Главная » Просмотр файлов » 1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98

1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 40

Файл №824737 1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (Курс высшей математики. В 5-ти т. Т. 1 Смирнов В .И. 2008) 40 страница1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737) страница 402021-01-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

Если M совпадает сO, то r = 0 и θ — совершенно неопределенно.Всякая функциональная зависимость вида r = f (θ) (явная) илиF (r, θ) = 0 (неявная) имеет в полярной системе координат свойграфик. Чаще приходится иметь дело с явным уравнениемr = f (θ).(40)В дальнейшем мы будем рассматривать не только положительные, но и отрицательные значения r, причем если некоторому значению θ соответствует отрицательное значение r, то условимся откладывать это значение r в направлении, прямо противоположномтому направлению, которое определяется значением θ.Считая, что на некоторой заданной кривой r есть функция θ, мывидим, что уравнения (39) представляют собой параметрическуюформу уравнения этой кривой, причем x и y зависят от параметра θкак непосредственно, так и через посредство r.

Мы можем поэтомуприлагать в данном случае формулы (33) и (34) [77]. Обозначаячерез α угол, составленный касательной с осью OX, будем иметь,248Гл. II. Понятие о производной и его приложения[82применяя первую из формул (33),tg α = y ′ =r′ sin θ + r cos θ,r′ cos θ − r sin θгде через r′ мы обозначаем производную от r по θ.Введем еще в рассмотрение угол µмежду положительными направлениями радиус-вектора и касательной ккривой (рис.

104). Мы имеем:µ = α − θ,и, следовательно,Рис. 104.cos µ = cos α cos θ + sin α sin θ,sin µ = sin α cos θ − cos α sin θ.Дифференцируя равенства (39) по s* и принимая во внимание,dyчто dxds и ds соответственно равны cos α и sin α, получимcos α = cos θdrdθ− r sin θ ,dsdssin α = sin θdrdθ+ r cos θ .dsdsПодставляя эти выражения cos α и sin α в написанные выше выражения для cos µ и sin µ, будем иметьcos µ =dr,dssin µ =rdθds(41)и, следовательно,tg µ =rrrdθ= dr = ′ .drrdθИз (39) следуетdx = cos θdr − r sin θdθ,dy = sin θdr + r cos θdθ,* См.[70].(411 )83]§ 7. Некоторые геометрические приложенияа потомуds =pp(dx)2 + (dy)2 = (dr)2 + r2 (dθ)2 ,249(42)и равенство α = µ + θ дает нам, если мы разделим числитель изнаменатель на dθ:R=±[(dr2 ) + r2 (dθ)2 ]1/2ds(r2 + r′2 )1/2=.=±dαdµ + dθ1 + dµdθИз формулы же (411 ) имеемµ = arctgr,r′dµ1r′2 − r′′r′2 − rr′′=·= 2,2′2dθrr + r′21 + rr′где r′ и r′′ — производные первого и второго порядка от r по θ.Подставляя полученные выражения производных в предыдущуюформулу, будем иметь для радиуса кривизны:R=±(r2 + r′2 )3/2.r2 + 2r′2 − rr′′(43)83.

Спирали. Разберем три вида спиралей:спираль Архимеда:r = aθ,спираль гиперболическую:rθ = a,(a > 0; b > 0),aθспираль логарифмическую: r = be .Рис. 105.Спираль Архимеда имеет вид, изображенный на рис. 105, причем пунктир соответствует части кривой при θ < 0. Отрицательным значениям θ соответствуют и отрицательные значения r, и их над откладыватьв направлении, противоположном тому направлению, которое определяется значени-ем θ.Всякий радиус-вектор встречает кривую бесчисленное множествораз, причем расстояние между каждыми двумя последовательными точками пересечения есть величина постоянная, равная 2aπ. Это видноиз того, что направление радиуса-вектора, соответствующее некоторому250Гл. II.

Понятие о производной и его приложения[83Рис. 106.данному значению θ, не меняется, если к θ прибавить 2π, 4π . . . ; длинаже r, определяемая из уравнения r = aθ, будет получать приращения2aπ, 4aπ, . . .Гиперболическая спираль изображена на рис. 106. Предполагая θ > 0,исследуем, что будет происходить с кривой, когда θ стремится к нулю.Уравнениемar=θпоказывает, что r будет стремиться при этом к бесконечности. Возьмемнекоторую точку M на кривой при достаточно малом значении θ и опустим перпендикуляр M Q на полярную ось X.

Из прямоугольного треугольника M OQ получим (рис. 106):QM = r sin θ =a sin θ,θа при стремлении θ к нулюlim QM = lim aθ→0θ→0sin θ= a.θИтак, расстояние между точкой M кривой и полярной осью, пристремлении θ к нулю, стремятся к a, и кривая будет иметь асимптотуLK, параллельную полярной оси и проведенную на расстоянии a от нее.Далее, видим, что r не обращается в нуль ни при каких конечных значениях θ, а только стремится к нулю, когда θ стремится к бесконечности.Кривая будет поэтому беспредельно приближаться к полюсу O, закручиваясь около него, но никогда не пройдет через O в противоположностьспирали Архимеда.

Такая точка называется, вообще, асимптотическойточкой кривой.Логарифмическая спираль изображена на рис. 107.84]§ 7. Некоторые геометрические приложения251При θ = 0, r = b и при стремлении θ к (+∞) иr стремится к (+∞), а при стремлении θ к (−∞) rстремится к нулю, никогда не обращаясь в нуль. Врассматриваемом случаеr ′ = abeaθиtg µ =1r= ,r′aРис.

