1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 29
Текст из файла (страница 29)
е.x3при x > 0.sin x > x −657]§ 5. Приложение к изучению функций1692. Точно так же можно доказать неравенствоx > log(1 + x) при x > 0.Составим разностьf (x) = x − log(1 + x),откуда1.1+xИз этого выражения видно, что при x > 0 и f ′ (x) > 0 т. е. f (x) возрастаетв промежутке (0, +∞), но f (0) = 0, и, следовательно,f ′ (x) = 1 −f (x) = x − log(1 + x) > 0 при x > 0,т.
е.x > log(1 + x) при x > 0.3. Рассмотрим уравнение Кеплера, о котором мы говорили в [31]:x = q sin x + a(0 < q < 1).Мы можем переписать его в видеf (x) = x − q sin x − a = 0.Составляя производную f ′ (x), получимf ′ (x) = 1 − q cos x.Принимая во внимание, что произведение q cos x по абсолютному значению меньше единицы, так как по условию q заключается между нулеми единицей, можем утверждать, что f ′ (x) > 0 при любом значении x,а потому f (x) возрастает в промежутке (−∞, +∞) и, следовательно, неможет обратиться более одного раза в нуль, т. е.
уравнение Кеплера неможет иметь более одного вещественного корня.Если постоянная a кратна π, т. е. a = kπ, где k — целое число, то,непосредственно подставляя x = kπ, получим f (kπ) = 0, и x = kπ будетединственным корнем уравнения Кеплера. Если a не кратно π, то можнонайти такое целое число k, чтоkπ < a < (k + 1)π.170Гл. II. Понятие о производной и его приложения[57Подставляя x = kπ и (k + 1)π, получимf (kπ) = kπ − a < 0,f (k + 1π) = (k + 1)π − a > 0.Но если f (kπ) и f (k + 1π) разных знаков, то f (x) должно обращаться внуль внутри промежутка (kπ, k + 1π) [35], т. е. внутри этого промежуткабудет находиться единственный корень уравнения Кеплера.4. Рассмотрим уравнениеf (x) = 3x5 − 25x3 + 60x + 15 = 0.Составим производную f ′ (x) и приравняем ее нулю:f ′ (x) = 15x4 − 75x2 + 60 = 15(x4 − 5x2 + 4) = 0.Решая это биквадратное уравнение, получим, что f ′ (x) обращается внуль приx = −2, −1, +1 и + 2.Таким образом, весь промежуток (−∞, +∞) мы можем разбить напять промежутков:(−∞, −2), (−2, −1), (−1, 1), (1, 2), (2, +∞),внутри которых f ′ (x) сохраняет уже неизменный знак, а потому f (x) меняется монотонно, т.
е. или возрастает или убывает, и не может поэтомувнутри каждого из этих промежутков иметь более одного корня. Еслина концах какого-либо из этих промежутков f (x) имеет разные знаки,то уравнение f (x) = 0 имеет внутри такого промежутка один корень,а если эти знаки одинаковые, то внутри соответствующего промежуткакорней нет. Таким образом, для определения числа корней уравненияостается определить знаки f (x) на концах каждого из пяти указанныхпромежутков.Для определения знака f (x) при x = ±∞ представим f (x) в виде601525f (x) = x5 3 − 2 + 4 + 5 .xxxПри стремлении x к (−∞), f (x) стремится к (−∞), ибо x5 при этомстремится к (−∞), а выражение, стоящее в круглых скобках, — к 3.
Точнотак же убедимся в том, что при стремлении x к (+∞) и f (x) стремится58]§ 5. Приложение к изучению функций171к (+∞). Подставляя значения x = −2, −1, 1 и 2, получим следующуютаблицу:xf (x)−∞−−2−−1−1+2++∞+Оказывается, что f (x) имеет разные знаки только на концах промежутка (−1, +1), и, следовательно, рассматриваемое уравнение имееттолько один вещественный корень, заключающийся внутри этого промежутка.Выше мы определили возрастание и убывание функции в промежутке.
