1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

После заполнения таких пустых точек иррациональными абсциссами всякое рассечение прямой происходит уже в точке с некоторой вещественной абсциссой. Все это является лишь геометрической иллюстрацией и не имеет доказательной силы. Нетрудно, пользуясь данным определением иррационального числа α, образовать бесконечную десятичнуюдробь, соответствующую этому числу [2]. Всякий конечный отрезок этойдроби должен принадлежать I (α), но если мы увеличим на единицу последнюю цифру этого отрезка, то соответствующее рациональное числодолжно находиться в II (α).41.

Действия над вещественными числами. Теория иррациональных чисел, кроме данных выше определений и основной теоремы,содержит еще определение действий над иррациональными числами иисследование свойств этих действий. При определении действий мы будем руководствоваться сечениями в области рациональных чисел, и, поскольку эти сечения определяют не только иррациональные, но и рациональные числа (сечения первого рода), определение действий будет годиться вообще для всех вещественных чисел, причем для рациональныхчисел они будут совпадать с известными. При изложении настоящегономера мы ограничимся только общими указаниями.Сделаем предварительно одно замечание. Пусть α — некоторое вещественное число.

Возьмем какое-нибудь (малое) рациональное положительное число r, затем рациональное a из I (α) и составим арифметическую прогрессиюa, a + r, a + 2r, . . . , a + nr, . . .При больших n числа (a+nr) попадут в II(α), и, следовательно, будетсуществовать такое целое положительное k, что [a+(k−1)r] принадлежитI(α) и (a + kr) принадлежит II(α), т. е.:Замечание: В любом сечении рациональных чисел существуют в разных классах числа, отличающиеся на любое заданное положительноерациональное число r, как бы мало оно ни было.Перейдем теперь к определению сложения. Пусть α и β — два вещественных числа.

Пусть a — любое число из I (α), a′ — из II (α), b — изI (β) и b′ — из II (β). Составим всевозможные суммы (a + b) и (a′ + b′ ).Во всяком случае имеем: a + b < a′ + b′ . Составим новое сечение рациональных чисел, относя ко второму классу все рациональные числа,бо́льшие всех (a + b), и относя к первому классу все остальные рациональные числа. При этом любое число первого класса меньше любогочисла, второго класса, все числа (a + b) отходят в первый класс и все41]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции117числа (a′ + b′ ) — во второй класс.

Составленное новое сечение определитнекоторое вещественное число, которое мы и назовем суммой (α + β).Это число, очевидно, больше или равно всем (a + b) и меньше или равно всем (a′ + b′ ). Принимая во внимание, что, в силу сделанного вышезамечания, числа a и a′ , а также b и b′ могут отличаться друг от другана любое малое положительное рациональное число, нетрудно показать,что может существовать только одно число, удовлетворяющее указанным выше неравенствам.

Непосредственно проверяется, что сложениеудовлетворяет обычным законам, известным для рациональных чиселα + β = β + α, (α + β) + γ = α + (β + γ), α + 0 = α.Например, чтобы получить (β +α), нам надо будет составлять вместосумм (a + b) и (a′ + b′ ) суммы (b + a) и (b′ + a′ ), но эти суммы совпадаютс прежними, так как переместительный закон сложения для рациональных чисел известен.Пусть α — некоторое вещественное число. Определим число (−α) следующим сечением: в первый класс относим все рациональные числа изкласса II(α) с измененным знаком, а во второй класс — все числа из I(α) сизмененным знаком.

Таким образом, получится действительно сечение вобласти рациональных чисел, и для числа (−α) как нетрудно проверить,имеем−(−α) = α, α + (−α) = 0.Нетрудно видеть, что если α > 0, то (−α) < 0, и наоборот. Назовемабсолютным значением числа α, отличного от нуля, то из двух чиселα и (−α), которое больше нуля. Обозначим, как и раньше, абсолютноезначение числа α символом |α|.Переходим теперь к умножению. Пусть α и β — два положительныхвещественных числа, т. е.

α > 0 и β. Пусть a — любое положительноечисло из I (α), b — любое положительное число из I (β), a′ и b′ — любыечисла из II (α) и II (β) (они уже обязательно положительны). Составляем новое сечение, относя, ко второму классу все рациональные числа,бо́льшие всех произведений ab, и к первому классу — остальные рациональные числа. Все ab попадут в первый класс и все a′ b′ — во второйкласс. Hовое сечение определит некоторое вещественное число, котороемы и назовем произведением αβ.

