1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Непрерывные функции931Функция y = arctg x−cимеет при x = c скачок π. Только что рассмотренная функция Q(t) имеет в точке плавления t = t1 скачок,равный скрытой теплоте плавления.При определении предела f (x) при стремлении x к c мы считали, что x стремится к c, никогда с ним не совпадая. Эта оговоркасущественна, потому что значение f (x) при x = c иногда или несуществует, или не имеет ничего общего со значениями f (x) при x,близких к c. Так, например, функция Q(t) не определена при t = t1 .Рассмотрим еще пример для пояснения сказанного.
Положим,что на промежутке (−1, +1) функция определена следующим образом:y =x+1при− 1 6 x < 0;y = x − 1 при 0 < x 6 1;y = 0 при x = 0.На рис. 46 воспроизведен график этой функции, состоящий издвух отрезков прямых, из которых исключены конечные точки (приx = 0), и одной отдельной точки — начала координат. В этом случаеlim f (x) = 1, lim f (x) = −1, f (0) = 0.x→−0x→+033. Примеры. 1.
Известно, что при любом x имеет место неравенство | sin x| 6 |x| и знак равенства имеет место лишь при x = 0.Напомним, что величина x при этом выражается в радианах. Изсказанного следует, что для любого заданного положительного числа ε мы имеем | sin x| < ε, если |x| < ε, т. е.lim sin x = 0.x→±02. Далее, имеем1 − cos x = 2 sin2т. е. 0 6 1 − cos x 6x22 , x 2x2x62=,222откуда следует, что [27]lim cos x = 1.x→±094Гл.
I. Функциональная зависимость и теория пределов[333. Рассмотрим частноеy=sin x.xЭта функция определена при всех x кроме x = 0, ибо при x = 0 ичислитель и знаменатель обращаются в нуль и дробь теряет смысл.Исследуем изменение y при x → ±0. При изменении знака x величина y не меняется,∗ так что достаточно предполагать, что x → +0.Покажем, что y → 1 при x → +0. Тот же предел получится ипри x → −0. Отметим, что теорему о пределе частного применить нельзя, ибо и числитель и знаменатель стремятся к нулю приx → +0.Будем рассматривать x, как центральный угол в круге радиуса единица (рис.
47).Принимая во внимание, что пл. △ AOB < пл.сектора AOB < пл. △ AOC, получим111πsin x < x < tgx 0 < x <,2222откуда, деля наРис. 47.121<sin x, получим1x<sin xcos xилиsin x> cos x.xНо cos x → 1 при x → +0, откуда1>limsin x=1xlimsin x= 1.xx→+0и в силу сказанного выше,x→±0∗ sin xxявляется четной функцией.(17)34]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции95Определим для данного случая число η, которое входит в условие(151 ).
Вычитая, из единицы три части неравенства (17), получим0<1−sin x< 1 − cos xxоткуда следует, чтоπ,0<x<2 sin x− 1 < ε,x2если 1 − cos x < ε. Но, как мы видели выше, 1 − cos x < x2 , и√2достаточно выбрать x2 < ε, т. е. |x| < 2ε. Итак, в данном случае√2ε может играть роль числа η.34. Непрерывность функции. Приведем еще раз определение непрерывности функции f (x) в точке x = c, если эта функцияопределена в этой точке и вблизи нее слева и справа.О п р е д е л е н и е. Функция f (x), определенная при x = c и всехзначениях x, достаточно близких к c, называется непрерывнойпри x = c (в точке c), если существует предел f (x) при x → c ± 0и этот предел равен f (c):lim f (x) = f (c).x→c±0(18)Напомним, что это равносильно тому, что существуют пределыf (c − 0) и f (c + 0) слева и справа и что эти пределы равны междусобою и равны f (c), т.
е. f (c − 0) = f (c + 0) = f (c).Из сказанного в [32] следует, что это равносильно также следующему: при любом заданном положительном числе ε существуеттакое положительном число η, что|f (x) − f (c)| < εпри |x − c| < η(19)Не нужно оговаривать, что x 6= c, ибо f (x)−f (c) = 0 при x = c. Иначе это можно формулировать так: f (x) − f (c) → 0 при x − c → ±0.Разность x−c есть приращение независимой переменной, а разностьf (x) − f (c) — соответствующее приращение функции.
Поэтому указанное выше определение непрерывности часто формулируют так:96Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[34Функция называется непрерывной в точке x = c, если бесконечно малому приращению независимой переменной (от начального значения x = c) соответствует бесконечно малое приращениефункции.Заметим, что свойство непрерывности, выражаемое равенством(18), сводится к возможности находить предел функции простойподстановкой вместо независимой переменной ее предела.Из формул, приведенных в конце [28], мы видим, что целыймногочлен от x и частное таких многочленов, т. е.
