1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Очевидно, что если β принадлежит E, то оно будет наибольшим изчисел E.Докажем теперь существование предела у монотонной ограниченнойпеременной [30]. Итак, пусть переменная x все время возрастает или,по крайней мере, не убывает, т. е. всякое ее значение не меньше любого предыдущего. Пусть, корме того, x ограничено, т. е. существует такое число M , что все значения x меньше M .
Рассмотрим совокупностьвсех значений x. По доказанной теореме существует точная верхняя граница β для этой совокупности. Покажем, что β и есть предел x. Пустьε — произвольное положительное число. По определению точной верхнейграницы найдется значение x, большее (β − ǫ). Тогда, в силу монотонности, и все последующие значения x будут больше (β − ε), но, с другойстороны, они не могут быть больше β, и, в силу произвольности ε, мы видим, что β = lim x. Точно так же можно разобрать и случай убывающейпеременной.Прежде чем переходить к доказательству признака Коши [31], докажем одну теорему, которой мы будем пользоваться.Т е о р е м а.
Пусть имеется последовательность конечных промежyков(a1 , b1 ), (a2 , b2 ), . . . , (an , bn ), . . .причем каждый следующий промежуток заключается в предыдущем,т. е. an+1 > an , и bn+1 6 bn , и пусть длины этих промежутков стремятся к нулю, т. е. (bn − an ) → 0. При этом концы промежутков an иbn стремятся к общему пределу при возрастании n.По условию теоремы мы имеем a1 6 a2 6 .
. . и, кроме того,an < b1 при любом n. Таким образом, последовательность a1 , a2 , . . .будет монотонной и ограниченной, а потому будет иметь предел: an → a.Из условия (bn − an ) → 0 вытекает bn = an + εn , где εn → 0, и, следовательно, bn имеет предел, также равный a.Перейдем теперь к доказательству признака Коши. Ограничимсяслучаем переменной, значения которой можно пронумеровать:x1 , x2 , .
. . , xn , . . .(27)Надо доказать, что необходимое и достаточное условие существованияпредела последовательности (27) заключается в следующем: для любогозаданного положительного ε существует такой значок N , что|xm − xn | < εприm и n > N.(28)43]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции121Покажем, что это условие д о с т а т о ч н о, т. е. что при выполнении этого условия последовательность (27) имеет предел. Из наших прежнихрассуждений [31] вытекает, что если условие выполнено, то можно построить последовательность промежутков(a1 , b1 ), (a2 , b2 ), .
. . , (ak , bk ), . . .со следующими свойствами: каждый следующий заключается в предыдущем, длины (bk −ak ) стремятся к нулю и всякому интервалу (ak , bk ) соответствует такое целое положительное число Nk , что все xs при s > Nkпринадлежат (ak , bk ). Эти интервалы (ak , bk ) суть отрезки A′k Ak из [31].По доказанной выше теореме имеется общий предел:lim ak = lim bk = a.k→∞k→∞(29)Покажем, что a и есть предел последовательности (27). Пусть заданоположительное число ε.
В силу (29) существует такое целое положительное l, что промежуток (al , bl ) и все следующие промежутки лежатвнутри промежутка (a − ǫ, a + ε).Отсюда следует, что и все числа xs при s > Nl принадлежат этому жепромежутку, т. е. |a − xs | < ε при s > Nl . Ввиду произвольности ε мы видим, что a есть предел последовательности (27), и достаточность условия(28) доказана. Н е о б х о д и м о с т ь этого условия была доказана намираньше [31]. Доказательство остается в силе и для не пронумерованнойпеременной.43. Свойства непрерывных функций. Переходя к доказательству формулированных раньше [35] свойств непрерывных функций, начнем с доказательства вспомогательной теоремы.Т е о р е м а I. Если f (x) непрерывна в промежутке (a, b) и заданокакое-нибудь положительное число ε, то этот промежуток можнотаким образом разбить на конечное число новых промежутков, что|f (x2 ) − f (x1 )| < ε, если только x1 и x2 принадлежат одному и томуже новому промежутку.Будем доказывать от обратного.
Предположим, что теорема несправедлива и придем к нелепости. Итак, пусть невозможно разбить (a, b)на части указанным образом.наш Делим промежуток средней точкойa+bи,b. Если бы теорема была спрана два промежутка: a, a+b22ведлива для каждого из этих двух промежутков, то она, очевидно, былабы справедлива и для всего промежутка (a, b). Итак, мы должны считать, что по крайней мере один из двух полученных промежутков нельзя122Гл. I.
Функциональная зависимость и теория пределов[43разбить на части указанным в теореме образом. Берем ту половину промежутка, для которой теорема не выполняется, и делим его опять надве равные части. Как и выше, по крайней мере для одной из новых половинок теорема не выполняется. Берем эту половинку, делим ее опятьпополам и т. д. Таким образом, мы получаем последовательность промежутков.(a, b), (a1 , b1 ), (a2 , b2 ), . . . , (an , bn ), . . . ,из которых каждый следующий есть половина предыдущего, так что, стремится к нулю при возрастании n.длина (bn − an ), равная b−a2nКроме того, для всякого промежутка (an , bn ) теорема не выполняется,т.
е. нельзя никакой (an , bn ) разбить на новые промежутки так, чтобы|f (x2 ) − f (x1 )| < ε, если только x1 и x2 принадлежат одному и тому женовому промежутку. Покажем, что это нелепо.По теореме из [42] an и bn имеют общий предел:lim an = lim bn = α,(30)причем этот предел, как и все числа an и bn , принадлежит промежутку (a, b). Положим сначала, что α — внутри (a, b). По условию, f (x)непрерывна при x = α, и, следовательно [34], при заданном в теореме εсуществует такое η, что для всех x из промежутка (α − η, α + η) выполняется неравенствоε(31)|f (α) − f (x)| < .2Если x1 и x2 — два любых значения из промежутка (α − η, α + η), то мыимеемf (x2 ) − f (x1 ) = f (x2 ) − f (α) + f (α) − f (x1 ),откуда|f (x2 ) − f (x1 )| 6 |f (x2 ) − f (α)| + |f (α) − f (x1 )|,и, в силу (31),т.
е.|f (x2 ) − f (x1 )| <εε+ ,22|f (x2 ) − f (x1 )| < ε(32)для любых x1 и x2 из промежутка (α − η, α + η). Но, в силу (30),будет существовать промежуток (al , bl ) принадлежащий промежутку(α−η, α+η). Поэтому неравенство (32) и подавно будет выполняться длялюбых x1 и x2 из этого промежутка (al , bl ), т.
е. для промежутка (al , bl )теорема выполняется даже без всякого его подразделения на части. Этопротиворечит тому, что, как мы видели выше, для всякого промежутка43]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции123(an , bn ) теорема не выполняется. Таким образом, теорема доказана, еслиα — внутри промежутка (a, b). Если α совпадает, например, с левымконцом промежутка, т. е. α = a, то доказательство будет таким же, новместо промежутка (α−η, α+η) надо будет взять промежуток (α, α+η).Перейдем теперь к доказательству третьего свойства из [35].Т е о р е м а II.
Если f (x) непрерывна в промежутке (a, b), тоона равномерно непрерывна в этом промежутке, т. е. при любом заданном положительном ε существует такое положительное η, что|f (x′′ ) − f (x′ )| < ε для любых значений x′ и x′′ из (a, b), удовлетворяющих неравенству |x′′ − x′ | < η.В силу теоремы I мы можем подразделить (a, b) на конечное числоновых промежутков так, чтобы |f (x2 ) − f (x1 )| < 2ε , если только x1 и x2принадлежат одному и тому же новому промежутку. Пусть η — длина самого короткого из новых промежутков. Покажем, что именно при этомчисле η наша теорема выполняется. Действительно, если x′ и x′′ — двазначения из (a, b) удовлетворяющих неравенству |x′′ − x′ | < η, то или x′и x′′ принадлежат одному и тому же новому промежутку, или они находятся в двух прилегающих друг к другу новых промежутках. В первомслучае, по построению новых промежутков, имеем: |f (x′′ ) − f (x′ )| < 2ε ,а потому и подавно |f (x′′ ) − f (x′ )| < ε.
