1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 22
Текст из файла (страница 22)
значения F (x) на концах промежутка — разных знаков. Если мы докажем, что внутри (a, b) есть такое значение x0 , при котором F (x0 ) = 0,то при этом f (x0 ) − k = 0, т. е. f (x0 ) = k, и второе свойство будет доказано. Итак, достаточно доказать следующую теорему:44]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции125Т е о р е м а IV. Если f (x) непрерывна в промежутке (a, b), а f (a)и f (b) разных знаков, то внутри промежутка существует по крайнеймере одно такое значение x0 , при котором f (x0 ) = 0.Доказываем от обратного, как и теорему III. Пусть f (x) нигде в промежутке (a, b) не обращается в нуль.
При этом новая функцияϕ(x) =1f (x)(35)будет также непрерывной в промежутке (a, b) [34]. Пусть задано какоенибудь ε > 0. В силу теоремы I мы можем расставить внутри промежутка(a, b) конечное число точек так, что, причисляя к этим точкам еще концы промежутка, мы будем иметь разность значений f (x) в любых двухсоседних расставленных точках, по абсолютной величине меньшую, чемε.
Принимая во внимание, что f (a) и f (b) разных знаков, мы можемутверждать, что найдутся такие две соседние из вышеупомянутых точекξ1 и ξ2 , в которых f (x) разных знаков. Итак, с одной стороны, f (ξ1 ) иf (ξ2 ) разных знаков и, с другой стороны, |f (ξ2 ) − f (ξ1 )| < ε. Но если удвух вещественных чисел разных знаков абсолютное значение разностименьше ε, то каждое из этих чисел по абсолютному значению меньше ε,т. е. например, |f (ξ1 )| < ε. Но тогда, в силу (35), |ϕ(ξ1 )| > 1ε , и ввиду того, что ε можно брать произвольно малым, мы видим, что непрерывнаяв промежутке (a, b) функция ϕ(x) — не ограничена в этом промежутке,что нелепо. Теорема, таким образом, доказана.44. Непрерывность элементарных функций. Мы показалираньше непрерывность многочлена и рациональной функции [34].
Рассмотрим теперь показательную функциюy = ax(a > 0),(36)причем для определенности будем считать a > 1. Эта функция вполнеопределена при всех рациональных положительных значениях x. Дляотрицательных x она определяется формулой:ax =1,a−x(37)и, кроме того, a0 = 1. Таким образом, она определена при всех рациональных x. Из алгебры известны также правила сложения и вычитанияпоказателей при умножении и делении.126Гл.
I. Функциональная зависимость и теория пределовЕсли x есть положительное рациональное числоax =√qp,q[44тоap ,где радикал считается арифметическим. Очевидно, что ap > 1, и из определения корня вытекает, что ax > 1 при x > 0 (применить определенияиз [41]). Из (37) вытекает, что 0 < ax < 1 при x < 0. Покажем, теперь,что ax2 > ax1 , если x2 > x1 , т. е.
что ax — возрастающая функция. Действительно,ax2 − ax1 = ax1 (ax2 −x1 − 1),причем x2 − x1 > 0, и, следовательно, оба сомножителя справа положительны. Покажем еще, что ax → 1, если x → 0, принимая рациональныезначения. Положим сначала, что x → 0 через все рациональные значения, убывая (справа). При этом ax убывает, но остается больше единицы, и, следовательно, имеет предел, который мы обозначим через l. Приупомянутом выше изменении x переменная 2x также стремится справак нулю по всем рациональным значениям.
Мы имеем, очевидно,a2x = (ax )2 ,и, переходя к пределу, получимl = l2илиl(l − 1) = 0,т. е. l = 1 или l = 0. Но вторая возможность отпадает ввиду ax > 1. Итак,ax → 1, если x → 0 справа. Из (37) вытекает, что тот же предел будет итогда, когда x → 0 слева. Итак, вообще: ax → 1, если x → 0, принимаярациональные значения. Отсюда вытекает непосредственно, что если x,принимая рациональные значения, стремится к рациональному пределуb, то ax → ab . Действительно,ax − ab = ab (ax−b − 1).Разность (x − b) стремится к нулю и (ax−b − 1), по доказанному, такжестремится к нулю.Определим теперь функцию (36) при иррациональных x.
Пусть α —некоторое иррациональное число, а I (α) и II (α) — первый и второй классы сечения в области рациональных чисел, определяющих α. Положим,что x → α, возрастая и проходя через все рациональные числа из I (α).Переменная ax возрастает, но остается ограниченной, а именно она мень′′ше, чем ax , где x′′ — любое число из II (α). Таким образом, при упомянутом изменении x переменная ax имеет предел, который мы пока44]§ 2. Теория пределов.
Непрерывные функции127обозначим через L. Точно так же, если x → α, убывая и пробегая рациональные числа из II (α), то ax также имеет предел. Покажем, что этотпредел также равен L. Пусть x′ — из I (α) и x′′ — из II (α). Мы имеем′′′′ax − ax = ax (ax′′−x′− 1) < L(ax′′−x′− 1),т. е.′′′′′′0 < ax − ax < L(ax′′′′−x′− 1).′Для x и x , близких к α, разность (x − x ) сколько угодно близка кнулю и, в силу написанного неравенства, то же можно сказать и о разно′′′сти (ax − ax ), откуда и вытекает наше утверждение о совпадении пределов. Мы принимаем по определению aα равным упомянутому пределуL, т. е.
aα есть предел, к которому стремится ax , когда x → α черезрациональные значения. Теперь функция (36) определена при всех вещественных x. На основании сказанного выше легко доказать, что это будетвозрастающая функция, т. е. ax2 > ax1 , если x1 и x2 — любые вещественные числа, удовлетворяющие неравенству x2 > x1 . При доказательственадо рассмотреть отдельно случаи, когда x1 и x2 — оба иррациональныили одно из них рационально. Остается еще доказать, что эта функциябудет непрерывна при всяком вещественном x. Сначала надо показать,что ax → 1 при x → 0, причем считаются допустимыми все вещественныезначения x.
Это можно показать совершенно так же, как выше это былосделано для рациональных x. Далее, как и выше, пользуясь формулойax − aα = aα (ax−α − 1),мы можем показать, что ax → aα при x → α, что и дает непрерывностьax при любом вещественном x.Нетрудно проверить, что все основные свойства показательной функции справедливы при любых вещественных показателях. Пусть, например, α и β — два иррациональных числа и пусть x → α и y → β, причемпеременные x и y, меняясь, одновременно принимают рациональные значения. Для рациональных показателей мы имеемax ay = ax+y .Переходя к пределу и пользуясь доказанной непрерывностью показательной функции, получим то же свойство для иррациональных показателей:aα aβ = aα+β .128Гл.
I. Функциональная зависимость и теория пределов[44Докажем еще правило перемножения показателей при возвышениистепени в степень:(aα )β = aαβ .Если β = n есть целое положительное, то написанная формула непосредственно вытекает из правила сложения показателей при умножении.Если β = pq есть рациональное положительное число, тоp(aα ) q =pq(aα )p =pqp(aα )p = aα q .Для рациональных отрицательных чисел указанное правило непосредственно вытекает из формулы (37).
Положим теперь, что β иррационально, и пусть рациональные числа r стремятся к β. Мы имеем, подоказанному выше,(aα )r = aαr .Переходя к пределу и пользуясь непрерывностью показательнойфункции, причем слева принимаем aα за основание, мы и получим(aα )β = aαβ .Прежде чем переходить к логарифмической функции, сделаем некоторые замечания об обратных функциях, о чем мы уже говорили коротково введении [20]. Если y = f (x) — возрастающая непрерывная функцияв промежутке (a, b), причем f (a) = A и f (b) = B, то, в силу второгосвойства непрерывных функций, при возрастании x от a до b через всевещественные значения f (x) будет возрастать от A до B, проходя через все промежуточные значения. Таким образом, всякому, значению yиз промежутка (A, B) будет соответствовать определенное x из (a, b),и обратная функция x = ϕ(y) будет однозначной и возрастающей.
Если x = x0 находится внутри (a, b), y0 = f (x0 ) и x пробегает малыйпромежуток (x0 − ε, x0 + ε), то y будет пробегать некоторый промежуток (y0 − η1 , y0 + η2 ). Обозначая через δ наименьшее из двух положительных чисел η1 и η2 , мы можем утверждать, что если y принадлежитпромежутку (y0 − δ, y0 + δ), составляющему лишь часть промежутка(y0 − η1 , y0 + η2 ), то соответствующие значения x тем более принадлежат прежнему промежутку (x0 − ε, x0 + ε), т. е.
|ϕ(y) − ϕ(y0 )| < ε, еслитолько |y − y0 | < δ. Ввиду произвольности ε это дает нам непрерывностьфункции x = ϕ(y) в точке y = y0 . Если x0 совпадает, например, с концомa, то в предыдущих рассуждениях вместо (x0 − ǫ, x0 + ε) надо взять промежуток (x0 , x0 + ε). Аналогично можно разобрать случай убывающейнепрерывной функции f (x).44]§ 2. Теория пределов.
Непрерывные функции129Вернемся к функции (36). Раз a > 1, то a = 1+b, где b > 0, и формулабинома Ньютона дает при целом положительном n > 1:an = (1 + b)n > 1 + nb,∗откуда видно, что ax беспредельно возрастает при беспредельном возрастании x. Далее, из (37) следует, что ax → 0 при x → −∞. Принимая вовнимание сказанное выше об обратных функциях, можем утверждать,что функцияx = loga y,(38)обратная (36), будет однозначной, возрастающей непрерывной функциейпри y > 0. Такие же результаты получаются и для случая 0 < a < 1, нотолько функции (36) и (38) будут убывающими.Введем теперь новое понятие о сложной функции.
Пусть y = f (x)есть функция, непрерывная в промежутке a 6 x 6 b, причем ее значенияпринадлежат промежутку (c, d). Пусть, далее, z = F (y) есть функция,непрерывная в промежутке c 6 y 6 d. Понимая под y указанную вышефункцию от x, мы получим сложную функцию от x:z = F (y) = F (f (x)).Говорят, что эта функция зависит от x через посредство y. Она определена в промежутке a 6 x 6 b. Нетрудно видеть, что она будет и непрерывной в этом промежутке. Действительно, бесконечно малому приращению x соответствует бесконечно малое приращение y в силу непрерывности f (x), а бесконечно малому приращению y соответствует бесконечномалое приращение z в силу непрерывности F (y).Рассмотрим теперь степенную функциюz = xb(39)с любым вещественным показателем b, причем переменную x мы считаем положительной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
