1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Заметим, что второесвойство непрерывных функций можно еще формулировать так:при непрерывном изменении x от a до b непрерывная функция f (x)проходит по крайней мере один раз через все числа, лежащие между f (a) и f (b).На рис. 48 и 49 изображен график непрерывной в промежутке(a, b) функции, у которой f (a) < 0 и f (b) > 0. На рис. 48 графикодин раз пересекает ось OX, и при соответствующем значении xфункция f (x) обращается в нуль.
В случае рис. 49 таких значенийбудет не одно, а три.Мы переходим теперь к третьему свойству непрерывных функций, которое является менее наглядным, чем два предшествующих.Рис. 48.Рис. 49.3. Если f (x) непрерывна в промежутке (a, b) и если x = x0 естьнекоторое значение x из этого промежутка, то в силу условия (19)[34] (заменяя c на x0 ) для любого заданного положительного ε существует такое η, зависящее, очевидно, от ε, что|f (x) − f (x0 )| < ε, если |x − x0 | < η,100Гл.
I. Функциональная зависимость и теория пределов[35причем мы считаем, конечно, x также принадлежащим промежутку (a, b). (Если, например, x0 = a, то x обязательно больше a, аесли x0 = b, то x < b.) Но число η может зависеть не только от ε, нои от того, какое именно значение x = x0 из промежутка (a, b) мырассматриваем. Третье свойство непрерывных функций заключается в том, что на самом деле для любого заданного ε существуетодно и то же η для всех значений x0 из промежутка (a, b). Инымисловами, если f (x) непрерывна в промежутке (a, b), то для любогозаданного положительного ε существует такое положительноеη, что|f (x′′ ) − f (x′ )| < ε(20)для любых двух значений x′ и x′′ из промежутка (a, b), удовлетворяющих неравенству|x′′ − x′ | < η.(21)Это свойство называется равномерной непрерывностью.
Такимобразом, если функция непрерывна в промежутке (a, b), то онабудет равномерно непрерывна в этом промежутке.∗Отметим еще раз, что мы предполагаем функцию f (x) непрерывной не только для всех x, лежащих внутри промежутка (a, b),но и, для значений x = a и x = b.Мы поясним свойства равномерной непрерывности еще на одномпростом примере. Предварительно перепишем предыдущие неравенства в другом виде, заменяя букву x′ на x и x′′ на (x + h). Приэтом x′′ −x′ = h представляет собою приращение независимой переменной и f (x + h) − f (x) — соответствующее приращение функции.Свойство равномерной непрерывности запишется так:|f (x + h) − f (x)| < ε,если|h| < η,где x и (x + h) — любые две точки из промежутка (a, b).Для примера рассмотрим функциюf (x) = x2 .∗ Особо подчеркнем, что речь идет именно о замкнутом промежутке. Этоутверждение также называется теоремой Кантора.35]§ 2.
Теория пределов. Непрерывные функции101В данном случае мы имеемf (x + h) − f (x) = (x + h)2 − x2 = 2xh + h2 .При любом заданном значении x выражение (2xh + h2 ), дающее приращение нашей функции, стремится, очевидно, к нулю, если приращениенезависимой переменной стремится к нулю. Этим еще раз подтверждается [34], что взятая функция непрерывна при всяком значении x. Темсамым она будет непрерывна, например, в промежутке −1 6 x 6 2. Покажем, что она будет равномерно непрерывна в этом промежутке. Намнадо удовлетворить неравенству|2xh + h2 | < ε(22)соответствующим подбором числа η в неравенстве |h| < η, причем x и(x + h) должны принадлежать промежутку (–1, 2). Мы имеем|2xh + h2 | 6 |2xh| + h2 = 2|x||h| + h2 .Но наибольшее значение |x| в промежутке (–1, 2) равно двум, и потомумы можем заменить предыдущее неравенство более сильным:|2xh + h2 | 6 4|h| + h2 .Будем считать во всяком случае |h| < 1.