Переходя ко второму случаю,обозначим через γ точку, в которой соприкасаются те два прилегающихдруг к другу промежутка, к которым принадлежат x′ и x′′ . В данномслучае мы можем написатьf (x′′ ) − f (x′ ) = f (x′′ ) − f (γ) + f (γ) − f (x′ ),т. е.Но|f (x′′ ) − f (x′ )| 6 |f (x′′ ) − f (γ)| + |f (γ) − f (x′ )|.(33)εεи |f (γ) − f (x′ )| < ,(34)22′′′так как точки x и γ, а также γ и x находятся в одном и том же новомпромежутке.
Неравенства (33) и (34) дают нам |f (x′′ ) − f (x′ )| < ε, итеорема доказана.Теорема I приводит нас также к такому следствию:С л е д с т в и е. Функция, непрерывная в промежутке (a, b), ограничена сверху и снизу, т. е. просто ограничена в этом промежутке.Иными словами, существует такое число M , что для всех значений xиз (a, b) выполняется неравенство |f (x)| < M . Действительно, возьмемнекоторое определенное ε0 > 0, и пусть n0 — число тех новых промежутков, на которые надо разбить (a, b), чтобы удовлетворить теореме I при|f (x′′ ) − f (γ)| <124Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[43взятом значении ε = ε0 . Для любых двух точек, принадлежащих одномуи тому же новому промежутку, мы имеем |f (x2 ) − f (x1 )| < ε0 . Отсюда непосредственно следует, что для любого x из промежутка (a, b) мыимеем |f (x) − f (a)| < n0 ε0 , т.
е. все значения f (x) заключаются междуf (a) − n0 ε0 и f (a) + n0 ε0 .Поскольку совокупность всех значений f (x) в промежутке (a, b) ограничена сверху и снизу, она имеет точную верхнюю границу и точнуюнижнюю границу [42]. Обозначим первую через β, а вторую через α.Докажем теперь первое свойство из [35].Т е о р е м а III. Непрерывная в промежутке (a, b) функция достигает в этом промежутке своего наибольшего и наименьшего значения.Нам надо доказать, что в промежутке (a, b) существует такое значение x, при котором f (x) равно β, и такое значение x, при котором f (x)равно α. Ограничимся доказательством первого утверждения и будемдоказывать от обратного. Положим, что f (x) ни при каком x из (a, b) неравно β (следовательно, всегда меньше β). Составим новую функциюϕ(x) =1− f (x).βПоскольку знаменатель не обращается в нуль, новая функция такжебудет непрерывной в промежутке (a, b) [34].
С другой стороны, из определения точной верхней границы следует, что при произвольном ε > 0существуют для a 6 x 6 b значения f (x), лежащие между (β − ε) иβ. При этом: 0 < β − f (x) < ε и ϕ(x) > 1ε . Поскольку ε можно братьпроизвольно малым, мы видим, что непрерывная в промежутке (a, b)функция ϕ(x) не ограничена сверху, что противоречит указанному выше следствию теоремы I.Докажем, наконец, второе свойство из [35]. Пусть f (x) непрерывна в(a, b) и k — некоторое число, лежащее между f (a) и f (b). Для определенности положим, что f (a) < k < f (b). Составим новую функциюE(x) = f (x) − k,непрерывную в промежутке (a, b). Ее значения на концах промежуткабудутF (a) = f (a) − k < 0, F (b) = f (b) − k > 0,т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