Иногда говорят, что функция возрастает или убывает в точке x = x0 . Это значит следующее: функция возрастает при x = x0 ,если f (x) < f (x0 ) при x < x0 и f (x) > f (x0 ) при x > x0 , причем xсчитается достаточно близким к x0 . Аналогично определяется убывание функции в точке. Из понятия производной непосредственновытекает достаточное условие возрастания и убывания в точке x0 ,а именно, если f ′ (x0 ) > 0, то функция возрастает в точке x0 . Действительно, если, например, f ′ (x0 ) > 0, то отношениеf (x0 + h) − f (x0 ),hимеющее предел f ′ (x0 ), будет также положительным при всех h,достаточно малых по абсолютной величине, т.
е. числитель и знаменатель будут одинаковых знаков. Иначе говоря, будет: f (x0 +h)−f (x0 ) > 0 при h > 0 и f (x0 + h) − f (x0 ) < 0 при h < 0, что и даетвозрастание в точке x0 .58. Максимумы и минимумы функций. Обратимся вновьк рассмотрению графика некоторой функции f (x) (рис. 56).
Наэтом графике мы имеем последовательное чередование промежутков возрастания и убывания функции. Дуга AM1 соответствуетпромежутку возрастания. Следующая за ней дуга M1 M2 — промежутку убывания, следующая M2 M3 — опять промежутку возрастания и т. д. Те точки кривой, которые отделяют промежутки возрастания от промежутков убывания, являются вершинами кривой.Рассмотрим, например, вершину M1 . Ордината в этой вершинебольше всех ординат кривой, достаточно близких к рассматрива-172Гл. II. Понятие о производной и его приложенияРис.
56.[58емой и лежащих как слева, таки справа от нее. Говорят, что такой вершине соответствует максимум функции f (x).Это приводит к следующему общему аналитическому определению:функция f (x) достигает максимума в точке x = x1 , если ее значение f (x1 ) в этой точке больше всехее значений в ближайших точках,т. е. если приращение функцииf (x1 + h) − f (x1 ) < 0при всяких h как положительных, так и отрицательных, достаточно малых по абсолютному значению.*Обратимся к рассмотрению вершины M2 . В этой вершине, наоборот, ордината меньше всех соседних с ней ординат, лежащих какслева, так и справа, и говорят, что этой вершине соответствует минимум функции; аналитическое определение будет: функция f (x)достигает минимума в точке x = x2 , еслиf (x2 + h) − f (x2 ) > 0при всяких h, как положительных, так и отрицательных, достаточно малых по абсолютному значению.Из чертежа мы видим, что как в вершинах, соответствующих максимуму функции,так и в вершинах, соответствующих минимуму, касательная параллельна оси OX, т.
е. ееугловой коэффициент f ′ (x) равен нулю. Приэтом предполагается, конечно, что касательная и тем самым производная существуют.Но параллельность касательной оси OX моРис. 57.жет иметь место и не только в вершинах кривой. Так, например, на рис. 57 мы имеем точку кривой M , которая* Можно утверждать, что существует окрестность точки x , такая, что во1всех точках этой окрестности значения функции меньше, чем в точке x1 . Аналогично для понятия минимума.58]§ 5.
Приложение к изучению функций173не является вершиной и в которой все же касательная параллельнаоси OX.Положим, что f ′ (x) обращается в нуль при некотором значенииx = x0 , т. е. в соответствующем месте графика касательная параллельна оси OX. Исследуем знак f ′ (x) при значениях x, близких кx0 . Рассмотрим следующие три случая.I. При значениях x, меньших x0 и достаточно близких к x0 ,f ′ (x) положительна, а при значениях x, бо́льших x0 и достаточноблизких к x0 , f ′ (x) отрицательна, т. е., иными словами, f ′ (x) припереходе x через x0 переходит через нуль от положительных значений к отрицательным.В этом случае мы имеем слева от x = x0 промежуток возрастания и справа — промежуток убывания, т. е. значению x = x0соответствует вершина кривой, дающая максимум функции f (x)(рис. 56).II.
При значениях x, меньших x0 , f ′ (x) отрицательна, а при значениях x, бо́льших x0 , положительна, т. е. f ′ (x) при переходе черезнуль идет от отрицательных значений к положительным.В этом случае слева от x = x0 мы имеем промежуток убывания,а справа — промежуток возрастания, т. е. значению x = x0 соответствует вершина кривой, дающая минимум функции (рис. 56).III.
При значениях x как меньших, так и больших x0 , f ′ (x) имеетодин и тот же знак. Положим например, что это есть знак (+).В этом случае соответствующая точка графика лежит внутрипромежутка возрастания и вовсе не является вершиной (рис. 57).Сказанное приводит нас к следующему правилу нахождения техзначений x, при которых f (x) достигает максимума или минимума:1) нужно составить f ′ (x);2) найти те значения x, при которых f ′ (x) обращается в нуль,т.
е. решить уравнение f ′ (x) = 0;3) исследовать изменения знака f ′ (x) при переходе через этизначения по следующей схеме:xf ′ (x)x0 − h+−+−x00x0 + h−++−f (x)максимумминимумвозрастаетубывает174Гл. II. Понятие о производной и его приложения[58Обозначения x0 − h и x0 + h в приведенной таблице показывают, что нужно определить знаки функции f ′ (x) при значениях x,меньших и бо́льших x0 , но достаточно близких, так что h считаетсядостаточно малым положительным числом.При этом исследовании предполагается, что f ′ (x0 ) = 0, но привсех x, достаточно близких к x0 и отличных от x0 , f ′ (x) отличнаот нуля.Обратим еще внимание, что в случае рис. 57 касательная в точке M с абсциссою x0 находится по разные стороны от кривой вокрестности этой точки. В данном случае f ′ (x0 ) = 0 и f ′ (x) > 0при всех x, близких к x0 и отличных от x0 , и весь участок кривойс точкой x0 внутри дает промежуток возрастания, несмотря на то,что f ′ (x0 ) = 0.Иногда вместо указанного выше определения максимума даютнесколько другое, а именно: функция f (x) достигает максимумав точке x = x1 , если ее значение f (x1 ) в этой точке не меньшееее значений в ближайших точках, т.
е. если приращение функцииf (x1 + h) − f (x1 ) 6 0 при всяких h, как положительных, так и отрицательных, достаточно малых по абсолютной величине. Аналогично минимум в точке x2 можно определить неравенствомf (x2 + h) − f (x2 ) > 0. Если при этом определении функция имеет вточке максимума или минимума производную, то эта производнаядолжна, как и выше, обращаться в нуль.*Рассмотрим п р и м е р. Пусть требуется найти максимумы и минимумы функцииf (x) = (x − 1)2 (x − 2)3 .Составим первую производнуюf ′ (x) = 2(x − 1)(x − 2)3 + 3(x − 1)2 (x − 2)2 =7.= (x − 1)(x − 2)2 (5x − 7) = 5(x − 1)(x − 2)2 x −5Из последнего выражения видно, что f ′ (x) обращается в нуль при следующих значениях независимой переменной: x1 = 1, x2 = 75 и x3 = 2.* Условие равенства нулю производной является таким образом, необходимым условием экстремума (т.
е. максимума или минимума).58]§ 5. Приложение к изучению функций175Переходим к их исследованию.При x = 1 множитель (x − 2)2 имеетзнак плюс, множитель x − 75 — знак минус. При всех значениях x, какменьших, так и бо́льших единицы, но достаточно близких к единице, знаки этих множителей будут те же самые и, следовательно, произведениеэтих двух множителей имеет безусловный знак минус при всех значенияхx, достаточно близких к единице. Обратимся, наконец, к рассмотрениюпоследнего множителя (x − 1), который как раз обращается в нуль приx = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
