1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 15
Текст из файла (страница 15)
. .Вычитая из второго из этих равенств почленно первое, получимx2 − x1 = q(sin x1 − sin x0 ) = 2q sinx1 + x0x1 − x0cos.22Принимая во внимание, что | sin α| 6 |α| и | cos α| 6 1, получим|x2 − x1 | 6 2q|x1 − x0 |= q|x1 − x0 |.2(10)Совершенно так же можем получить следующее неравенство:|x3 − x1 | 6 q|x2 − x1 |,или, пользуясь неравенством (10), можем написать|x3 − x2 | 6 q 2 |x1 − x0 |.∗ Этот факт вообще говоря, требует доказательства, что и будет сделанопозже в [], здесь же можно ограничиться геометрической иллюстрацией.31]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции87Продолжая подобные вычисления, получим при всяком n неравенство|xn+1 − xn | 6 q n |x1 − x0 |.(11)Рассмотрим теперь разность xm − xn , считая для определенностиm > n:xm − xn = xm − xm−1 + xm−1 − xm−2 + xm−2 − xm−3 + · · · + xn+1 − xn .Пользуясь неравенством (11) и формулой для суммы членов геометрической прогрессии, будем иметь|xm − xn | 6 |xm − xm−1 | + |xm−1 − xm−2 |++ |xm−2 − xm−3 | + · · · + |xn+1 − xn | 66 (q m−1 + q m−2 + q m−3 + · · · + q n )|x1 − x0 | = q n1 − q m−n|x1 − x0 |.1−qПри беспредельном увеличении n множитель q n стремится к нулюm−nвсегда заключается[26], множитель |x1 − x0 | постоянный: дробь 1−q1−q1, т.
е. ограничена, ибо, при m > n, q m−n заключаетсямежду нулем и 1−qмежду нулем и единицей. Таким образом, при беспредельном увеличении n и любом m > n разность xm − xn стремится к нулю, и условие (9)выполнено. Мы можем, согласно условию Коши, утверждать, что существует пределlim xn = ξ.В равенствеxn+1 = q sin xn + aбудем беспредельно увеличивать n.
Пользуясь тем, что lim sin xn = sin ξпри lim xn = ξ как это мы покажем в [34], в пределе получимξ = q sin ξ + a,(12)т. е. предел ξ переменной xn есть корень уравнения Кеплера.При построении последовательности xn мы исходили из произвольного числа x0 . Однако покажем, что уравнение Кеплера не может иметьдвух различных корней, откуда следует, что lim xn не зависит от выбораx0 и равняется единственному корню уравнения Кеплера.Положим, что кроме ξ оно имеет еще корень ξ1 , и покажем, что ξ1 = ξ.По условию, кроме (12) имеемξ1 = q sin ξ1 + a.88Гл. I.
Функциональная зависимость и теория пределов[32Вычитая из этого равенства почленно равенство (12), получимξ1 − ξ = q(sin ξ1 − sin ξ) = 2q sinξ1 − ξξ1 + ξcos,22откудаξ1 − ξ |ξ1 − ξ| 6 2q sin.2Но | sin α| 6 |α| при любом угле α, и последнее неравенство приводит кследующему:|ξ1 − ξ| 6 q|ξ1 − ξ|.В силу 0 < q < 1 последнее неравенство может иметь место только при|ξ1 − ξ| = 0, т. е. ξ1 = ξ, откуда и следует, что уравнение Кеплера имееттолько один корень.32. Одновременное изменение двух переменных величин, связанных функциональной зависимостью. Пусть имеется функция y = f (x), определяемая на некотором множестве значений x, например в некотором промежутке. Используя значенияx из указанного множества, мы можем строить различные упорядоченные множества значений переменной x и при этом будем получать соответствующие упорядоченные множества значений переменной y = f (x) [25]. Упорядоченная переменная x является упорядочивающей для f (x).
Мы рассмотрим в этом параграфе одинважный случай такого процесса.Пусть функция f (x) определена на некотором промежутке, содержащем точку x = c внутри. Выбирая, достаточно малое положительное k, можем считать, что тем самым f (x) определена напромежутке c − k 6 x 6 c + k.
Рассмотрим три случая упорядочивания значений x: x → c − 0, x → c + 0; x → c ± 0 — и соответствующую этим случаям упорядоченную переменную f (x). Пусть впервом случае эта переменная имеет предел. Обозначим его буквоюA1 . В этом случае пишут:lim f (x) = A1 .x→c−0(13)Совершенно аналогично во втором случае, при наличии предела(обозначим его буквою A2 ), пишут:lim f (x) = A2 .x→c+0(14)32]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции89Часто пределы (13) и (14) обозначают символами f (c− 0) и f (c+ 0),так чтоlim f (x) = f (c − 0),x→c−0lim f (x) = f (c + 0).x→c+0Отметим, что это — пределы f (x) при стремлении x к c слева и справа.
В третьем случае x стремится к c с двух сторон и существованиепределаlim f (x) = B(15)x→c±0равносильно, очевидно, следующему: существуют пределы (13) и(14), и они равны (A1 = A2 ). При этом B = A1 = A2 .Не следует смешивать символы f (c − 0) и f (c + 0) с f (c), т. е. созначением f (x) при x = c. Выше мы совершенно не пользовалисьэтим значением, и при предыдущих рассуждениях f (x) может бытьи не определена при x = c. Если функция определена при x = c иf (c − 0) = f (c + 0) = f (c), т. е.lim f (x) = f (c),x→c±0то говорят, что функция непрерывна при x = c (в точке c). Пользуясь определением предела для x и f (x), легко указать условия, равносильные существованиям пределов (13), (14) и (15). Существование предела (13) равносильно, очевидно, тому, что f (x) становитсясколь угодно близким к A1 , когда x достаточно приближается кчислу c, оставаясь меньше c.
Точнее говоря, (13) равносильно следующему: при любом заданном положительном числе ε существуеттакое положительное число η, что|f (x) − A1 | < ε,если0 < c − x < η.(131 )При этом η зависит от выбора ε. Совершенно аналогично, (14) равносильно следующему: при любом заданном положительном числеε существует такое положительное число η, что|f (x) − A2 | < ε,если0 < x − c < η,(141 )и (15) равносильно следующему: при любом заданном положительном числе ε существует такое положительное число η, что|f (x) − B| < ε,если|x − c| < η.(151 )90Гл.
I. Функциональная зависимость и теория пределов[32Отметим еще следующий очевидный факт: если существует предел (15), то f (x) при любом законе стремления упорядоченной переменной x к c имеет предел B. Аналогичное замечание имеет место и для пределов (13) и (14) при стремлении x к c слева и справа.В дальнейшем мы подробно рассмотрим понятие непрерывности и свойства непрерывных функций. Сейчас мы обратимся к темслучаям, когда x или f (x) стремятся к бесконечности [29].
Предыдущие определения легко обобщаются и на эти случаи. Нетрудно,например, видеть, что1= −∞,x→c−0 x − ctg x = +∞,limπlimx→ 2 −01= +∞,x→c+0 x − climtg x = −∞.πlimx→ 2 +0Положим, что f (x) определена при всех достаточно больших x ичто упорядоченная переменная x любым образом стремится к +∞[29]. При этом f (x) есть также упорядоченная переменная, и можетсуществовать для нее конечный пределlim F (x) = A.(16)x→+∞Это равносильно следующему: при любом заданном положительном числе ε существует такое число M , что|f (x) − A| < ε,еслиx > M.(161 )В частности, упорядоченность x может состоять в том, что x беспредельно возрастает, принимая все достаточно большие вещественные значения. Совершенно аналогично можно рассмотретьслучай x → −∞.Если f (x) определена при всех x, достаточно больших по абсолютной величине, и упорядоченное переменное x стремится к ∞[29], то может аналогично предыдущему существовать конечныйпределlim f (x) = A,x→∞32]§ 2.
Теория пределов. Непрерывные функции91что равносильно следующему: при любом заданном положительномчисле ε существует такое положительное число M , что|f (x) − A| < ε,если|x| > M.В частности, x может стремиться к ∞, принимая все различныезначения, достаточно большие по абсолютной величине. Их можноупорядочить так же, как это мы делали в [25] для ненумерованной переменной x, удовлетворяющей условию a − k 6 x < a + k(кроме x = a). Отметим, что для пронумерованной переменнойx1 , x2 , x3 , .
. . , имеющей предел a, вместо lim xn = a часто пишутlim xn = a. В этом случае n → ∞ обозначает, что n возрастает,n→∞принимая все целые положительные значения.Можно говорить и о бесконечных пределах f (x). В частности,lim f (x) = −∞x→+∞обозначает, что при любом заданном отрицательном числе M1 ∗ такое число M , что f (x) < M1 , если x > M . Аналогично можноопределить и другие случаи бесконечного предела.Нетрудно проверить справедливость следующих равенств:lim x3 = +∞,x→+∞lim x3 = −∞,x→−∞1= 0, lim x2 = +∞,x→∞x2 − x1222x − 1= ,lim=limx→∞ 3x2 + x + 1x→∞ 3 + 1 + 123xxlimx→∞2533x + 5x + x2= 0.=limx→∞ 1 + 12x→∞ x2 + 1xlimРассмотрим еще один физический пример.
Положим, что мынагреваем некоторое твердое тело, и пусть t0 его начальная температура. При нагревании температура тела будет повышаться, пока∗ Подчеркнем, что число M можно взять сколь угодно большим по своему1абсолютному значению.92Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[32не достигнет точки плавления. При дальнейшем нагревании температура будет оставаться неизменной до тех пор, пока тело не перейдет целиком в жидкое состояние, а затем опять начнется повышение температуры образовавшейся жидкости. Аналогичная картина произойдет и при превращении жидкости в газообразное состояние.
Будем рассматривать количество сообщенного телу тепла,Q как функцию температуры. На рис. 45 изображен график этойфункции, причем на горизонтальной оси откладывается температура, а на вертикальной — количество поглощенного тепла. Пустьt — температура, при которой тело начинает переходить в жидкое,состояние, и t2 — температура, при которой жидкость начинает переходить в газообразное состояние. Очевидно:lim Q = орд. AB иt→t1 −0Рис. 45.lim Q = орд. AC.t→t1 +0Рис. 46.Величина отрезка BC дает скрытую теплоту плавления, а величина отрезка EF — скрытую теплоту парообразования.Если пределы f (c − 0) и f (c + 0) существуют и различны, торазность f (c + 0) − f (c − 0) называется разрывом, или скачком,функции f (x) при x = c (в точке x = c).33]§ 2. Теория пределов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
