1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Часть кривой, которая получится при дальнейшем движении, будет тождественна с дугой OO′ и получится, если мы перенесемэту дугу на отрезок 2πa вправо, и т. д. Вычислим теперь первые и вторыепроизводные от x и y по t:dx= ϕ′ (t) = a(1 − cos t),dtd2 x= ϕ′′ (t) = a sin t,dt2dy= ψ ′ (t) = a sin t, dt2d y= ψ ′′ (t) = a cos t.dt2(36)Угловой коэффициенты касательной в силу первой из формул (33)будет:2 sin 2t cos 2ta sin tt= ctg .y′ ==a(1 − cos t)22 sin2 2tФормула эта приводит к простому способу построения касательной кциклоиде. Соединим точку N1 с точкой M кривой. Угол M N1 N естьвписанный угол, опирающийся на дугу N M = t, и, следовательно, он79]равен§ 7. Некоторые геометрические приложенияt.2241Из прямоугольного треугольника RM N1 получим (рис.
94):∠RM N1 =tπ− ,22tg ∠RM N1 = tgtπ−22t= ctg .2Сравнивая это выражение с выражением для y ′ , видим, что прямая M N1и есть касательная к циклоиде, то есть:Чтобы построить касательную к циклоиде в ее точке M , достаточно соединить эту точку с концом N1 того диаметра катящегосякруга, другой конец которого находится в точке касания окружностии оси OX.Прямая M N , соединяющая точку M с другим концом только чтоупомянутого диаметра, перпендикулярна к прямой M N1 , так как уголN1 M N опирается на диаметр, и мы можем поэтому утверждать, что прямая M N есть нормаль к циклоиде. Длина нормали n = M N определитсянепосредственно из прямоугольного треугольника N1 M N :tn = 2a sin .2Радиус кривизны циклоиды получим, пользуясь формулой (34) и выражениями (36):R=±[a2 (1 − cos t)2 + a2 sin2 t]3/2a(2 − 2 cos t)3/2==±a cos t · a(1 − cos t) − a sin t · a sin tcos t − 1t= a · 23/2 (1 − cos t)1/2 = 4a sin .2В последнем выражении мы оставляем лишь знак (+), так как дляпервой ветви циклоиды t заключается в промежутке (0, 2π), и sin 2t неможет быть величиной отрицательной.Сравнивая это выражение с выражением для длины нормали n, будем иметь R = 2n, т.
е. радиус кривизны циклоиды равен удвоенной длиненормали (M C1 на рис. 94).Если бы точка M , которая описывала циклоиду, лежала не на окружности круга, а внутри или вне ее, то при качении круга она описала быкривую, которая соответственно называется укороченной или удлиненной циклоидой (иногда обе эти кривые называют трохоидой).Назовем через h расстояние CM точки M от центра катящегосякруга. Остальные обозначения оставим те же. Разберем сначала случай242Гл. II. Понятие о производной и его приложения[80Рис.
95.h < a, т. е. тот случай, когда точка M находится внутри круга (рис. 95).Непосредственно из чертежа имеем:x = OQ = ON − QN = at − h sin t,y = QM = N C − RC = a − h cos t.В случае h > a уравнения будут те же, но кривая примет вид, указанный на рис. 96.Рис. 96.80. Эпициклоиды и гипоциклоиды. Если круг, с окружностьюкоторого связана точка M , катится не по прямой OX, а по некоторойнеподвижной окружности, то получатся два обширных класса кривых:эпициклоиды, если катящийся круг расположен вне неподвижного; гипоциклоиды, если катящийся круг расположен внутри неподвижного.Выведем уравнение эпициклоид. Поместим начало координат в центрнеподвижного круга; ось OX направим по прямой, соединяющий этотцентр O с точкой K, которая является начальным положением точкиM , когда обе окружности касались друг друга в этой точке.
Обозначим80]§ 7. Некоторые геометрические приложения243буквою a радиус катящейсяокружности и примем за параметр t угол, образуемый сосью OX радиусом ON неподвижной окружности, проведенным в точку касанияокружностей, когда подвижная окружность повернуласьна угол ϕ = ∠N CM (рис. 97).Ввиду того, что качениеокружности происходит безскольжения, можем написатьдуга KN = дуге N M,Рис. 97.т. е.bt = aϕ,ϕ=bt.aИз чертежа непосредственно находимx = OQ = OL + LQ = OC cos ∠KOC − CM cos ∠SM C = a+b t,= (a + b) cos t − a cos(t + ϕ) = (a + b) cos t − a cosa(37)y = QM = LC − RC = OC sin ∠KOC − CM sin ∠SM C = a+b t.
= (a + b) sin t − a sin(t + ϕ) = (a + b) sin t − a sinaКривая состоит из ряда одинаковых дуг, каждая из которых соответствует полному обороту подвижного круга, т. е. увеличению угла ϕ. Таким образом, концы этих дуг соответствуютна 2π, а угла t на 2aπbзначениям4aπ2aπ2paπ,,...,,...t = 0,bbbДля того чтобы когда-нибудь мы пришли в начальную точку кривойK, необходимо и достаточно, чтобы один из этих концов совпал с K, т. е.чтобы существовали целые числа p и q, удовлетворяющие условию2paπ= 2qπ,bибо точке K соответствует некоторое число полных оборотов около точкиO. Предыдущее условие может быть написано так:qa= .bp244Гл.
