1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 14
Текст из файла (страница 14)
е. рассматриваемая переменная стремится к +∞.Если в последовательности (5) заменим q на (−q), то изменятсялишь знаки при нечетных степенях q, абсолютные же значения членов последовательности останутся прежними и, следовательно, приотрицательных значениях q, по абсолютному значению бо́льшихединицы, последовательность (5) стремится к бесконечности.В дальнейшем, когда мы будем говорить, что переменная величина стремится к пределу, то будем подразумевать, что этот пределконечен.
Иногда говорят, что «переменная величина стремится кбесконечному пределу», обозначая этими словами бесконечно большую величину.Из предыдущих определений непосредственно вытекает такоеследствие: если переменная x стремится к нулю, то переменная mx,где m — заданная постоянная, отличная от нуля, стремится к бесконечности, а если x стремится к бесконечности, то mx стремится кнулю.30.
Монотонные переменные. При рассмотрении переменной величины мы часто не в состоянии найти ее предел, но нам82Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[30важно знать, что этот предел существует, т. е. что переменная стремится к пределу. Укажем один важный признак существованияпредела.Положим, что переменная величина x постоянно возрастает(точнее говоря, никогда не убывает) или постоянно убывает (точнееговоря, никогда не возрастает).
В первом случае всякое значениевеличины не меньше всех предыдущих и не больше всех последующих. Во втором случае оно не больше всех предыдущих и не меньшевсех последующих. В этих случаях говорят, что величина меняетсямонотонно.Соответствующая ей точка K на оси OX будет тогда перемещаться в одном направлении — в положительном, если переменнаявозрастает, и в отрицательном, если она убывает.
Непосредственноясно, что могут представиться лишь две возможности: или точка K беспреРис. 43.дельно удаляется по прямой (x → +∞ или −∞), или точка K беспредельно приближается кнекоторой определенной точке A (рис. 43), т. е. переменная x стремится к пределу. Если, кроме монотонности изменения, известноеще, что величина x ограничена, то первая возможность отпадает,и можно утверждать, что величина стремится к пределу.Рассуждение это, основанное на интуиции, очевидно, не имеетдоказательной силы. Строгое доказательство мы приведем позже.Указанный признак существования предела обычно формулируют так: если переменная величина ограничена и меняется монотонно, то она стремится к пределу.Рассмотрим в качестве примера последовательностьu1 =x2x3xnx, u2 =, u3 =, .
. . , un =. . . 1,12!3!n!(6)где x есть данное положительное число. Мы имеемxun = un−1 .n(7)1 Символ n! есть сокращенное обозначение произведения 1 · 2 · 3 . . . n иназывается «факториал n».31]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции83При значении n > x дробь nx будет меньше единицы и un < un−1 ,переменная un , начиная с некоторого своего значения, при увеличении n будет постоянно убывать, оставаясь больше нуля.
Согласнопризнаку существования предела, эта переменная будет стремиться к некоторому пределу u. Будем в равенстве (7) беспредельноувеличивать целое число n. В пределе мы получимu = u·0то естьили u = 0,xn= 0.x→+∞ n!lim(8)Если мы в последовательности (6) заменим x на (−x), то изменится лишь знак у членов с нечетным значком n, и эта последовательность по-прежнему будет стремиться к нулю, т. е.
равенство (8)справедливо при любом заданном значении x как положительном,так и отрицательном.В этом примере мы вычислили предел u, предварительно убедившись, что он существует. Если бы этого последнего мы не сделали, то примененный нами метод мог бы привести и к ошибочномурезультату.
Рассмотрим, например, последовательностьu1 = q, u2 = q 2 , . . . , un = q n , . . . (q > 1).Имеем, очевидно,un = un−1 q.Не заботясь о существовании предела un , обозначим его буквою u.Переходя в написанном равенстве к пределу, получим.u = uq,т. е. u(1 − q) = 0и, следовательно,u = 0.Но это неверно, ибо при q > 1, как известно, lim q n = +∞ [29].31. Признак Коши существования предела. Указанный в[30] признак существования предела является лишь достаточным,84Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[31но не необходимым условием существования предела, ибо, как мызнаем [27], переменная величина может стремиться к пределу, меняясь и не монотонно.Французский математик Коши дал необходимое и достаточноеусловие существования предела, которое мы сейчас и сформулируем.
Если предел известен, то характерным для него является тотфакт, что, начиная с некоторого значения переменной, абсолютное значение разности между пределом и переменной меньше любого заданного положительного ε. Согласно признаку Коши, длясуществования предела необходимо и достаточно, чтобы, начинаяс некоторого значения переменной, разность между любыми двумя последующими значениями переменной была меньше любого заданного положительного ε.
Дадим точную формулировку признакаКоши.П р и з н а к К о ш и. Для того чтобы переменная x имела предел, необходимо и достаточно выполнение следующего условия:при любом заданном положительном числе ε существует такоезначение x, что для любых последующих значений x′ и x′′ выполняется неравенство: |x′ − x′′ | < ε.Положим, что мы имеем пронумерованную переменнуюx1 , x2 , . . . , xn , .
. .Согласно признаку Коши, необходимое и достаточное условие существования предела у этой последовательности состоит в следующем: при любом заданном положительном ε существует такое N(зависящее от ε), что|xm − xn | < ε,еслиm и n > N.(9)Необходимость этого условия доказывается очень просто. Еслинаша последовательность имеет предел a, то напишем xm − xn =(xm − a) + (a − xn ), откуда следует|xm − xn | 6 |xm − a| + |a − xn |.Но, в силу определения предела, существует такое N , что |xm −a| <εε2 и |a−xn | < 2 , если m и n > N , и, тем самым, |xm −xn | < ε, если m31]§ 2.
Теория пределов. Непрерывные функции85и n > N . Короче говоря, если значения x становятся сколь угодноблизкими к a, то они становятся сколь угодно близкими и друг кдругу.Рис. 44.Не приводя пока строгого доказательства достаточности условия Коши, дадим ему наглядное пояснение (рис. 44).Пусть Ms — точка координатной оси, соответствующая числу xs .Положим, что условие (9) выполнено. Согласно этому условию существует такое значение N = N1 , что|xs − xN1 | < 1при s > N1 ,т.
е. все точки Ms при s > N1 находятся внутри отрезка A′1 A1 , длинакоторого равна двум и середина которого есть точка с абсциссойxN1 .Точно так же существует значение N = N2 , такое, что|xs − xN2 | <12при s > N2 ,причем можно считать, что N2 > N1 . Из сказанного, следует, чтовсе точки xs при s > N2 находятся внутри отрезка I, длина которого равна единице и середина которого есть точка с абсциссойxN2 .
С другой стороны, все эти точки должны находиться внутриотрезка A′1 A1 , откуда следует, что отрезки I и A′1 A1 должны иметьобщую часть. Пусть A′2 A2 — эта общая часть. В силу сказанноговыше точки Ms при s > N2 должны находиться внутри отрезкаA′2 A2 .Точно так же существует N = N3 > N2 такое, что |xs − xN3 | < 13при s > N3 . Аналогично предыдущему, построим отрезок A′3 A3 ,длина которого не превосходит 23 и который принадлежит отрезкуA′2 A2 , причем все точки Ms при s > N3 будут находиться внутри86Гл.
I. Функциональная зависимость и теория пределов[31него. Полагая ε = 41 , 15 , . . . , n1 , . . . , получим, таким образом, рядотрезков A′n An , из которых каждый последующий заключается впредыдущем и длины которых стремятся к нулю. Концы этих отрезков будут, очевидно, стремиться к одной и той же точке A,∗ ичисло a, соответствующее этой точке, и будет пределом переменной величины x, так как из описанного выше построения следует,что при достаточно большом значении s все точки Ms будут скольугодно близки к точке A.В качестве приложения признака Коши рассмотрим уравнениеКеплера, которое служит для определения положения планеты на своейорбите.
Уравнение это имеет видx = q sin x + a,где a и q — данные числа, из которых второе заключено между нулем иединицей, а x — неизвестное. Возьмем любое число x0 и построим последовательность чиселx1 = q sin x0 + a,xn = q sin xn−1 + a,x2 = q sin x1 + a, . . . ,xn+1 = q sin xn + a, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
