Главная » Просмотр файлов » 1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98

1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 39

Файл №824737 1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (Курс высшей математики. В 5-ти т. Т. 1 Смирнов В .И. 2008) 39 страница1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737) страница 392021-01-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

Часть кривой, которая получится при дальнейшем движении, будет тождественна с дугой OO′ и получится, если мы перенесемэту дугу на отрезок 2πa вправо, и т. д. Вычислим теперь первые и вторыепроизводные от x и y по t:dx= ϕ′ (t) = a(1 − cos t),dtd2 x= ϕ′′ (t) = a sin t,dt2dy= ψ ′ (t) = a sin t, dt2d y= ψ ′′ (t) = a cos t.dt2(36)Угловой коэффициенты касательной в силу первой из формул (33)будет:2 sin 2t cos 2ta sin tt= ctg .y′ ==a(1 − cos t)22 sin2 2tФормула эта приводит к простому способу построения касательной кциклоиде. Соединим точку N1 с точкой M кривой. Угол M N1 N естьвписанный угол, опирающийся на дугу N M = t, и, следовательно, он79]равен§ 7. Некоторые геометрические приложенияt.2241Из прямоугольного треугольника RM N1 получим (рис.

94):∠RM N1 =tπ− ,22tg ∠RM N1 = tgtπ−22t= ctg .2Сравнивая это выражение с выражением для y ′ , видим, что прямая M N1и есть касательная к циклоиде, то есть:Чтобы построить касательную к циклоиде в ее точке M , достаточно соединить эту точку с концом N1 того диаметра катящегосякруга, другой конец которого находится в точке касания окружностии оси OX.Прямая M N , соединяющая точку M с другим концом только чтоупомянутого диаметра, перпендикулярна к прямой M N1 , так как уголN1 M N опирается на диаметр, и мы можем поэтому утверждать, что прямая M N есть нормаль к циклоиде. Длина нормали n = M N определитсянепосредственно из прямоугольного треугольника N1 M N :tn = 2a sin .2Радиус кривизны циклоиды получим, пользуясь формулой (34) и выражениями (36):R=±[a2 (1 − cos t)2 + a2 sin2 t]3/2a(2 − 2 cos t)3/2==±a cos t · a(1 − cos t) − a sin t · a sin tcos t − 1t= a · 23/2 (1 − cos t)1/2 = 4a sin .2В последнем выражении мы оставляем лишь знак (+), так как дляпервой ветви циклоиды t заключается в промежутке (0, 2π), и sin 2t неможет быть величиной отрицательной.Сравнивая это выражение с выражением для длины нормали n, будем иметь R = 2n, т.

е. радиус кривизны циклоиды равен удвоенной длиненормали (M C1 на рис. 94).Если бы точка M , которая описывала циклоиду, лежала не на окружности круга, а внутри или вне ее, то при качении круга она описала быкривую, которая соответственно называется укороченной или удлиненной циклоидой (иногда обе эти кривые называют трохоидой).Назовем через h расстояние CM точки M от центра катящегосякруга. Остальные обозначения оставим те же. Разберем сначала случай242Гл. II. Понятие о производной и его приложения[80Рис.

95.h < a, т. е. тот случай, когда точка M находится внутри круга (рис. 95).Непосредственно из чертежа имеем:x = OQ = ON − QN = at − h sin t,y = QM = N C − RC = a − h cos t.В случае h > a уравнения будут те же, но кривая примет вид, указанный на рис. 96.Рис. 96.80. Эпициклоиды и гипоциклоиды. Если круг, с окружностьюкоторого связана точка M , катится не по прямой OX, а по некоторойнеподвижной окружности, то получатся два обширных класса кривых:эпициклоиды, если катящийся круг расположен вне неподвижного; гипоциклоиды, если катящийся круг расположен внутри неподвижного.Выведем уравнение эпициклоид. Поместим начало координат в центрнеподвижного круга; ось OX направим по прямой, соединяющий этотцентр O с точкой K, которая является начальным положением точкиM , когда обе окружности касались друг друга в этой точке.

Обозначим80]§ 7. Некоторые геометрические приложения243буквою a радиус катящейсяокружности и примем за параметр t угол, образуемый сосью OX радиусом ON неподвижной окружности, проведенным в точку касанияокружностей, когда подвижная окружность повернуласьна угол ϕ = ∠N CM (рис. 97).Ввиду того, что качениеокружности происходит безскольжения, можем написатьдуга KN = дуге N M,Рис. 97.т. е.bt = aϕ,ϕ=bt.aИз чертежа непосредственно находимx = OQ = OL + LQ = OC cos ∠KOC − CM cos ∠SM C = a+b t,= (a + b) cos t − a cos(t + ϕ) = (a + b) cos t − a cosa(37)y = QM = LC − RC = OC sin ∠KOC − CM sin ∠SM C = a+b t.

= (a + b) sin t − a sin(t + ϕ) = (a + b) sin t − a sinaКривая состоит из ряда одинаковых дуг, каждая из которых соответствует полному обороту подвижного круга, т. е. увеличению угла ϕ. Таким образом, концы этих дуг соответствуютна 2π, а угла t на 2aπbзначениям4aπ2aπ2paπ,,...,,...t = 0,bbbДля того чтобы когда-нибудь мы пришли в начальную точку кривойK, необходимо и достаточно, чтобы один из этих концов совпал с K, т. е.чтобы существовали целые числа p и q, удовлетворяющие условию2paπ= 2qπ,bибо точке K соответствует некоторое число полных оборотов около точкиO. Предыдущее условие может быть написано так:qa= .bp244Гл.

