1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 26
Текст из файла (страница 26)
54.ного.* Это означает, что все рассмотрения проводятся для фиксированной точки x.150Понятие о производной и его приложения[50Чтобы выяснить разницу между этими понятиями, обратимсяк графику функции. Возьмем на нем некоторую точку M (x, y) идругую точку N . Проведем касательную M T , ординаты, соответствующие точкам M и N , и прямую M P параллельно OX (рис. 54).Мы будем иметьM P = M1 N1 = ∆xP N = ∆y(или dx),(приращение y),tg ∠P M Q = f ′ (x),отсюдаdy = f ′ (x)dx = M P tg ∠P M Q = P Q.Дифференциал функции изображается отрезком P Q, не совпадающим с отрезком P N , который изображает приращение функции. Отрезок P Q изображает то приращение, которое получилосьбы, если бы в промежутке (x, x + dx) мы заменили отрезок M Nкривой отрезком M Q касательной, т. е.
если бы мы считали, что вэтом промежутке приращение функции пропорционально приращению независимой переменной, и коэффициент пропорциональностивзяли бы равным угловому коэффициенту касательной M T , или,что то же, равным производной f ′ (x).Разность между дифференциалом и приращением изображается отрезком N Q. Покажем, что если N Q стремится к нулю, торазность эта есть величина бесконечно малая высшего порядка посравнению с ∆x [36].∆yв пределе дает производную, а потому [27]Отношение ∆x∆y= f ′ (x) + ε,∆xгде ε есть величина бесконечно малая одновременно с ∆x. Из этогоравенства получим∆y = f ′ (x)∆x + ε∆xили∆y = dy + ε∆x,50]§ 3.
Производная и дифференциал первого порядка151откуда видно, что разность между dy и ∆y равна (−ε∆x). Но отношение (−ε∆x) к ∆x, равное (−ε), стремится к нулю вместе с ∆x,т. е. разность между dy и ∆y есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению с ∆x. Заметим, что знак этой разностиможет быть любым. На нашем чертеже и ∆x и эта разность имеютзнак (+). *Формула (6) дает правило нахождения дифференциала функции. Применим его к некоторым частным случаям.I. Если c есть постоянная, тоdc = (c)′ dx = 0 · dx = 0,т.
е. дифференциал постоянной равен нулю.II.d[cu(x)] = [cu(x)]′ dx = cu′ (x)dx = c du(x),т. е. постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала.III. d[u(x) + v(x) + w(x)] = [u(x) + v(x) + w(x)]′ dx == [u′ (x) + v ′ (x) + w′ (x)]dx = u′ (x)dx + v ′ (x)dx + w′ (x)dx == du(x) + dv(x) + dw(x),т. е. дифференциал суммы равен сумме дифференциалов слагаемых.IV. d[u(x)v(x)w(x)] = [u(x)v(x)w(x)]′ dx == v(x)w(x)u′ (x)dx + u(x)w(x)v ′ (x)dx + u(x)v(x)w′ (x)dx == v(x)w(x)du(x) + u(x)w(x)dv(x) + u(x)v(x)dw(x),т. е. дифференциал произведения равен сумме произведений дифференциалов каждого из сомножителей на все остальные сомножители.Мы ограничились случаем трех сомножителей. Тот же выводгодится и для любого конечного числа сомножителей.* Можно говорить, что дифференциал есть линейная по ∆x часть приращения функции.152Понятие о производной и его приложенияV.
d[50u(x) h u(x) i′v(x)u′ (x)dx − u(x)v ′ (x)dx=dx ==v(x)v(x)[v(x)]2v(x)du(x) − u(x)dv(x)=,[v(x)]2т. е. дифференциал частного (дроби) равен произведению дифференциала числителя на знаменатель минус произведение дифференциала знаменателя на числитель, все деленное на квадрат знаменателя.VI. Рассмотрим сложную функцию y = f (u), где u есть функцияот x. Определим dy, предполагая y зависящим от x:dy = yx′ dx = f ′ (u) · u′x dx = f ′ (u)du,т.
е. дифференциал сложной функции имеет тот же вид, какой онимел бы в том случае, если бы вспомогательная функция и быланезависимой переменной. *Рассмотрим численный пример для сравнения величины приращенияфункции с ее дифференциалом. Возьмем функциюy = f (x) = x3 + 2x2 + 4x + 10и рассмотрим ее приращениеf (2, 01) − f (2) = 2, 013 + 2 · 2, 012 + 4 · 2, 01 + 10 − (23 + 2 · 22 + 4 · 2 + 10).Производя все действия, получим для приращения величину∆y = f (2, 01) − f (2) = 0, 240801.Несравненно проще вычислить дифференциал функции. В данномслучае dx = 2, 01 − 2 = 0, 01 и дифференциалом функции будетdy = (3x2 + 4x + 4)dx = (3 · 22 + 4 · 2 + 4) · 0, 01 = 0, 24.Сравнивая dy и ∆y, видим, что они совпадают до третьего десятичногознака.*Всвязи с этим говорят об инвариантности первого дифференциала.51]§ 3.
Производная и дифференциал первого порядка15351. Некоторые дифференциальные уравнения. Мы показали,что, заменяя в промежутке (x, x + dx) приращение функции ее дифференциалом, мы применяем закон прямой пропорциональности между приращениями функции и независимой переменной с соответствующим коэффициентом пропорциональности, и что такая замена приводитк ошибке, которая является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с dx.
На этом основано применение анализа бесконечно малых кисследованию явлений природы.Наблюдая некоторый процесс, стараются разбить его на малые элементы, к каждому из которых, пользуясь его малостью, применяют закон прямой пропорциональности.
В пределе получают таким образомуравнение, представляющее собою соотношение между независимой переменной, функцией и их дифференциалами (или производной). Уравнение это называется дифференциальным уравнением, соответствующимрассматриваемому процессу. Задача нахождения самой функции по дифференциальному уравнению есть задача интегрирования дифференциального уравнения.Итак, при применении анализа бесконечно малых к изучению какоголибо закона природы, необходимо составить дифференциальное уравнение рассматриваемого закона природы и проинтегрировать его. Эта последняя задача обычно бывает гораздо труднее первой, и о ней мы будемговорить впоследствии. В дальнейших примерах выведем дифференциальные уравнения, соответствующие некоторым простейшим явлениямприроды.1. Барометрическая формула.
Давление атмосферы p, рассчитываемое на единицу площади, есть, очевидно, функция высоты h над поверхностью земли. Рассмотрим вертикальный цилиндрический столб воздухас площадью поперечного сечения, равной единице. Проведем два поперечных сечения A и A1 на высотах h и h + dh. При переходе от сечения Aк сечению A1 давление p уменьшится (если dh > 0) на величину, равнуювесу воздуха, который заключается в части цилиндра между A и A1 .Если dh мала, можем приближенно считать плотность ρ воздуха в этойчасти цилиндра постоянной.
Площадь основания столбика AA1 равнаединице, его высота dh и, следовательно, объем dh, а искомый вес ρ dh.Итак, уменьшение p (при dh > 0) равно ρ dh:dp = −ρ dh.Согласно закону Бойля—Мариотта, плотность ρ пропорционально давлению p:ρ = cp (c — постоянная),154Понятие о производной и его приложения[51и мы окончательно получаем дифференциальное уравнение:dp = −cp dhилиdp= −cp.dh2. Химические реакции первого порядка. Пусть некоторое вещество,масса которого есть a, вступает в химическую реакцию.
Обозначим буквой x ту часть этой массы, которая уже вступила в реакцию к моментувремени t, отсчитываемому от начала реакции. Очевидно, x есть функция от t. Для некоторых реакций можно приближенно считать, что количество вещества dx, вступившее в реакцию за промежуток времениот момента t до момента t + dt, при малом dt пропорционально dt иколичеству вещества, которое к моменту t оставалось не вступившим вреакцию:dx= c(a − x).dx = c(a − x)dt илиdtПреобразуем это дифференциальное уравнение, вводя вместо x новуюфункцию y = a − x, где y обозначает массу, которая остается не вступившей в реакцию к моменту времени t. Принимая во внимание, что a естьпостоянная, получимdxdy=− ,dtdtи дифференциальное уравнение химической реакции первого порядкаможет быть переписано в видеdy= −cy.dt3.
Закон охлаждения. Положим, что некоторое тело, нагретое до высокой температуры, помещается в среду, имеющую постоянную температуру 0◦ . При охлаждении тела его температура θ будет функцией времени t, которое мы будет отсчитывать от момента помещения тела в среду.Количество тепла dQ, отданного телом за промежуток времени dt, будемприближенно считать пропорциональным длительности dt этого промежутка и разности температур тела и среды к моменту времени t (законохлаждения Ньютона). Мы можем тогда написатьdQ = c1 θdt(c1 — постоянная).Обозначив буквой k теплоемкость тела, имеемdQ = −k dθ,51]§ 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
