1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 28
Текст из файла (страница 28)
сила по величине пропорциональна длине отрезка OM и направлена в противоположную сторону. Иными словами, сила направлена всегда от точки M к точке O и пропорциональна удалению точки M от точки O.55. Дифференциалы высших порядков. Введем теперь понятие о дифференциалах высших порядков функции y = f (x).
Еедифференциалdy = f ′ (x)dxявляется, очевидно, функцией от x, но не надо забывать при этом,что дифференциал независимой переменной dx считается уже независящим от x [50] и при дальнейшем дифференцировании выносится за знак производной как постоянный множитель. Рассматриваяdy как функцию от x,* можно составить дифференциал этой функ* Вообщеdx.говоря, дифференциал является функцией двух переменных x и55]§4. Производные и дифференциалы высших порядков163ции; он называется дифференциалом второго порядка первоначальной функции f (x) и обозначается символами d2 y, или d2 f (x):d2 y = d(dy) = [f ′ (x)dx]′ dx = f ′′ (x)dx2 .Составляя опять дифференциал полученной функции от x, придем к дифференциалу третьего порядка:d3 y = d(d2 y) = [f ′′ (x)dx2 ]′ dx = f ′′′ (x)dx3и, вообще, составляя последовательно дифференциалы, придем кпонятию о дифференциале n-го порядка функции f (x) и получимдля него выражение:dn f (x),или dn y = f (n) (x)dxn .(2)Эта формула позволяет представить производную n-го порядкав виде частного:dn y(3)f (n) (x) = n .dxРассмотрим теперь случай сложной функции y = f (u), где u —функция некоторой независимой переменной.
Мы знаем [50], чтопервый дифференциал этой функции имеет тот же вид, как и втом случае, когда u — независимая переменная:dy = f ′ (u)duПри определении дифференциалов высших порядков мы получим формулы, отличные по виду от формулы (2), ибо мы не имеемуже права считать du величиной постоянной, так как u не является независимой переменной. Так, например, для дифференциалавторого порядка будем иметь, применяя правило для нахождениядифференциала произведения, выражениеd2 y = d[f ′ (u)du] = dud[f ′ (u)] + f ′ (u)d(du) = f ′′ (u)du2 + f ′ (u)d2 u,которое содержит, по сравнению с формулой (2), добавочное слагаемое f ′ (u)d2 u.164Гл. II. Понятие о производной и его приложения[56Если u есть независимая переменная, то du надо считать величиной постоянной и d2 u = 0.
Положим теперь, что u есть линейнаяфункция независимой переменной t, т. е.u = at + b.При этом du = adt, т. е. du есть опять величина постоянная, а потому дифференциалы высших порядков сложной функции будутвыражены по формуле (2):dn f (u) = f (n) (u)dun ,т. е. выражение (2) для дифференциалов высших порядков годитсяв том случае, если x есть независимая переменная или линейнаяфункция независимой переменной.56. Разности* функций. Обозначим буквою h приращениенезависимой переменной. Соответственное приращение функцииy = f (x) будет∆y = f (x + h) − f (x).(4)Его называют иначе разностью первого порядка функции f (x). Этаразность есть, в свою очередь, функция от x, и мы можем найтиразность этой функции, вычисляя значение этой функции при x+hи x и вычитая из первого результата второй.
Эта разность называется разностью второго порядка первоначальной функции f (x) иобозначается символом ∆2 y. Нетрудно выразить ∆2 y через значения самой функции f (x):∆2 y = ∆(∆y) = [f (x + 2h) − f (x + h)] − [f (x + h) − f (x)] == f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x).(5)Эта разность второго порядка также есть функция от x, и, определяя разность этой функции, получим разность третьего порядка ∆3 y первоначальной функции f (x). Заменяя в правой части равенства (5) x на x + h и вычитая из полученного результата правуючасть равенства (5), будем иметь выражение для ∆3 y:* В современной математической литературе обычно используется термин«приращение функций».56]§4. Производные и дифференциалы высших порядков165∆3 y = [f (x + 3h) − 2f (x + 2h) + f (x + h)]−− [f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x)] == f (x + 3h) − 3f (x + 2h) + 3f (x + h) − f (x).Таким образом, можно последовательно определить разностьлюбого порядка, и разность n-го порядка ∆n y будет иметь следующее выражение через значения функции f (x):n(n − 1)nf (x + n − 1h) +f (x + n − 2h)−12!n(n − 1) .
. . (n − k + 1)f (x + n − kh)+− · · · + (−1)kk!+ · · · + (−1)n f (x). (6)∆n y = f (x + nh) −Выше мы убедились в справедливости этой формулы при n =1, 2 и 3. Для ее полного доказательства надо применить обычныйспособ доказательства от n к (n + 1). Заметим, что для вычисления ∆n y надо знать (n + 1) значения функции f (x) при значенияхаргумента: x, x+h, x+2h, . . .
, x+nh. Эти значения аргумента образуют арифметическую прогрессию с разностью h; или, как говорят,являются равноотстоящими значениями.При малых значениях h = dx разность ∆y мало отличается отдифференциала dy. Точно так же разности высших порядков будут давать приближенные значения дифференциалов соответствующих порядков, и наоборот. Если, например, функция задана таблично при равноотстоящих значениях аргумента, то мы, не имеяаналитического выражения функции, не в состоянии точно вычислить значения ее производных различных порядков, но вместо точной формулы (3) можем получить приближенное значение произnyводных, вычисляя отношение ∆∆xn . Составим для примера таблицуразностей и дифференциалов функции y = x3 в промежутке (2, 3),принимая:∆x = h = 0, 1.Для составления этой таблицы были вычислены последовательные значения функции y = x3 , из них при помощи вычитания,согласно формуле (4), были получены значения ∆y, из них также при помощи вычитания получились значения ∆2 y и т.
