Главная » Просмотр файлов » 1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98

1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 28

Файл №824737 1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (Курс высшей математики. В 5-ти т. Т. 1 Смирнов В .И. 2008) 28 страница1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737) страница 282021-01-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

сила по величине пропорциональна длине отрезка OM и направлена в противоположную сторону. Иными словами, сила направлена всегда от точки M к точке O и пропорциональна удалению точки M от точки O.55. Дифференциалы высших порядков. Введем теперь понятие о дифференциалах высших порядков функции y = f (x).

Еедифференциалdy = f ′ (x)dxявляется, очевидно, функцией от x, но не надо забывать при этом,что дифференциал независимой переменной dx считается уже независящим от x [50] и при дальнейшем дифференцировании выносится за знак производной как постоянный множитель. Рассматриваяdy как функцию от x,* можно составить дифференциал этой функ* Вообщеdx.говоря, дифференциал является функцией двух переменных x и55]§4. Производные и дифференциалы высших порядков163ции; он называется дифференциалом второго порядка первоначальной функции f (x) и обозначается символами d2 y, или d2 f (x):d2 y = d(dy) = [f ′ (x)dx]′ dx = f ′′ (x)dx2 .Составляя опять дифференциал полученной функции от x, придем к дифференциалу третьего порядка:d3 y = d(d2 y) = [f ′′ (x)dx2 ]′ dx = f ′′′ (x)dx3и, вообще, составляя последовательно дифференциалы, придем кпонятию о дифференциале n-го порядка функции f (x) и получимдля него выражение:dn f (x),или dn y = f (n) (x)dxn .(2)Эта формула позволяет представить производную n-го порядкав виде частного:dn y(3)f (n) (x) = n .dxРассмотрим теперь случай сложной функции y = f (u), где u —функция некоторой независимой переменной.

Мы знаем [50], чтопервый дифференциал этой функции имеет тот же вид, как и втом случае, когда u — независимая переменная:dy = f ′ (u)duПри определении дифференциалов высших порядков мы получим формулы, отличные по виду от формулы (2), ибо мы не имеемуже права считать du величиной постоянной, так как u не является независимой переменной. Так, например, для дифференциалавторого порядка будем иметь, применяя правило для нахождениядифференциала произведения, выражениеd2 y = d[f ′ (u)du] = dud[f ′ (u)] + f ′ (u)d(du) = f ′′ (u)du2 + f ′ (u)d2 u,которое содержит, по сравнению с формулой (2), добавочное слагаемое f ′ (u)d2 u.164Гл. II. Понятие о производной и его приложения[56Если u есть независимая переменная, то du надо считать величиной постоянной и d2 u = 0.

Положим теперь, что u есть линейнаяфункция независимой переменной t, т. е.u = at + b.При этом du = adt, т. е. du есть опять величина постоянная, а потому дифференциалы высших порядков сложной функции будутвыражены по формуле (2):dn f (u) = f (n) (u)dun ,т. е. выражение (2) для дифференциалов высших порядков годитсяв том случае, если x есть независимая переменная или линейнаяфункция независимой переменной.56. Разности* функций. Обозначим буквою h приращениенезависимой переменной. Соответственное приращение функцииy = f (x) будет∆y = f (x + h) − f (x).(4)Его называют иначе разностью первого порядка функции f (x). Этаразность есть, в свою очередь, функция от x, и мы можем найтиразность этой функции, вычисляя значение этой функции при x+hи x и вычитая из первого результата второй.

Эта разность называется разностью второго порядка первоначальной функции f (x) иобозначается символом ∆2 y. Нетрудно выразить ∆2 y через значения самой функции f (x):∆2 y = ∆(∆y) = [f (x + 2h) − f (x + h)] − [f (x + h) − f (x)] == f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x).(5)Эта разность второго порядка также есть функция от x, и, определяя разность этой функции, получим разность третьего порядка ∆3 y первоначальной функции f (x). Заменяя в правой части равенства (5) x на x + h и вычитая из полученного результата правуючасть равенства (5), будем иметь выражение для ∆3 y:* В современной математической литературе обычно используется термин«приращение функций».56]§4. Производные и дифференциалы высших порядков165∆3 y = [f (x + 3h) − 2f (x + 2h) + f (x + h)]−− [f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x)] == f (x + 3h) − 3f (x + 2h) + 3f (x + h) − f (x).Таким образом, можно последовательно определить разностьлюбого порядка, и разность n-го порядка ∆n y будет иметь следующее выражение через значения функции f (x):n(n − 1)nf (x + n − 1h) +f (x + n − 2h)−12!n(n − 1) .

. . (n − k + 1)f (x + n − kh)+− · · · + (−1)kk!+ · · · + (−1)n f (x). (6)∆n y = f (x + nh) −Выше мы убедились в справедливости этой формулы при n =1, 2 и 3. Для ее полного доказательства надо применить обычныйспособ доказательства от n к (n + 1). Заметим, что для вычисления ∆n y надо знать (n + 1) значения функции f (x) при значенияхаргумента: x, x+h, x+2h, . . .

