мы можем принять за независимые переменные, например, p и t, тогда v будетфункцией от них:29, 27(273 + t),v=pлибо же независимыми переменными можно считать v и t, а p будетфункцией от них.Приведем другой пример. Площадь S треугольника выражаетсячерез длины сторон a, b, c по формулеpS = p (p − a)(p − b)(p − c),где p — полупериметр треугольника:p=a+b+c.2Стороны a, b, c можно менять произвольно, лишь бы только каждая сторона была больше разности и меньше суммы двух других.Таким образом, переменные a, b, c будут независимыми переменными, ограниченными неравенствами, S — функцией от них.Мы можем также задать произвольно две стороны, напримерa, b, и площадь S треугольника; пользуясь формулойS=1ab sin C,2где C — угол между сторонами a, b, мы можем тогда вычислить C.Здесь уже величины a, b, S будут независимыми переменными, C —20Гл.
I. Функциональная зависимость и теория пределов[6функцией. При этом переменные a, b, S должны быть ограниченынеравенством2S6 1.sin C =abСледует заметить, что в этом примере мы получаем для C двазначения, смотря по тому, возьмем ли мы для C острый или тупойиз двух углов, имеющих один и тот же синусsin C =2S.abМы приходим здесь к понятию о многозначной функции, о которомподробнее будем говорить ниже.6. Аналитический способ задания функциональной зависимости. Всякий закон природы, дающий связь одних явленийс другими, устанавливает функциональную зависимость между величинами. Существует много способов для изображения функциональных зависимостей, но самое важное значение имеют три способа: 1) аналитический, 2) способ таблиц и 3) графический, илигеометрический.Мы говорим, что функциональная зависимость между величинами или, проще, функция изображена аналитически, если величины эти связаны между собой уравнениями, в которые они входят, подвергаясь различным математическим операциям: сложению, вычитанию, делению, логарифмированию и т.
д. К аналитическому изображению функций мы приходим, когда исследуем вопростеоретически, т. е., установив основные предпосылки, мы применяем математический анализ и получаем результат в виде некоторойматематической формулы.Если мы имеем, непосредственное выражение функции (т. е. зависимой переменной) при помощи математических действий наддругими, независимыми переменными, то говорят, что функцияаналитически задана явно. Примером явного задания функции может служить выражение объема газа v при постоянной температуре через давление (явная функция одной независимой перемен-6]§ 1. Переменные величины21ной):v=273 · 29, 27pили выражение площади S треугольника через стороны:pS = p (p − a)(p − b)(p − c)(явная функция от трех независимых переменных).
Выпишем ещепример явного задания функции от одной независимой переменной x:y = 2x2 − 3x + 7.(1)Часто бывает неудобно или невозможно выписывать формулу,которая выражает функцию через независимые переменные. Приэтом пишут коротко так:y = f (x).Эта запись обозначает, что y есть функция независимой переменной x, и f есть символический знак зависимости y от x. Вместо fможно, конечно, употреблять и другие буквы.
Если мы рассматриваем разные функции от x, то должны употреблять и разные буквыдля символической записи зависимости от x:f (x), F (x), φ(x) и т. д.Такой символической записью пользуются не только в томслучае, когда функция задана аналитически, но и в самом общем случае функциональной зависимости, которую мы определилив [5].Аналогичной короткой записью пользуются и для функций отнескольких независимых переменных:v = F (x, y, z).Здесь v есть функция переменных x, y, z.Частное значение функции получим, придав независимым переменным частные же значения и выполнив действия, указанные22Гл. I.
Функциональная зависимость и теория пределов[7знаками f, F, . . . Так, например, частное значение функции (1) приx = 12 будет 211− 3 · + 7 = 6.y =2·22Вообще частное значение некоторой функции f (x) при x = x0обозначается f (x0 ). Аналогично — для функции от нескольких переменных.Не надо смешивать общего понятия функции, которое было нами дано в [5], с понятием аналитического выражения y через x. Вобщем определении функции говорится лишь о некотором законе,согласно которому любому значению переменной x из множества еевозможных значений соответствует определенное значение y. Приэтом не предполагается никакое аналитическое выражение (формула) y через x.Отметим еще, что можно определить функцию различными аналитическими выражениями на разных участках изменения независимой переменной x. Так, например, мы можем определить функцию y на промежутке (0, 3) следующим образом: y = x + 5 при0 6 x 6 2 и y = 11 − 2x при 2 < x 6 3.
При таком задании любому значению x из промежутка (0, 3) соответствует определенноезначение y, что и соответствует определению функции.7. Неявные функции. Функция называется, неявной, еслимы имеем не непосредственное аналитическое выражение ее черезпеременные независимые, а только уравнение, которое связываетее значение со значениями переменных, независимых.
Так, например, если переменная величина y связана с переменной величинойx уравнениемy 3 − x2 = 0,то y есть неявная функция независимой переменной x; с другойстороны, можно и x считать неявной функцией независимой переменной x.Неявная функция v от нескольких независимых переменныхx, y, z, .
. . определяется вообще из уравненияF (x, y, z, . . . , v) = 0.8]§ 1. Переменные величины23Вычислять значения этой функции мы можем тогда, когда разрешим уравнение относительно v и тем самым представим v в видеявной функции от x, y, z, . . . :v = ϕ(x, y, z, . . . ).В приведенном выше примере y выражается через x в виде√3y = x2 .Однако для получения различных, свойств функции v совсемнет необходимости решать уравнение, и очень часто бывает, чтоудается достаточно хорошо изучить неявную функцию по самомууравнению, которым она определяется, не решая его.Например, объем газа v есть неявная функция давления p итемпературы t, определяемая уравнениемpv = R(273 + t).Угол C между сторонами a и b треугольника площади S естьнеявная функция a, b и S, определяемая уравнениемab sin C = 2S.8.
Табличный способ. Аналитический способ представленияфункций применяется главным образом при теоретических исследованиях. На практике же, когда приходится на самом деле вычислять много частных значений различных функций, аналитический способ представления часто оказывается неудобным, так какон требует в каждом случае производства всех необходимых вычислений.Чтобы избежать этого, вычисляются частные значения наиболее употребительных функций, при большом числе частных значений независимых переменных, и составляются таблицы. Таковы,например, таблицы значений функцийy = x2 ,11 √, x, πx, πx3 , log10 x, log10 sin x, и т.
д.x424Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[9с которыми постоянно приходится иметь дело на практике. Существуют и другие таблицы, более сложных функций, которые тожеприносят большую пользу: таблицы бесселевых функций, эллиптических и т. д. Существуют таблицы и для функций от несколькихпеременных, простейший пример которых представляет обыкновенная таблица умножения, т.
е. таблица значений функций z = xyпри различных целых значениях x и y.Иногда приходится вычислять значения функций при такихчастных значениях независимых переменных, которых в таблицахнет, а есть только соседние к ним значения; для того, чтобы можнобыло пользоваться таблицами и в этом случае, существуют различные правила интерполяции; одно из таких правил было дано ещев курсе средней школы при пользовании таблицами логарифмов(partes proportionales).Важное значение имеют таблицы тогда, когда при их помощиизображаются функции, аналитическое выражение которых намнеизвестно; с этим приходится иметь дело, когда производится эксперимент.
Всякое опытное исследование имеет целью обнаружитьскрытые для нас функциональные зависимости, и результат всякого опыта представляется в виде таблицы, связывающей междусобой соответствующие значения исследуемых при этом опыте величин.9. Графический способ изображения чисел. Переходя кграфическому способу изображения функциональной зависимости,мы начнем со случая графического изображения одной переменной.Всякое число x можетбыть изображено некоторым отрезком. Для этоРис. 1.го достаточно, условившисьраз и навсегда в выборе единицы длины, построить отрезок, длинакоторого равна как раз данному числу x. Таким образом, всякаявеличина не только может быть выражена числом, но также и геометрически изображена отрезком.Для того чтобы можно было таким путем изобразить и отрицательные числа, условимся откладывать отрезки на одной и тойже прямой линии, приписав ей притом определенное направление9]§ 1.
Переменные величины25(рис. 1). Условимся, далее, обозначать всякий отрезок знаком AB,причем точку A будем называть началом, B — концом отрезка.Если направление от A к B совпадает с направлением прямой,отрезок изображает число положительное; если же направление отA к B противоположно направлению прямой, то отрезок изобразитчисло отрицательное (A1 B1 на рис. 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