д. Такой166Гл. II. Понятие о производной и его приложения[56способ последовательного вычисления разностей, конечно, проще,чем вычисление по формуле (6). Дифференциалы вычисляются поизвестным формулам, указанным наверху таблицы, причем надоположить dx = h = 0, 1.Сравним точное и приближенное значения второй производнойy ′′ при x = 2. В рассматриваемом случае y ′′ = 6x и y ′′ = 12 при2x = 2. Приближенно эта производная выражается отношением ∆h2y ,и при x = 2 мы получим0, 126= 12, 6.(0, 1)2Если f (x) есть многочлен от x:y = f (x) = a0 xm + a1 xm−1 + a2 xm−2 + · · · + am−1 x + am ,то, вычисляя ∆y по формуле (4), получим для ∆y выражение в видецелого многочлена m − 1-й степени со старшим членом ma0 hxm−1 ,что нетрудно проверить. Таким образом, в случае y = x3 , ∆y будет многочленом второй степени от x, ∆2 y — многочленом первой∆y∆2 y∆3 y∆4 y dy = 3x2 dxd2 y =d3 y = 6dx3 d4 y= 6xdx2xy28,0001,261 0,126 0,00601,2000,1200,00602,19,2611,387 0,132 0,00601,3230,1260,00602,2 10,648 1,519 0,138 0,00601,4520,1320,00602,3 12,167 1,657 0,144 0,00601,5870,1380,00602,4 13,824 1,801 0,150 0,00601,7280,1440,00602,5 15,625 1,951 0,156 0,00601,8750,1500,00602,6 17,576 2,107 0,162 0,00602,0280,1560,00602,7 19,683 2,269 0,168 0,006—2,1870,1620,006—2,8 21,952 2,437 0,174——2,3520,168——2,9 24,389 2,611———2,523——————————327,000—57]§ 5.
Приложение к изучению функций167степени, ∆3 y — постоянной и ∆4 y — нулем (см. таблицу). Предлагаем читателю в качестве упражнения показать, что значения d2 yдолжны в рассматриваемом примере на одну ступень запаздыватьпо сравнению с ∆2 y, что видно из таблицы.§ 5. ПРИЛОЖЕНИЕ ПОНЯТИЯО ПРОИЗВОДНОЙ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИИ57.
Признаки возрастания и убывания функций. Знаниепроизводной дает возможность изучать различные свойства функций. Мы начнем с наиболее простого и основного вопроса, а именнос вопроса о возрастании и убывании функции.Функция f (x) называется возрастающей в некотором промежутке, если в этом промежутке бо́льшим значениям независимой переменной соответствуют и большие значения функции,т. е. еслиf (x + h) − f (x) > 0 при h > 0.Наоборот, если мы имеем:f (x + h) − f (x) < 0 приh > 0,то функция называется убывающей.Если мы обратимся к графикуфункции, то промежутки возрастания будут соответствовать тем частям графика, на которых бо́льшимабсциссам соответствуют и бо́льшиеординаты.
Если мы, как это сделанона рис. 55, направим ось OX вправо и ось OY наверх, то промежуткувозрастания функции будут соответствовать такие части графика, чтопри движении вдоль кривой впраРис. 55.во в направлении возрастающих абсцисс мы подымаемся вверх. Наоборот, промежуткам убывания соответствуют части кривой, опускающиеся вниз при движении вдоль168Гл. II.
Понятие о производной и его приложения[57кривой вправо. На рис. 55 часть графика AB соответствует промежутку возрастания, а часть BC — промежутку убывания. Из чертежа непосредственно ясно, что на первом участке касательная образует с направлением оси OX угол α, отсчитываемый от оси OXдо касательной, тангенс которого положителен. Но тангенс этогоугла есть как раз первая производная f ′ (x). Наоборот, на участке BC направление касательной образует с направлением OX уголα (в четвертой четверти), тангенс которого отрицателен, т.
е. дляэтого случая f ′ (x) будет величиной отрицательной. Сопоставляяполученные результаты, мы приходим к следующему правилу: тепромежутки, в которых f ′ (x) > 0, суть промежутки возрастания функции, а те промежутки, в которых f ′ (x) < 0, суть промежутки убывания функции.Мы пришли к этому правилу, пользуясь чертежом. В дальнейшем дадим для него строгое аналитическое доказательство.
Сейчасже мы применим полученное правило к некоторым примерам.1. Докажем неравенствоsin x > x −x3при z > 0.6Для этого составим разностьx3.f (x) = sin x − x −6Определим производную f ′ (x):f ′ (x) = cos x − 1 +x2x2x2x=− (1 − cos x) =− 2 sin2 =2222 x 2 x 2=2− sin.22Принимая во внимание, что по абсолютной величине сама дуга большесвоего синуса, можем утверждать, что f ′ (x) > 0 возрастает, но f (0) = 0,и потомуx3> 0 при x > 0,f (x) = sin x − x −6т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