107.т. е. радиус-вектор образует с касательной к логарифмической спирали постоянный угол µ.84. Улитки и кардиоида. Построим круг на диаметре OA =2a (рис. 108); из точки O, лежащей на окружности, будем проводитьрадиусы-векторы и на каждом из них будем откладывать постояннуювеличину h = DM от точки пересечения D этой прямой с окружностью.Геометрическое место точек M называется вообще улиткою.Замечая, чтоOD = 2a cos θ и OM = r,находим уравнение улиткиr = 2a cos θ + h.Рис. 108.Рис.

109.Если h > 2a, то уравнение это дает для r только положительные значения, и соответствующая кривая изображена на рис. 109. Если h < 2a,252Гл. II. Понятие о производной и его приложения[84то r будет принимать и отрицательные значения, кривая имеет вид, изображенный на рис. 110. В точке O кривая пересекает самое себя. Наконец,при h = 2a уравнение улитки будетr = 2a(1 + cos θ),т.

е. в этом случае улитка представляет собою кардиоиду [80], котораятолько иначе расположена, чем в [80] (рис. 111). Значению θ = π будетсоответствовать r = 0, т. е. кривая пройдет через точку O.Рис. 110.Рис. 111.Определим первую и вторую производные от r по θ:r ′ = −2a sin θ,r ′′ = −2a cos θ.Вычислим tg µ:tg µ =2a(1 + cos θ)θr== − ctg = tgr′−2a sin θ2то естьθπ+22,θπ+ .(44)22Как было показано раньше [80], кардиоиду можно себе представитькак кривую, описанную точкой круга, катящегося по упомянутому вышекругу с диаметром OA = 2a, причем диаметр катящегося круга равендиаметру неподвижного круга.

Пусть C — центр неподвижного круга,M — некоторая точка кардиоиды, N — точка касания катящегося кругаµ=85]§ 7. Некоторые геометрические приложения253в его положении, соответствующем этой точке, с неподвижным кругом, иN N1 — диаметр подвижного круга (рис. 111). Выше [80] мы видели, чтопрямые OM и CN1 — параллельны3 , т. е.

угол ACN = θ и, следовательно,дуга N M = дуге ON = π − θ.Угол M N1 N , как вписанный, опирающийся на дугу N M , равен π2 − 2θ ,и, наконец, угол, образованный направлениями OM и N1 M , равенθπθπ−= + = µ,π−2222откуда видно, что N1 M и есть касательная к кардиоиде в точке M . Мыполучаем, таким образом, следующее правило:Чтобы построить касательную к кардиоиде в ее точке M , достаточно соединить эту точку с концом N1 того диаметра катящегосякруга, другой конец которого находится в точке касания катящегосякруга с неподвижным; нормаль пройдет по прямой M N .Выведенное выше правило построения касательной к кардиоиде получается просто из кинематических соображений.

Известно, что вообщедвижение неизменяемой системы на плоскости в каждый данный моментсводится к вращению вокруг неподвижной точки (мгновенного центра),причем, вообще говоря, положение этой точки меняется с течением времени. В случае качения, указанного на рис. 111, мгновенный центр естьточка соприкосновения N катящегося круга с неподвижным, и, следовательно, скорость движущейся точки M , направленная по касательнойк кардиоиде, перпендикулярна к лучу N M , т. е. этот луч есть нормальк кардиоиде, а перпендикулярная к нему прямая N1 M — касательнаяк кардиоиде.

Из этих соображений следует, что приведенное правилопостроения касательной годится, вообще, для кривых, описанных некоторой точкой окружности, катящейся без скольжения по неподвижнойкривой.85. Овалы Кассини и лемниската. Овалы Кассини получаютсякак геометрическое место точек M , для которых произведение расстояний от двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная:F1 M · F2 M = b2 .Обозначим длину F1 F2 через 2a, направим полярную ось по линииF1 F2 и полюс O поместим в середине отрезка F1 F2 .

Из треугольников3В[80] эти две прямые были KM и ON1 (рис. 99).254Гл. II. Понятие о производной и его приложения[85OM F1 и OM F2 (рис. 112) находимF1 M 2 = r 2 + a2 + 2ar cos θ,F2 M 2 = r 2 + a2 − 2ar cos θ.Подставляя эти выражения в уравнение овалов и возводя его обе частив квадрат, получим после элементарных преобразованийr 4 − 2a2 r 2 cos 2θ + a4 − b4 = 0,откудаr 2 = a2 cos 2θ ±2pa4 cos2 2θ − (a4 − b4 ).Случаи, соответствующие a < b2 и a2 > b2 , изображены на рис. 112,причем второму случаю соответствует кривая, состоящая из двух отдельных замкнутых кривых.

Мы рассмотрим более подробно лишь тот важный случай, когда a2 = b2 . Соответствующая кривая называется лемнискатой, и ее уравнение будетr 2 = 2a2 cos 2θУравнение это дает вещественные значения для r, только когдаcos 2θ > 0, т. е. когда θ лежит в одном из промежутков π3π 5π7π,,, 2π ,,0,44 44причем r обращается в нуль приθ=π,43π,45π,47π.4Нетрудно на основании этих соображений построить кривую(рис. 113).Рис. 112.Рис.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
4,05 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6556
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее