1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

В этойтеории рассматриваются некоторые основные случаи изменения величин.26. Величины бесконечно малые. Каждому значению переменной величины x соответствует точка K на числовой оси OX,имеющая абсциссу x, и изменение x изобразится перемещением точки K по оси OX. Положим, что все различные положения точки Kпри изменении x остаются внутри некоторого конечного отрезка осиOX. Это равносильно тому, что длина отрезка OK, где O — началокоординат на оси OX, остается меньше определенного положительного числа M . В этом случае переменная величина x называетсяограниченной. Принимая во внимание, что длина OK есть |x|, мыприходим к следующему определению.О п р е д е л е н и е.

Переменная величина x называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что|x| < M для всех значений x.66Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[26Примером ограниченной величины может служить sin t, где t —любая упорядоченная переменная. В этом примере M есть любоечисло, большее единицы.Рассмотрим теперь тот случай, когда точка K, последовательно перемещаясь, беспредельно приближается к началу координат.Точнее говоря, положим, что точка K при своем последовательномперемещении попадает внутрь любого наперед заданного малогоотрезка S ′ S оси OX с серединой O∗ и при дальнейшем движенииостается внутри этого отрезка.

В этом случае говорят, что величинаx стремится к нулю, или есть величина бесконечно малая.Обозначим длину отрезка S ′ S через 2ε. Буквой ε мы обозначилитем самым любое заданное положительное число. Если точка Kнаходится внутри S ′ S, то длина OK < ε и, наоборот, если длинаOK < ε, то точка K находится внутри S ′ S. Мы можем, такимобразом, высказать следующее определение:О п р е д е л е н и е.

Переменная величина x стремится к нулю или есть бесконечно малая, если при любом заданном положительном числе ε существует такое значение величины x, что длявсех последующих значений выполнено неравенство |x| < ε.Ввиду важности понятия бесконечно малой величины дадимдругую формулировку того же определения:О п р е д е л е н и е. Величина x называется стремящейся к нулюили бесконечно малой, если |x| при последовательном изменении xделается и при дальнейшем изменении остается меньше любогонаперед заданного малого положительного числа ε.Термином «бесконечно малая величина» мы обозначаем вышеописанный характер изменения переменной величины, и не надосмешивать понятия бесконечно малой величины с часто употребляющимся в практике понятием очень малой величины.Положим, что при измерении длины некоторого участка мы получили 1000 м с каким-то остатком, который считаем очень малым по сравнению со всей длиной и им пренебрегаем.

Длина этогоостатка выражается определенным положительным числом, и термин «бесконечно малый» в данном случае, очевидно, неприменим.Если бы в другом, более точном измерении мы встретились с такою∗Подчеркнем, что этот отрезок может быть сколь угодно малым.26]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции67же длиной, то перестали бы уже считать ее очень малой и принялибы ее во внимание. Мы видим, таким образом, что понятие малойвеличины есть понятие относительное, связанное с практическимхарактером измерения.Положим, что переменная величина x принимает последовательно значенияx1 , x2 , x3 , .

. . , xn , . . .и пусть ε есть любое заданное положительное число. Чтобы убедиться в том, что x есть величина бесконечно малая, нам надо показать, что |xn |, начиная с некоторого значения n, меньше ε, т. е.нам надо установить существование такого целого числа N , чтобыбыло|xn | < ε при условии n > N.Это число N зависит от ε.Рассмотрим в качестве примера бесконечно малой величины величину, принимающую последовательно значенияq, q 2 , q 3 , . . . , q n , . .

. (0 < q < 1).(4)Нам надо удовлетворить неравенствуq n < ε илиn log10 q < log10 ε(0 < ε < 1).Принимая во внимание, что log10 q отрицателен, можем переписатьпредыдущее неравенство в видеn>log10 ε,log10 qибо при делении на отрицательное число смысл неравенства меняется, и, следовательно, за N мы можем принять наибольшее целоечисло, заключающееся в частном log10 ε : log10 q. Таким образом,рассматриваемая величина, или, как обычно говорят, последовательность (4), стремится к нулю.Если мы в последовательности (4) заменим q на (−q), то разница будет лишь в том, что у нечетных степеней появится знак минус,68Гл. I.

Функциональная зависимость и теория пределов[26абсолютные же величины членов этой последовательности останутся прежними, а потому и в этом случае мы будем иметь величинубесконечно малую.Если величина x бесконечно малая (x стремится к нулю), то этообычно обозначают следующим образом: lim x = 0, или для пронумерованной переменной: lim xn = 0, где lim — начальные буквылатинского слова limes, что по-русски значит предел. В дальнейшихдоказательствах мы, кроме первой теоремы, будем проводить доказательство для пронумерованных переменных. В первой теоремемы проведем доказательство как для пронумерованных переменных, так и в общем случае.Докажем два свойства бесконечно малых величин.1. Сумма нескольких (определенного числа) бесконечно малыхесть также бесконечно малая величина.Рассмотрим, например, сумму w = x + y + z + y + z трех бесконечно малых величин.

Пусть эти переменные пронумерованы иx1 , x2 , x3 , . . . ; y1 , y2 , y3 , . . . ; z1 , z2 , z3 , . . .— их последовательные значения. Для w получаем последовательные значенияw1 = x1 + y1 + z1 , w2 = x2 + y2 + z2 , w3 = x3 + y3 + z3 , . . .Пусть ε — любое заданное положительное число. Принимая во внимание, что x, y и z — бесконечно малые, можем утверждать: существует такое N1 , что |xn | < 3ε при n > N1 ; такое N2 , что |yn | < 3εпри n > N2 ; такое N3 , что |zn | < 3ε при n > N3 .

Обозначая через Nнаибольшее из чисел N1 , N2 , N3 , можем утверждать, что|xn | <εεε, |yn | < , |zn | <333приn>Nи, следовательно,|wn | 6 |xn | + |yn | + |zn | <ε ε ε+ +3 3 3при n > N,т. е. |wn | < ε при n > N , откуда и следует, что w — величина бесконечно малая.26]§ 2. Теория пределов.

Непрерывные функции69Рассмотрим теперь общий случай, когда x, y, z суть функцииx(t), y(t), z(t) одной и той же упорядочивающей переменной t иw(t) = x(t) + y(t) + z(t). Принимая во внимание, что x, y, z — бесконечно малые, можем утверждать: существует такое значение t = t′ ,что |x(t)| < 3ε для всех последующих значений t; существует такоезначение t = t′′ , что |y(t)| < 3ε для всех последующих значений t;существует такое значение t′′′ , что |z(t)| < 3ε для всех последующихзначений t. Обозначая через t0 такое из трех значений t′ , t′′ , t′′′переменной t, что два других или предшествует ему или совпадаютс ним, можем утверждать, чтоεεε|x(t)| < , |y(t)| < , |z(t)| <333для всех t, следующих за t0 , и потомуε ε ε|w(t)| 6 |xn (t)| + |yn (t)| + |zn (t)| < + + = ε;3 3 3|w(t)| < ε для всех t, следующих за t0 , т.

е. w — бесконечно малая.2. Произведение величины, ограниченной на величину бесконечно малую, есть величина бесконечно малая.Рассмотрим произведение xy пронумерованных переменных, гдевеличина x — ограниченная и y — бесконечно малая. Из этого условия следует: существует такое положительное число M , что |xn | <εпри n > N . ПриM при любом n; существует такое N , что |yn | < Mэтомεпри n > N,|xn yn | = |xn | · |yn | < M ·Mт.

е. |xn yn | < ε при n > N , откуда и следует, что произведение xy —бесконечно малая.Заметим, что последнее свойство остается подавно справедливым, если x = C — постоянная величина. При этом роль числа Mможет играть любое число, большее, чем C, т. е. произведение постоянной величины на бесконечно малую есть величина бесконечномалая. В частности, если x — бесконечно малая, то и (−x) — бесконечно малая.Ввиду основного значения понятия бесконечно малой величиныдля дальнейшего мы остановимся еще на этом понятии и приведемнекоторые дополнительные замечания.70Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[26Считая 0 < q < 1, вставим между двумя членами последовательности (4) число нуль.

Получим последовательностьq, 0, q 2 , 0, q 3 , 0, . . .Нетрудно видеть, что и эта, переменная стремится к нулю,но при этом она бесчисленное множество раз принимает значениенуль. Это не противоречит определению величины, стремящейся кнулю. Предположим, что все последовательные значения «переменной» равны нулю. Для пронумерованной переменной это значит,что xn = 0 при всяком n, а в случае x(t), где t — упорядоченнаяпеременная, это значит, что x(t) = 0 при всех значениях t. Такая «переменная», по существу, есть постоянная величина, но онаформально подходит под определение бесконечно малой величины.Например, для пронумерованной переменной (xn = 0 при любомn) |xn | < ε для любого заданного положительного ε при всех n.Если xn = C при всех n и C — число, отличное от нуля, то такаяпоследовательность не есть, очевидно, бесконечно малая величина.Возьмем те три примера упорядоченной переменной из [25], в которых нельзя пронумеровать переменную, и положим в этих примерах a = 0.

Характеристики

Список файлов книги