II. Понятие о производной и его приложения[80Такие числа p и q будут существовать тогда и только тогда, когда a и b —отрезки, соизмеримые между собою; в противном же случае отношениеaесть число иррациональное и не может сделаться равным отношениюbдвух целых чисел.Отсюда следует, что эпициклоидапредставляет замкнутую кривую тогдаи только тогда, когда радиусы подвижного и неподвижного кругов соизмеримы; в противном же случае кривая этанезамкнутая и, выйдя из точки K, в нееникогда больше не возвратится.Это замечание относится и к гипоциклоидам (рис.

98), уравнение котоРис. 98.рых может быть получено из уравненияэпициклоид простой заменой a на (−a):b−a t,x = (b − a) cos t + a cosa(38)b−a t. y = (b − a) sin t − a sinaОтметим некоторые частные случаи. Положим, чтов случае эпициклоиды b =a, т. е. радиусы неподвижногои подвижного кругов равны.Мы получим в этом случаекривую, состоящую из однойветви (рис. 99), и, подставивв уравнения (37) b = a, получим уравнения этой кривой:x = 2a cos t − a cos 2t,y = 2a sin t − a sin 2t.Кривая эта называетсякардиоидой.Определим расстояние r точек M (x, y) этой кривой до точки K, имеющей координаты (a, 0), и для этого приведем к более удобному видувыражения для (x − a) и y:Рис.

99.x − a = 2a cos t − a(cos2 t − sin2 t) − a = 2a cos t − 2a cos2 t =80]§ 7. Некоторые геометрические приложения245= 2a cos t(1 − cos t),y = 2a sin t − 2a sin t cos t = 2a sin t(1 − cos t),откудаpr = |KM | = (x − a)2 + y 2 =q= 4a2 cos2 t(1 − cos t)2 + 4a2 sin2 t(1 − cos t)2 = 2a(1 − cos t).Разность (x−a) и y суть проекции отрезка KM на оси OX и OY , но изнаписанных выше выражений видно, что (x−a) и y равны произведениюдлины отрезка KM соответственно на cos t и sin t, и мы можем поэтомуутверждать, что отрезок KM образует угол t с положительным направлением оси OX, т.

е. параллелен радиусу ON . Результат этот будет длянас важен в дальнейшем при выводе правила построения касательной ккардиоиде.Введем угол θ = π − t, образованный отрезком KM с отрицательнымнаправлением оси OX. Для r мы получим тогдаr = 2a(1 + cos θ).Уравнение это является уравнением кардиоиды в полярных координатах, и мы более подробно исследуем эту кривую, когда будем говоритьо полярных координатах.Отметим теперь некоторые частныеслучаи гипоциклоид.

Полагая в уравнениях (38) b = 2a, получимx = 2a cos t = b cos t,y = 0,т. е. если радиус неподвижного кругавдвое больше радиуса подвижного круга, то точка M двигается по диаметрунеподвижного круга.Положим теперь, что b = 4a. В этомслучае гипоциклоида будет состоять изчетырех ветвей (рис. 100), и в этом частном случае она называется астроидой.Уравнения (38) при b = 4a дадут намРис. 100.x = 3a cos t + a cos 3t = 3a cos t + a(4 cos3 t − 3 cos t) = 4a cos3 t = b cos3 t,x = 3a sin t − a sin 3t = 3a sin t − a(3 sin t − 4 sin3 t) = 4a sin3 t = b sin3 t.246Гл. II. Понятие о производной и его приложения[82Возведя обе части уравнений в степень 2/3 и складывая почленнополученные уравнения, исключим параметр t и получим уравнение астроиды в неявной формеx2/3 + y 2/3 = b2/3 .81. Развертка круга.Разверткой круга называется кривая, которую описывает конец M гибкой нити,постепенно сматывающейсяс неподвижной окружностирадиуса a, и притом так, чтов точке K, где нить отделяется от окружности, она остается касательной к окружности (рис.

101).Приняв за параметр уголt, образуемый с положительРис. 101.ным направлением оси OXрадиусом, проведенным в точку K, и принимая во внимание, что KM =дуге AK = at, получим уравнение развертки круга в параметрическойформе:x = прOX OM = прOX OK + прOX KM = a cos t + at sin t,x = прOY OM = прOY OK − прOY KM = a sin t + at cos t.Определим, пользуясь первой из формул (33), угловой коэффициенткасательной:a cos t − a cos t + at sin t= tg t.y′ =−a sin t + a sin t + at cos tУгловой коэффициенты нормали к развертке круга будет, следовательно, равенπ,− ctg t = tg t −2откуда видно, что прямая M K и будет нормалью к развертке круга.Свойство это, как мы увидим впоследствии, имеет место и для развертоклюбых кривых.82.

Кривые в полярных координатах. Положение точки Mна плоскости (рис. 102) определяется в полярных координатах :82]§ 7. Некоторые геометрические приложенияРис. 102.247Рис. 103.1) ее расстоянием r от некоторой данной точки O (полюс) и2) углом θ, который образует направление отрезка OM с даннымнаправлением (L) (полярная ось). Часто называют r — радиусомвектором и θ — полярным углом. Если принять полярную ось заOX, а полюс — за начало координат, то имеем, очевидно (рис. 103):x = r cos θ,y = r sin θ.(39)Данному положению точки M соответствует одно определенноеположительное значение r и бесчисленное множество значений θ,которые отличаются слагаемым, кратным 2π.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
4,05 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6556
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее