1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

I. Функциональная зависимость и теория пределов[40границей множества E называется такое число α (если оно существует), что среди чисел, принадлежащих E, нет чисел, меньших α, но при любом заданном положительном ε есть числа,меньшие (α + ε).Если множество E не ограничено сверху, т. е. существуют числа из E, бо́льшие любого заданного числа, то множество не можетиметь точной верхней границы.

Точно так же, если множество E неограничено снизу, то оно не может иметь точной нижней границы.Если среди чисел множества есть наибольшее, то оно, очевидно, иявляется точной верхней границей множества. Точно так же, еслисреди чисел множества есть наименьшее, то оно и является точнойнижней границей множества E. Но, как мы видели, не всегда средичисел бесконечного множества есть наибольшее или наименьшее.Однако можно показать, что у множества, ограниченного сверху,всегда имеется точная верхняя граница, а у множества, ограниченного снизу, — точная нижняя граница. Отметим еще, что изопределения точных границ непосредственно следует, что точнаяверхняя и точная нижняя граница может быть только одна.Указанными в настоящем номере предложениями мы будем часто пользоваться в дальнейшем.Следующие номера, напечатанные мелким шрифтом, могутбыть пропущены при первом чтении.40.

Вещественные числа. Начнем с изложения теории вещественных чисел. Мы исходим из множества всех рациональных чисел, целыхи дробных, как положительных, так и отрицательных. Все эти рациональные числа можно себе представить расположенными в порядке ихвозрастания. При этом если a и b два любых различных рациональныхчисла, то между ними можно вставить сколько угодно рациональных чисел. Действительно, пусть a < b, и введем положительное рациональное, где n — какое-нибудь целое положительное число. Рацичисло r = b−anональные числа a + r, a + 2r, .

. . , a + (n − 1)r, лежат между a и b, и,ввиду произвольности в выборе целого положительного числа n, нашеутверждение доказано.Назовем сечением в области рациональных чисел всякое разделениевсех рациональных чисел на такие два класса, что любое число одного(первого) класса меньше любого числа другого (второго) класса. Приэтом, очевидно, если некоторое число находится в первом классе, то и40]§ 2. Теория пределов.

Непрерывные функции113всякое меньшее его число также находится в первом классе, и если некоторое число находится во втором классе, то и всякое большее число такженаходится во втором классе.Положим, что среди чисел первого класса есть наибольшее число.При этом, в силу упомянутого свойства совокупности рациональных чисел, можно утверждать, что среди чисел второго класса нет наименьшегочисла. Точно так же, если среди чисел второго класса есть наименьшее,то среди чисел первого класса нет наибольшего.

Назовем сечение — сечением первого рода, если среди чисел первого класса есть наибольшееили среди чисел второго класса есть наименьшее. Легко построить такиесечения. Возьмем какое-нибудь рациональное число b и отнесем к первому классу все рациональные числа, меньшие b, ко второму классу — всерациональные числа, бо́льшие b, а само число b отнесем или к первомуклассу (оно будет там наибольшим), или ко второму классу (оно будеттам наименьшим).

Беря за b всевозможные рациональные числа, мы получим таким образом всевозможные сечения первого рода. Мы будемговорить, что такое сечение первого рода определяет то рациональноечисло b, которое является наибольшим в первом или наименьшим вовтором классе.Но существуют и сечения второго рода, у которых в первом классе нет наибольшего числа, а во втором классе нет наименьшего числа.Построим пример такого сечения. Отнесем к первому классу все отрицательные рациональные числа, нуль и те положительные рациональныечисла, квадрат которых меньше двух, а ко второму классу отнесем все терациональные положительные числа, квадрат которых больше двух.

Таккак не существует рационального числа, квадрат которого равен двум, товсе рациональные числа окажутся распределенными, и мы будем иметьнекоторое сечение. Покажем, что в первом классе нет наибольшего числа.Для этого достаточно показать, что если число a принадлежит первомуклассу, то есть числа, бо́льшие a, также принадлежащие первому классу.Если a отрицательно или нуль, то это очевидно; положим, что a > 0 .По условию составления первого класса a2 < 2 . Введем положительное рациональное число r = 2 − a2 и покажем, что можно определитьнастолько малое положительное рациональное число x, чтобы (a + x)также принадлежало первому классу, т.

е. чтобы имелось неравенство2 − (a + x)2 > 0илиr − 2ax − x2 > 0,т. е. дело сводится к нахождению такого положительного рациональногочисла, которое удовлетворяет неравенству x2 + 2ax < r. Считая x < 1,имеем x2 < x, и, следовательно, x2 + 2ax < x + 2ax = (2a + 1)x, т. е. нам114Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[40достаточно удовлетворить неравенству (2a + 1)x < r, таким образом, xопределяется из двух неравенствrx<1 и x<.2a + 1Очевидно, можно найти сколько угодно таких положительных рациональных x, которые удовлетворяют обоим этим неравенствам. Совершенно так же можно показать, что во втором классе построенного сечениянет наименьшего числа. Итак, мы построили пример сечения второгорода.

Основным моментом теории является следующее соглашение: мысчитаем, что всякое сечение второго рода определяет некоторый новыйобъект — иррациональное число. Разные сечения второго рода определяют разные иррациональные числа. Нетрудно догадаться, что построенный выше пример сечения второго рода√ определяет то иррациональноечисло, которое мы обычно обозначаем 2.Можно расставить теперь все введенные таким образом иррациональные числа вместе с прежними рациональными в порядке возрастания, который интуитивно изображается для нас точками направленной оси OX.Если α есть некоторое иррациональное число, то мы обозначим черезI (α) и II (α) первый и второй классы того сечения, которое определяетиррациональное число α.

Мы считаем число α бо́льшим, чем любое число из I (α), и меньшим, чем любое число из II (α). Таким образом, любоеиррациональное число сравнивается с любым рациональным. Остаетсяопределить понятия больше и меньше для любых двух различных иррациональных чисел α и β. Поскольку α и β различны, классы I (α) и I (β)не совпадают, и один из классов заключается в другом.

Положим, чтоI (α) заключается в I (β), т. е. всякое число из I (α) принадлежит I (β), ноесть числа из I (β), принадлежащие II (α). При этом мы по определениюсчитаем α < β. Таким образом, совокупность всех рациональных и иррациональных чисел, т. е., иначе говоря, совокупность всех вещественныхчисел расположена в порядке. При этом, пользуясь данными выше определениями, нетрудно показать, что если a, b и c — вещественные числаa < b и b < c, то a < c.Отметим прежде всего одно элементарное следствие из указанныхопределений.

Пусть α — некоторое иррациональное число. Поскольку вклассе I (α) нет наибольшего, а в классе II (α) нет наименьшего числа,то непосредственно очевидно, что между α и любым рациональным числом a можно вставить сколько угодно рациональных чисел. Пусть теперьα < β — два различных иррациональных числа. Часть рациональных чисел из I (β) входит в II (α), и отсюда непосредственно следует, что между α и β также можно вставить сколько угодно рациональных чисел,40]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции115т. е. вообще, между двумя различными вещественными числами можно вставить сколько угодно рациональных чисел.Мы переходим теперь к доказательству основной теоремы теории иррациональных чисел.

Рассмотрим совокупность всех вещественных чисел и произведем в ней какое-нибудь сечение, т. е. распределим все вещественные числа (не только рациональные, но и иррациональные) на двакласса I и II так, чтобы любое число из I было меньше любого числа изII. Докажем, что при этом обязательно или в классе I будет наибольшеечисло, или в классе II будет наименьшее число (одно исключает другое, как и выше для сечения в области рациональных чисел). Для этогообозначим через I′ совокупность всех рациональных чисел из I и черезII′ — совокупность всех рациональных чисел из II.

Классы (I′ , II′ ) определяют некоторое сечение в области рациональных чисел, и это сечениеопределит вещественное число α (рациональное или иррациональное).Положим для определенности, что это число α принадлежит классу Iпри упомянутом выше распределении всех вещественных чисел на двакласса. Покажем, что α должно быть наибольшим числом из класса I.Действительно, если бы это было не так, то существовало бы в классе Iвещественное число β, большее α.

Возьмем некоторое рациональное число r, лежащее между α и β, т. е. α < r < β. Оно должно принадлежатьклассу I и, следовательно, классу I′ .Таким образом, в первом классе сечения (I′ , II′ ), определяющего числа α, находится число r, большее, чем α. Этого быть не может, и, следовательно, наше предположение, что α не наибольшее число класса Iнеправильно.

Совершенно так же можно показать, что если α попадаетв класс II, то оно должно быть там наименьшим числом.Итак, мы доказали следующую основную теорему:О с н о в н а я т е о р е м а. В любом сечении, произведенном в областивещественных чисел, обязательно: или первый класс содержит наибольшее число, или второй класс содержит наименьшее число.Всем рассуждениям настоящего номера легко придать простой геометрический смысл. Сначала мы рассматриваем на оси OX только точкис рациональными абсциссами.

Сечению в области рациональных чиселсоответствует разрез прямой OX на две полупрямые. Если разрез происходит в точке с рациональной абсциссой, то получается сечение первогорода, причем абсцисса той точки, в которой происходит разрез, причисляется сама или к первому или ко второму классу. Если же разрез производится в точке, которой не соответствует рациональная абсцисса, тополучается сечение второго рода, определяющее иррациональное число,которое и принимается за абсциссу той точки, в которой произведен раз-116Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[41рез.

Характеристики

Список файлов книги