1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Производная и дифференциал первого порядка155где мы пишем знак (−), так как dθ в рассматриваемом случае отрицательно (температура понижается). Сравнивая эти два выражения dQ,получимc1 dθили= −cθ;dθ = −cθdtc=kdtc есть величина постоянная, если мы будем считать теплоемкость k постоянной. Выведенные нами дифференциальные уравнения имеют одинаковую форму. Все они выражают то свойство, что производная пропорциональна самой функции с отрицательным коэффициентом пропорциональности (−c).В [38] мы показали, что при непрерывных процентах с основного капитала a через t лет образуется наращенный капитал aekt , где k — процентная такса, выраженная в сотых долях:y = aekt .(7)Вычисляя производную, получимy ′ = akekt = ky,(8)т. е. в этом случае мы получаем то же свойство пропорциональности производной и самой функции, благодаря чему свойство это называют законом сложных процентов.
Впоследствии мы покажем, что функция (7)дает все решения дифференцированного уравнения (8) при произвольном значении постоянной a, вместо которой будем писать C.Таким образом, решения наших уравнений могут быть представленыв виде (заменяя k на −c):p(h) = Ce−ch , y(t) = Ce−ct , θ(t) = Ce−ct ,(9)где C — постоянная. Определим теперь физическое значение постояннойc в каждой из предыдущих формул. Подставляя в первую из формулh = 0, получимC = p(0) = p0 ,где p0 есть, таким образом, давление атмосферы при h = 0, т. е. на поверхности земли. Вторая из формул при t = 0 даст намC = y(0),т. е.
C есть масса, не вступившая в реакцию в начальный момент времени,и ее мы раньше обозначали буквою a. Наконец, подставляя t = 0 в третью156Понятие о производной и его приложения[52из формул (9), убедимся также, что C есть начальная температура θ0тела в момент его помещения в среду. Итак, окончательно имеемp(h) = p0 e−ch , y(t) = ae−ct , θ(t) = θ0 e−ct .(10)52. Оценка погрешностей. При практическом определении илинеточном вычислении какой-либо величины x получается ошибка ∆x, которая называется абсолютной ошибкой или абсолютной погрешностьюнаблюдения или вычисления. Она не характеризует точности наблюдения.
Например, ошибка около 1 см при определении длины комнатыпрактически допустима, а такая же ошибка при определении расстояниидвух близких предметов (например, свечи от экрана фотометра) указывает на большую неточность измерения. Поэтому вводят еще понятие оботносительной погрешности, которая равна абсолютной величине от абсолютной погрешности к значению самой измеряемойношения ∆xx величины.Положим теперь, что некоторая величина y определяется из уравнения y = f (x). Ошибка ∆x при определении величины x повлечет засобой ошибку ∆y. При малых значениях ∆x можно заменить приближенно ∆y дифференциалом dy, так что относительная погрешность приопределении величины y выражается формулой dy .yП р и м е р ы.
1. Сила тока i определяется, как известно, по тангенсгальванометру из формулы:i = c tg ϕ.Пусть dϕ — ошибка при отсчете угла ϕ:cdi2=dϕ,dϕ =icos2 ϕ · c tg ϕsin 2ϕ при определении i будетоткуда видно, что относительная ошибка dii di =cdϕ,cos2 ϕтем меньше, чем ближе ϕ к 45◦ .2. Рассмотрим произведение uv:d(uv) = vdu + udv,dudvd(uv)=+,uvuv52]§ 3. Производная и дифференциал первого порядка157и, следовательно, d(uv) du dv 6 + ,uvuvт. е. относительная ошибка произведения не больше суммы относительных ошибок сомножителей.То же правило получаем и для частного, так какvdu − udvu=,2v vdu dudv du dv =−, uv 6 + .
v uvuvdd uvuv3. Рассмотрим формулу для площади круга:Q = πr 2 , dQ = 2πr dr,2πr drdrdQ==2 ,Qπr 2rт. е. относительная ошибка при определении площади круга по написанной выше формуле равна удвоенной относительной ошибке при определении радиуса.4. Положим, что определяется угол ϕ по логарифму его синуса итангенса. Согласно правилам дифференцирования имеемd(log10 sin ϕ) =откудаdϕ =cos ϕdϕdϕ, d(log10 tg ϕ) =,log 10 · sin ϕlog 10 · tg ϕ · cos2 ϕlog 10 · sin ϕd(log10 sin ϕ), dϕ = log 10 · sin ϕ cos ϕd(log10 tg ϕ). (11)cos ϕПредположим, что при определении log10 sin ϕ и log10 tg ϕ мы сделали одну и ту же ошибку (эта ошибка зависит от числа десятичных знаковв той таблице логарифмов, которой мы пользуемся). Первая из формул(11) даст для dϕ величину по абсолютному значению большую, чем вторая из формул (11), так как в первой формуле произведениеlog 10 · sin ϕделится, а во второй формуле умножается на cos ϕ, а cos ϕ < 1. Таким образом, при вычислении углов выгоднее пользоваться таблицей дляlog10 tg ϕ.158Гл.
II. Понятие о производной и его приложения[53§ 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫВЫСШИХ ПОРЯДКОВ53. Производные высших порядков. Производная f ′ (x)функции y = f (x) есть, как мы знаем, также функция от x. Дифференцируя ее, мы получаем новую функцию, которая называетсявторой производной, или производной второго порядка, первоначальной функции f (x) и обозначаются так:y ′′ ,илиf ′′ (x).Дифференцируя вторую производную, получаем производнуютретьего порядка, или третью производную:y ′′′ ,илиf ′′′ (x).Применяя таким образом, операцию дифференцирования, получим производную любого n-го порядка y (n) , или f (n) (x).Рассмотрим несколько примеров.1.
y = eax , y ′ = aeax , y ′′ = a2 eax , . . . , y (n) = an eax .2. y = (ax + b)k , y ′ = ak(ax + b)k−1 ,y ′′ = a2 k(k − 1)(ax + b)k−2 , . . . ,y (n) = an k(k − 1)(k − 2) . . . (k − n + 1)(ax + b)k−n .3. Мы знаем, чтоππ, (cos x) = − sin x = cos x +,(sin x)′ = cos x = sin x +22т. е. дифференцирование sin x и cos x приводится к прибавлениючисла π2 к аргументу, а потомуhπ ′π iπ π· x+= sin x + 2 ,(sin x)′′ = sin x += sin x + 22222и, вообще,π(sin x)(n) = sin x + n2πи (cos x)(n) = cos x + n .253]§4. Производные и дифференциалы высших порядков4. y = log(1 + x), y ′ =(n−1)!(1−)n+1 (1+x)n.11+x ,21, y ′′′ =y ′′ = − (1+x)1591·2(1+x)3 , . .
.y (n) =5. Рассмотрим сумму функцийy =u+v+wПрименяя правило дифференцирования суммы и считая, чтосоответствующие производные функции u, v и w существуют, получимy ′ = u′ + v ′ + w′ , y ′′ = u′′ + v ′′ + w′′ , . . . , y (n) = u(n) + v (n) + w(n) ,т. е. производная любого порядка от суммы равна сумме производных того же порядка. Например,y = x3 − 4x2 + 7x + 10; y ′ = 3x2 − 8x + 7, y ′′ = 6x − 8; y ′′′ = 6,y (4) = 0 и, вообще, y (n) = 0 при n > 3.Таким же путем можно показать, вообще, что производная n-гопорядка от многочлена m-й степени равна 0, если n > m.Рассмотрим теперь произведение двух функций y = uv. Применяя правила дифференцирования произведения и суммы, получимy ′ = u′ v + uv ′ ,y ′′ = u′′ v + u′ v ′ + u′ v ′ + uv ′′ = u′′ v + 2u′ v ′ + uv ′′ ,y ′′′ = u′′′ v + u′′ v ′ + 2u′′ v ′ + 2u′ v ′′ + u′ v ′′ + uv ′′′ == u′′′ v + 3u′′ v ′ + 3u′ v ′′ + uv ′′′ .Мы подмечаем следующий закон составления производных:чтобы составить производную n-го порядка от произведения uv,надо (u+v)n разложить по формуле бинома Ньютона и в полученном разложении заменить показатели степеней y u и v указателями порядка производных, причем нулевые степени (u0 = v 0 = 1),входящие в крайние члены разложения, заменить самими функциями.160Гл.