рациональнаяфункция от x, суть функции, непрерывные при любом, значении x,кроме тех значений, при которых знаменатель рациональной функции обращается в нуль.Непрерывной, очевидно, будет и функция y = b, сохраняющаяпри всяком x одно и то же значение [12].Все элементарные функции, рассмотренные нами в первой главе (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные круговые), непрерывны при всех значениях x, прикоторых они существуют, кроме тех значений, при которых они обращаются в бесконечность.Так, например, log10 x есть непрерывная функция от x при всехположительных значениях x; tg x есть непрерывная функция от xпри всех значениях x, кроме значенийπx = (2k + 1) ,2где k есть любое целое число.Отметим еще функцию uv , где u и v суть непрерывные функции от x, причем предполагается, что u не принимает отрицательных значений.
Такая функция называется степенно-показательной. Она точно так же обладает свойством непрерывности, исключая те значения x, при которых u и v одновременно равны нулюили u = 0 и v < 0.Высказанное нами утверждение о непрерывности элементарныхфункций нуждается, конечно, в доказательстве, но мы примем этобез доказательства. В дальнейшем мы рассмотрим этот вопрос подробнее. Докажем только непрерывность функции sin x при любом34]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции97x = c, пользуясь определением (19). Мы имеем [ср. 31]sin x − sin c = 2 sinx−cx+ccos,22откуда следуетx − c x + c x − c | sin x − sin c| = 2 sin cos 6 2 sin.222Но | sin α| 6 |α| при любом угле α, и, следовательно,| sin x − sin c| 6 |x − c|.Чтобы иметь | sin x − sin c| 6 ε, где ε — заданное положительноечисло, достаточно считать, что |x−c| < ε, т.
е. роль η в определении(19) может играть число ε.Нетрудно показать, что сумма или произведение произвольного конечного числа непрерывных функций есть также непрерывная функция; то же относится и к частному двух непрерывныхфункций за исключением тех значений независимой переменной,при которых знаменатель обращается в нуль.Рассмотрим лишь случай частного. Положим, что функции ϕ(x)и ψ(x) непрерывны при x = a и что ψ(a) 6= 0.
Составим функциюf (x) =ϕ(x).ψ(x)Пользуясь теоремой о пределе частного, получимlim f (x) =x→aϕ(a)limx→a ϕ(x)== f (a),limx→a ψ(x)ψ(a)что и доказывает непрерывность частного f (x) при x = a.Отметим один простой пример. Раз y = sin x есть непрерывнаяфункция от x, то y = b sin x, где b — постоянная, также будет непрерывной функцией, так как она является произведением непрерывных функций y = b (см. выше) и y = sin x.Вернемся теперь еще к функции y = sinx x .
При x = 0 эта функция неопределенна, но мы знаем, что lim y = 1. Поэтому, еслиx→±098Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[35мы положим y = 1 при x = 0, то y будет непрерывной функцией вточке x = 0.Подобное нахождение предела функции при стремлении x кее точке неопределенности называется раскрытием неопределенности, а самый предел, если он существует, называют иногда истинным значением функции в ее упомянутой точке неопределенности.В дальнейшем мы будем иметь много примеров раскрытия неопределенностей.35. Свойства непрерывных функций. Выше мы определилисвойство непрерывности функции при заданном значении x. Положим теперь, что функция определена в конечном промежуткеa 6 x 6 b.
Если она непрерывна при любом значении x из этого промежутка, то говорят, что она непрерывна в промежутке(a, b). Заметим при этом, что непрерывность функции на концахпромежутка x = a и x = b состоит в следующем:lim f (x) = f (a),x→a+0lim f (x) = f (b).x→b−0Все непрерывные функции обладают следующими свойствами:1. Если функция f (x) непрерывна в промежутке (a, b), то существует в этом промежутке по крайней мере одно такое значение x, при котором f (x) принимает свое наибольшее значениеи по крайней мере одно такое значение x, при котором функцияпринимает свое наименьшее значение.2. Если функция f (x) непрерывна в промежутке (a, b), причемf (a) = m и f (b) = n, и если k — любое число, заключающееся между m и n, то существует в промежутке (a, b) по крайней мере одно такое значение x, при котором значение f (x) равно k; в частности, если f (a) и f (b) разных значков, то существует внутрипромежутка (a, b) по крайней мере одно такое значение x, прикотором f (x) обращается в нуль.Эти два свойства становятся непосредственно ясными, если принять во внимание, что в случае непрерывности функции соответствующий ей график будет представлять собою непрерывную кривую.
Это замечание не может, конечно, служить доказательством.Самое понятие о непрерывной кривой, наглядное с первого взгляда,35]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции99оказывается чрезвычайно сложным при ближайшем его рассмотрении. Строгое доказательство указанных двух свойств, так же как иследующего, третьего, основано на теории иррациональных чисел.Мы примем эти свойства без доказательства.В последних номерах настоящего параграфа мы выясним основы теории иррациональных чисел и связь этой теории с теориейпределов и свойствами непрерывных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