II. Понятие о производной и его приложения[80Такие числа p и q будут существовать тогда и только тогда, когда a и b —отрезки, соизмеримые между собою; в противном же случае отношениеaесть число иррациональное и не может сделаться равным отношениюbдвух целых чисел.Отсюда следует, что эпициклоидапредставляет замкнутую кривую тогдаи только тогда, когда радиусы подвижного и неподвижного кругов соизмеримы; в противном же случае кривая этанезамкнутая и, выйдя из точки K, в нееникогда больше не возвратится.Это замечание относится и к гипоциклоидам (рис.
98), уравнение котоРис. 98.рых может быть получено из уравненияэпициклоид простой заменой a на (−a):b−a t,x = (b − a) cos t + a cosa(38)b−a t. y = (b − a) sin t − a sinaОтметим некоторые частные случаи. Положим, чтов случае эпициклоиды b =a, т. е. радиусы неподвижногои подвижного кругов равны.Мы получим в этом случаекривую, состоящую из однойветви (рис. 99), и, подставивв уравнения (37) b = a, получим уравнения этой кривой:x = 2a cos t − a cos 2t,y = 2a sin t − a sin 2t.Кривая эта называетсякардиоидой.Определим расстояние r точек M (x, y) этой кривой до точки K, имеющей координаты (a, 0), и для этого приведем к более удобному видувыражения для (x − a) и y:Рис.
99.x − a = 2a cos t − a(cos2 t − sin2 t) − a = 2a cos t − 2a cos2 t =80]§ 7. Некоторые геометрические приложения245= 2a cos t(1 − cos t),y = 2a sin t − 2a sin t cos t = 2a sin t(1 − cos t),откудаpr = |KM | = (x − a)2 + y 2 =q= 4a2 cos2 t(1 − cos t)2 + 4a2 sin2 t(1 − cos t)2 = 2a(1 − cos t).Разность (x−a) и y суть проекции отрезка KM на оси OX и OY , но изнаписанных выше выражений видно, что (x−a) и y равны произведениюдлины отрезка KM соответственно на cos t и sin t, и мы можем поэтомуутверждать, что отрезок KM образует угол t с положительным направлением оси OX, т.
е. параллелен радиусу ON . Результат этот будет длянас важен в дальнейшем при выводе правила построения касательной ккардиоиде.Введем угол θ = π − t, образованный отрезком KM с отрицательнымнаправлением оси OX. Для r мы получим тогдаr = 2a(1 + cos θ).Уравнение это является уравнением кардиоиды в полярных координатах, и мы более подробно исследуем эту кривую, когда будем говоритьо полярных координатах.Отметим теперь некоторые частныеслучаи гипоциклоид.
Полагая в уравнениях (38) b = 2a, получимx = 2a cos t = b cos t,y = 0,т. е. если радиус неподвижного кругавдвое больше радиуса подвижного круга, то точка M двигается по диаметрунеподвижного круга.Положим теперь, что b = 4a. В этомслучае гипоциклоида будет состоять изчетырех ветвей (рис. 100), и в этом частном случае она называется астроидой.Уравнения (38) при b = 4a дадут намРис. 100.x = 3a cos t + a cos 3t = 3a cos t + a(4 cos3 t − 3 cos t) = 4a cos3 t = b cos3 t,x = 3a sin t − a sin 3t = 3a sin t − a(3 sin t − 4 sin3 t) = 4a sin3 t = b sin3 t.246Гл. II. Понятие о производной и его приложения[82Возведя обе части уравнений в степень 2/3 и складывая почленнополученные уравнения, исключим параметр t и получим уравнение астроиды в неявной формеx2/3 + y 2/3 = b2/3 .81. Развертка круга.Разверткой круга называется кривая, которую описывает конец M гибкой нити,постепенно сматывающейсяс неподвижной окружностирадиуса a, и притом так, чтов точке K, где нить отделяется от окружности, она остается касательной к окружности (рис.
101).Приняв за параметр уголt, образуемый с положительРис. 101.ным направлением оси OXрадиусом, проведенным в точку K, и принимая во внимание, что KM =дуге AK = at, получим уравнение развертки круга в параметрическойформе:x = прOX OM = прOX OK + прOX KM = a cos t + at sin t,x = прOY OM = прOY OK − прOY KM = a sin t + at cos t.Определим, пользуясь первой из формул (33), угловой коэффициенткасательной:a cos t − a cos t + at sin t= tg t.y′ =−a sin t + a sin t + at cos tУгловой коэффициенты нормали к развертке круга будет, следовательно, равенπ,− ctg t = tg t −2откуда видно, что прямая M K и будет нормалью к развертке круга.Свойство это, как мы увидим впоследствии, имеет место и для развертоклюбых кривых.82.
Кривые в полярных координатах. Положение точки Mна плоскости (рис. 102) определяется в полярных координатах :82]§ 7. Некоторые геометрические приложенияРис. 102.247Рис. 103.1) ее расстоянием r от некоторой данной точки O (полюс) и2) углом θ, который образует направление отрезка OM с даннымнаправлением (L) (полярная ось). Часто называют r — радиусомвектором и θ — полярным углом. Если принять полярную ось заOX, а полюс — за начало координат, то имеем, очевидно (рис. 103):x = r cos θ,y = r sin θ.(39)Данному положению точки M соответствует одно определенноеположительное значение r и бесчисленное множество значений θ,которые отличаются слагаемым, кратным 2π.