II. Понятие о производной и его приложения[53Правило это называется правилом Лейбница и символически егозаписывают в следующем виде:y (n) = (u + v)(n) .Докажем справедливость этого правила, пользуясь способом доказательства по индукции. Положим, что для n-й производной этоправило справедливо, т. е.n (n−1) ′ n(n − 1) (n−2) ′′uuv +v + ···+12!n(n − 1) . .
. (n − k + 1) (n−k) (k)uv + · · · + uv (n) . (1)+k!y (n) = (u + v)(n) = u(n) v +Чтобы получить y (n+1) , надо написанную сумму продифференцировать по x. При этом произведение u(n−k) v (k) в общем членесуммы, согласно правилу дифференцирования произведения, заменится суммой u(n−k+1) v (k) + u(n−k) v (k+1) . Но в символических обозначениях эту сумму можно написать в видеun−k v k (u + v).Действительно, раскрывая скобки и заменяя показатели степеней указателями порядка производных, мы и получим суммуu(n−k+1) v (k) + u(n−k) v (k+1) .
Мы видим, таким образом, что для получения y (n+1) надо каждое слагаемое в сумме (1), а потому и всюэту сумму, помножить символически на (u + v), и, следовательно,y (n+1) = (u + v)(n) · (u + v) = (u + v)(n+1) .Мы показали, что если правило Лейбница справедливо длянекоторого n, то оно справедливо и для (n+ 1). Но непосредственномы убедились, что оно справедливо для n = 1, 2 и 3, а следовательно, оно справедливо и для всех значений n.Рассмотрим в качестве примераy = ex (3x2 − 1)и найдем y (100) :54]§4. Производные и дифференциалы высших порядков161y (100) = (ex )(100) (3x2 − 1)+100 · 99 x (98)100 x (99)(e )(e )(3x2 − 1)′ +(3x2 − 1)′′ ++11·2100 · 99 · 98 x (97)(e )+(3x2 − 1)′′′ + · · · + ex (3x2 − 1)(100) .1·2·3Все производные многочлена второй степени, начиная с третьей, равны тождественно нулю и (ex )(n) = ex , вследствие чего мы получимy (100) = ex (3x2 − 1) + 100ex · 6x + 4950ex · 6 = ex (3x2 + 600x + 29 699).54. Механическое значение второй производной.
Рассмотрим прямолинейное движение точки:s = f (t),где, как всегда, t есть время и s — путь, отсчитываемый от определенной точки прямой. Дифференцируя один раз по t, получимскорость движения:v = f ′ (t).Составим вторую производную, которая представляет собою∆vпредел отношения ∆v∆t при стремлении ∆t к нулю. Отношение ∆tхарактеризует быстроту изменения скорости за промежуток времени ∆t и дает среднее ускорение за этот промежуток времени, апредел этого отношения при стремлении ∆t к нулю дает ускорениеw рассматриваемого движения в момент времени t:w = f ′′ (t).Положим, что f (t) есть многочлен второй степени:s = at2 + bt + c, v = 2at + b, w = 2a,т. е.
ускорение w постоянно и коэффициент a = 12 w. Подставляяt = 0, получим b = v0 , т. е. коэффициент b равен начальной скорости, и c = s0 , т. е. c равно расстоянию точки в момент времени t = 0от начала координат на прямой. Подставляя найденные значенияa, b и c в выражение для s, получим формулу для пути в равномерно ускоренном (w > 0) или равномерно замедленном (w < 0)движении:1s = wt2 + v0 t + s0 .2162Гл. II. Понятие о производной и его приложения[55Вообще, зная закон изменения пути, мы можем, два раза дифференцируя по t, определить ускорение w, а следовательно, и силуf , производящую движение, так как, согласно второму закону Ньютона, f = mw, где m — масса движущейся точки.Все сказанное годится лишь для прямолинейного движения.
Вслучае криволинейного движения, как доказывается в механике,f ′′ (t) дает лишь проекцию вектора ускорения на касательную ктраектории.Рассмотрим для примера случай гармонического колебательного движения точки M , когда рассмотрение s этой точки от некоторой определенной точки O на прямой, по которой движется точкаM , определяется по формуле: 2πt+ω ,s = a sinτгде a — амплитуда, τ — период колебания и ω — фаза суть величиныпостоянные. Определим, дифференцируя, скорость v и силу f :v= 2π 2π4π 2 m2πa4π 2 mcost+ω , f = mw = − 2 a sint+ω = − 2 s,τττττт .е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