При этом h2 < |h|, и мы можемпереписать предыдущее неравенство в виде:|2xh + h2 | < 4|h| + |h|или|2xh + h2 | < 5|h|.Неравенство (22) будет, наверное, удовлетворено, если мы подчиним|h| условию 5|h| < ε. Таким образом, h должно удовлетворять двум неравенствамε|h| < 1 и |h| < .5Следовательно, за число η мы можем взять наименьшее из двух чисел1 и 5ε . При малых ε (а именно при ε < 5) мы должны взять η = ε5 , и вовсяком случае очевидно, что найденное η будет, при заданном ε, одними тем же для всех x из промежутка (–1, 2).Указанные свойства могут уже не иметь места в случае разрывныхфункций или функций, непрерывных только в н у т р и промежутка.Рассмотрим функцию, график которой изображен на рис.
46. Она, определена на промежутке (–1, +1) и имеет разрыв при x = 0. Среди еезначений имеются сколь угодно близкие к единице, но она не принимает значения, равного единице, и значений, бо́льших единицы. Таким102Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[36образом, среди значений этой функции нет наибольшего. Точно так жесреди этих значений нет и наименьшего.
Элементарная функция y = x непринимает внутри промежутка (0, 1) ни наибольшего, ни наименьшегозначения. Если рассматривать эту же функцию в замкнутом промежутке (0, 1), то она будет достигать своего наименьшего значения при x = 0и наибольшего при x = 1. Рассмотрим еще функцию f (x) = sin x1 , непрерывную в промежутке 0 < x 6 1, открытом слева. При стремлении x кнулю аргумент x1 беспредельно растет, и sin x1 колеблется между (–1) и(+1) и не имеет предела при x → +0.
Покажем, что указанная функция не обладает равномерной непрерывностью в промежутке 0 < x 6 1.21и x′′ = (4n+1)π, где n — целое полоРассмотрим два значения: x′ = nπжительное число. Оба они принадлежат упомянутому промежутку прилюбом выборе n. Далее, мы имеем,π= 1.f (x′ ) = sin nπ = 0, f (x′′ ) = sin 2nπ +2Таким образом,f (x′′ ) − f (x′ ) = 1иx′′ − x′ =21.−(4n + 1)πnπПри беспредельном возрастании целого положительного числа n разность x′′ − x′ стремится к нулю, а разность f (x′′ ) − f (x′ ) остается равнойединице. Отсюда видно, что не существует положительного η для промежутка 0 < x 6 1 такого, что из (21) следует |f (x′′ ) − f (x′ )| < 1; этосоответствует выбору ε = 1 в формуле (20).Возьмем функцию f (x) = x sin x1 .
При x → +0 первый множитель xстремится к нулю, а второй sin x1 не превышает единицы по абсолютнойвеличине, а потому [32] f (x) → 0 при x → +0. При x = 0 второй множитель не имеет смысла, но если мы дополним определение нашей функции, положив f (0) = 0, т. е. будем считать f (x) = x sin x1 при 0 < x 6 1 иf (0) = 0, то получим функцию, непрерывную в замкнутом промежутке(0, 1). Функции sin x1 и x sin x1 обладают, очевидно, непрерывностью прилюбом x, отличном от нуля.36. Сравнение бесконечно малых и бесконечно большихвеличин. В дальнейшем буквами α и β мы будем обозначать упорядоченные переменные, которые имеют одну и ту же упорядочивающую переменную (значок n или переменную t), так что мыможем производить элементарные действия над этими переменными.36]§ 2.
Теория пределов. Непрерывные функции103βЕсли переменные α и β стремятся к нулю, то к их частному αтеорема о пределе частного неприменима и мы без дополнительныхисследований ничего не можем сказать о существовании предела уэтого частного.Положим, что α и β стремятся к нулю, но не принимают в проβстремится к прецессе изменения значения нуль и что отношение αделу a, конечному и отличному от нуля. При этом отношение αβстремится к пределу a1 , конечному и отличному от нуля. В этомслучае говорят, что α и β — бесконечно малые одного и того жепорядка.Если предел отношения αβ равен нулю, то говорят, что β — бесконечно малая высшего порядка по сравнению с α или что α —бесконечно малая низшего порядка по сравнению с β. Если отноβстремится к бесконечности, то αшение αβ стремится к нулю, т.
е. βбудет низшего порядка по сравнению с α и α высшего порядка посравнению с β. Легко показать, что если α и β бесконечно малыеодного и того же порядка и γ бесконечно малая высшего порядкапо отношению к α, то она бесконечно малая высшего порядка и поотношению к β. По условию αγ → 0, и отношение αβ имеет предел,конечный и отличный от нуля. Из очевидного равенства βγ = αγ · αβ,в силу теоремы о пределе произведения, непосредственно следует,что βγ → 0, что и доказывает наше утверждение.Отметим важный частный случай бесконечно малых одного иβтого же порядка. Если αβ → 1 при этом и α → 1 , то бесконечно=малые α и β называются эквивалентными. Из равенства β−ααβ−1непосредственноследует,чтоэквивалентностьαиβравноαсильна тому, что разность β − α есть бесконечно малая высшегоαпорядка по отношению к α.
Из равенства β−αβ = 1 − β точно также следует, что эквивалентность равносильна тому, что β − α естьбесконечно малая высшего порядка по отношению к β.Если отношение αβk , где k — постоянное положительное число,стремится к пределу, конечному и отличному от нуля, то говорят,что β бесконечно малая порядка k по сравнению с α. Если αβk → c,где c — число, отличное от нуля, то cαβk → 1, т. е. β и cαk — эквивалентные бесконечно малые, и, следовательно, разность γ = β − cαkесть бесконечно малые высшего порядка по сравнению с β (или104Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[37по сравнению с αk ). Если принять α за основную бесконечно малую, то равенство β = cαk + γ, где γ — бесконечно малая высшегопорядка по сравнению с αk , представляет собой выделение из бесконечно малой β бесконечно малого слагаемого cαk (простейшеговида по отношению к α), так что остаток γ есть уже бесконечно малая высшего порядка по сравнению с β (или по сравнениюс αk ).Аналогичным образом производится сравнение бесконечнобольших величин u и v.
Если uv стремится к пределу, конечномуи отличному от нуля, то говорят, что u и v бесконечно большиевеличины одного и того же порядка. Если uv → 0, то uv → ∞. Вэтом случае говорят, что v бесконечно большая низшего порядкапо сравнению с u или что u бесконечно большая высшего порядкапо сравнению с v. Если uv → 1, то бесконечно большие называются эквивалентными. Если uvk , где k — постоянное положительноечисло, имеет предел, конечный и отличный от нуля, то говорят,что v бесконечно большая k-го порядка по сравнению с u. Все сказанное выше о бесконечно малых имеет место и для бесконечнобольших.βили uv вовсе не имеет предеОтметим еще, что если отношение αла, то соответствующие бесконечно малые или бесконечно большиеназываются несравнимыми.37.
Примеры.1. Выше мы видели, чтоlimx→0sin x= 1,xт. е. sin x и x суть эквивалентные бесконечно малые, и, следовательно,разность sin x − x есть бесконечно малая высшего порядка по отношению к x. Дальше мы увидим, что эта разность эквивалентна − 61 x3 , т. е.является бесконечно малой третьего порядка по сравнению с x.2. Покажем, что разность 1 − cos x есть бесконечно малая второгопорядка по отношению к x.
Действительно, применяя известную тригонометрическую формулу и элементарные преобразования, получим!22 sin2 x21 sin x21 − cos x==.xx2x22237]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функцииЕсли x → 0, то α =limx→0sinx2x2= limx2α→0105также стремится к нулю, и, как мы показали,1sin α1 − cos x= 1, и, следовательно, lim= ,x→0αx22т. е. действительно, 1 − cos x бесконечно малая второго порядка по сравнению с x.3. Из формулы∗√x1+x−1 = √1+x+1следует√11+x−1= √,x1+x+1откуда√11+x−1= ,x2√т.1+x−1иxсутье.бесконечномалыеодного порядка, причем√1 + x − 1 эквивалентна 12 x.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