Это число больше или равно всем ab ине превосходит всех a′ b′ , и только одно это вещественное число удовлетворяет этим неравенствам.Если одно из чисел α, β или оба — отрицательны, то мы приводимумножение к предыдущему случаю, вводя в определение умножения118Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[41обычное правило знаков, т. е. мы полагаем αβ = ±|α||β|, причем беремзнак (+), если числа α и β оба меньше нуля, и берем знак (−), если одноиз чисел больше нуля, а другое меньше нуля.При умножении на нуль принимаем определение, что α · 0 = 0 · α = 0.Непосредственно проверяются основные законы умножения:αβ = βα, (αβ)γ = α(βγ), a(β + γ) = αβ + αγ,и произведение нескольких сомножителей может равняться нулю в томи только в том случае, если хоть один из сомножителей равен нулю.Вычитание определяется как действие, обратное сложению, т.

е. α −β = x равносильно x + β = α. Добавляя к обеим частям этого равенства(−β), получим, в силу упомянутых выше свойств сложения: x = α+(−β),т. е. разность должна обязательно определяться по этой формуле, и действие вычитания сводится к сложению. Остается проверить, что полученное выражение для x действительно удовлетворяет условию x + β = α,но это непосредственно вытекает из свойств сложения. Отметим справедливость обычного свойства: неравенство α > β равносильно α − β > 0.Прежде чем переходить к делению, определим число, обратное данному.Если a есть рациональное число, отличное от нуля, то обратным называют число a1 . Пусть α — вещественное число, отличное от нуля. Пустьсначала α > 0, и пусть a′ — любое число из II (α) (оно — рациональнои положительно).

Определим число, обратное α, следующим сечением:к первому классу отнесем все отрицательные числа, нуль и числа a1′ ,а ко второму классу — остальные числа. Пусть некоторое положительное число c1 принадлежит первому классу нового сечения. Это значит,что c1 = a1′ , где a′1 — из II (α). Возьмем любое положительное рацио1нальное число c2 < c1 . Его можно представить в виде c2 =a′2a′1 ,a′21,a′2где a′2 —рационально и>т. е.также принадлежит II (α). Иначе говоря, если некоторое положительное число принадлежит первому классунового сечения, то всякое меньшее рациональное положительное числотакже принадлежит этому первому классу. Туда же входят по условиювсе отрицательные числа и нуль.

Отсюда видно, что сечение, определяющее число, обратное α, произведено нами с соблюдением того основногоусловия, что любое число второго класса больше любого числа первогокласса. Это число, обратное α, обозначим символом α1 .1Если α < 0, то мы определим обратное число формулой α1 = − |α|.1Пользуясь определением умножения, получим α · α = 1.Переходим теперь к делению.

Это есть действие, обратное умножению, т. е. α : β = x равносильно xβ = α, и, как при вычитании, нетрудно42]§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции119показать, что если β 6= 0, то получается единственное частное: x = α · β1 ,и, таким образом, деление сводится к умножению. Деление на нуль невозможно.Возведение в целую положительную степень сводится к умножению.Извлечение корня определяется как действие, обратное возведению в степень.

Пусть α — вещественное положительное число и n — некоторое целое, большее единицы. Произведем следующее сечение рациональных чисел: к первому классу отнесем все отрицательные числа, нуль и все положительные числа, n-е степени которых меньше α, а ко второму классу —остальные числа. Пользуясь определением умножения, нетрудно показать, что положительное число β, определяемое этим сечением, удовлетворяет условию: β n = α, т. е. β является арифметическим значением√корня n α. Если n — четное, то вторым значением будет (−β).

Аналогично определяется корень нечетной степени из вещественного отрицательного числа (один ответ). Более подробно о показательной функциибудет сказано потом. Отметим еще следующий важный результат: разсправедливы основные законы действий, то тем самым будут справедливы и все правила и тождества алгебры, если под буквами разуметьвещественные числа.42. Точные границы числовых множеств. Признаки существования предела.

Докажем теперь теорему о точных границах множествавещественных чисел, которую мы формулировали в [39].Т е о р е м а. Если множество E вещественных чисел ограниченосверху, то оно имеет точную верхнюю границу, и если E ограниченоснизу, то оно имеет точную нижнюю границу.Ограничимся доказательством первой части теоремы. По условию всечисла из E меньше некоторого числа M . Произведем сечение вещественных чисел следующим образом: ко второму классу отнесем все числа,большие всех чисел из E, а к первому — остальные вещественные числа.Во второй класс попадут, например, все числа (M + p), где p > 0, а впервый класс попадут, например, все числа из E.

Пусть β — вещественное число, определенное произведенным сечением. По основной теореме[40] оно будет наибольшим в первом классе или наименьшим во втором.Покажем, что β и есть точная верхняя граница E. Во-первых, среди Eнет чисел, бо́льших β, ибо, все числа E попали в первый класс. Далее,наверно существуют числа E, бо́льшие ǫ) при любом ε > 0, ибо если (β −бы таких чисел не было, то число β − ε2 было бы больше всех чиселE и должно было бы попасть во второй класс, а в действительности оно120Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов[42меньше β и находится в первом классе. Теорема, таким образом, доказана.

Характеристики

Список файлов книги