, x+nh. Эти значения аргумента образуют арифметическую прогрессию с разностью h; или, как говорят,являются равноотстоящими значениями.При малых значениях h = dx разность ∆y мало отличается отдифференциала dy. Точно так же разности высших порядков будут давать приближенные значения дифференциалов соответствующих порядков, и наоборот. Если, например, функция задана таблично при равноотстоящих значениях аргумента, то мы, не имеяаналитического выражения функции, не в состоянии точно вычислить значения ее производных различных порядков, но вместо точной формулы (3) можем получить приближенное значение произnyводных, вычисляя отношение ∆∆xn . Составим для примера таблицуразностей и дифференциалов функции y = x3 в промежутке (2, 3),принимая:∆x = h = 0, 1.Для составления этой таблицы были вычислены последовательные значения функции y = x3 , из них при помощи вычитания,согласно формуле (4), были получены значения ∆y, из них также при помощи вычитания получились значения ∆2 y и т.

д. Такой166Гл. II. Понятие о производной и его приложения[56способ последовательного вычисления разностей, конечно, проще,чем вычисление по формуле (6). Дифференциалы вычисляются поизвестным формулам, указанным наверху таблицы, причем надоположить dx = h = 0, 1.Сравним точное и приближенное значения второй производнойy ′′ при x = 2. В рассматриваемом случае y ′′ = 6x и y ′′ = 12 при2x = 2. Приближенно эта производная выражается отношением ∆h2y ,и при x = 2 мы получим0, 126= 12, 6.(0, 1)2Если f (x) есть многочлен от x:y = f (x) = a0 xm + a1 xm−1 + a2 xm−2 + · · · + am−1 x + am ,то, вычисляя ∆y по формуле (4), получим для ∆y выражение в видецелого многочлена m − 1-й степени со старшим членом ma0 hxm−1 ,что нетрудно проверить. Таким образом, в случае y = x3 , ∆y будет многочленом второй степени от x, ∆2 y — многочленом первой∆y∆2 y∆3 y∆4 y dy = 3x2 dxd2 y =d3 y = 6dx3 d4 y= 6xdx2xy28,0001,261 0,126 0,00601,2000,1200,00602,19,2611,387 0,132 0,00601,3230,1260,00602,2 10,648 1,519 0,138 0,00601,4520,1320,00602,3 12,167 1,657 0,144 0,00601,5870,1380,00602,4 13,824 1,801 0,150 0,00601,7280,1440,00602,5 15,625 1,951 0,156 0,00601,8750,1500,00602,6 17,576 2,107 0,162 0,00602,0280,1560,00602,7 19,683 2,269 0,168 0,006—2,1870,1620,006—2,8 21,952 2,437 0,174——2,3520,168——2,9 24,389 2,611———2,523——————————327,000—57]§ 5.

Приложение к изучению функций167степени, ∆3 y — постоянной и ∆4 y — нулем (см. таблицу). Предлагаем читателю в качестве упражнения показать, что значения d2 yдолжны в рассматриваемом примере на одну ступень запаздыватьпо сравнению с ∆2 y, что видно из таблицы.§ 5. ПРИЛОЖЕНИЕ ПОНЯТИЯО ПРОИЗВОДНОЙ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИИ57.

Признаки возрастания и убывания функций. Знаниепроизводной дает возможность изучать различные свойства функций. Мы начнем с наиболее простого и основного вопроса, а именнос вопроса о возрастании и убывании функции.Функция f (x) называется возрастающей в некотором промежутке, если в этом промежутке бо́льшим значениям независимой переменной соответствуют и большие значения функции,т. е. еслиf (x + h) − f (x) > 0 при h > 0.Наоборот, если мы имеем:f (x + h) − f (x) < 0 приh > 0,то функция называется убывающей.Если мы обратимся к графикуфункции, то промежутки возрастания будут соответствовать тем частям графика, на которых бо́льшимабсциссам соответствуют и бо́льшиеординаты.

Если мы, как это сделанона рис. 55, направим ось OX вправо и ось OY наверх, то промежуткувозрастания функции будут соответствовать такие части графика, чтопри движении вдоль кривой впраРис. 55.во в направлении возрастающих абсцисс мы подымаемся вверх. Наоборот, промежуткам убывания соответствуют части кривой, опускающиеся вниз при движении вдоль168Гл. II.

Понятие о производной и его приложения[57кривой вправо. На рис. 55 часть графика AB соответствует промежутку возрастания, а часть BC — промежутку убывания. Из чертежа непосредственно ясно, что на первом участке касательная образует с направлением оси OX угол α, отсчитываемый от оси OXдо касательной, тангенс которого положителен. Но тангенс этогоугла есть как раз первая производная f ′ (x). Наоборот, на участке BC направление касательной образует с направлением OX уголα (в четвертой четверти), тангенс которого отрицателен, т.

е. дляэтого случая f ′ (x) будет величиной отрицательной. Сопоставляяполученные результаты, мы приходим к следующему правилу: тепромежутки, в которых f ′ (x) > 0, суть промежутки возрастания функции, а те промежутки, в которых f ′ (x) < 0, суть промежутки убывания функции.Мы пришли к этому правилу, пользуясь чертежом. В дальнейшем дадим для него строгое аналитическое доказательство.

Сейчасже мы применим полученное правило к некоторым примерам.1. Докажем неравенствоsin x > x −x3при z > 0.6Для этого составим разностьx3.f (x) = sin x − x −6Определим производную f ′ (x):f ′ (x) = cos x − 1 +x2x2x2x=− (1 − cos x) =− 2 sin2 =2222 x 2 x 2=2− sin.22Принимая во внимание, что по абсолютной величине сама дуга большесвоего синуса, можем утверждать, что f ′ (x) > 0 возрастает, но f (0) = 0,и потомуx3> 0 при x > 0,f (x) = sin x − x −6т.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
4,05 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее