1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Если M совпадает сO, то r = 0 и θ — совершенно неопределенно.Всякая функциональная зависимость вида r = f (θ) (явная) илиF (r, θ) = 0 (неявная) имеет в полярной системе координат свойграфик. Чаще приходится иметь дело с явным уравнениемr = f (θ).(40)В дальнейшем мы будем рассматривать не только положительные, но и отрицательные значения r, причем если некоторому значению θ соответствует отрицательное значение r, то условимся откладывать это значение r в направлении, прямо противоположномтому направлению, которое определяется значением θ.Считая, что на некоторой заданной кривой r есть функция θ, мывидим, что уравнения (39) представляют собой параметрическуюформу уравнения этой кривой, причем x и y зависят от параметра θкак непосредственно, так и через посредство r.
Мы можем поэтомуприлагать в данном случае формулы (33) и (34) [77]. Обозначаячерез α угол, составленный касательной с осью OX, будем иметь,248Гл. II. Понятие о производной и его приложения[82применяя первую из формул (33),tg α = y ′ =r′ sin θ + r cos θ,r′ cos θ − r sin θгде через r′ мы обозначаем производную от r по θ.Введем еще в рассмотрение угол µмежду положительными направлениями радиус-вектора и касательной ккривой (рис.
104). Мы имеем:µ = α − θ,и, следовательно,Рис. 104.cos µ = cos α cos θ + sin α sin θ,sin µ = sin α cos θ − cos α sin θ.Дифференцируя равенства (39) по s* и принимая во внимание,dyчто dxds и ds соответственно равны cos α и sin α, получимcos α = cos θdrdθ− r sin θ ,dsdssin α = sin θdrdθ+ r cos θ .dsdsПодставляя эти выражения cos α и sin α в написанные выше выражения для cos µ и sin µ, будем иметьcos µ =dr,dssin µ =rdθds(41)и, следовательно,tg µ =rrrdθ= dr = ′ .drrdθИз (39) следуетdx = cos θdr − r sin θdθ,dy = sin θdr + r cos θdθ,* См.[70].(411 )83]§ 7. Некоторые геометрические приложенияа потомуds =pp(dx)2 + (dy)2 = (dr)2 + r2 (dθ)2 ,249(42)и равенство α = µ + θ дает нам, если мы разделим числитель изнаменатель на dθ:R=±[(dr2 ) + r2 (dθ)2 ]1/2ds(r2 + r′2 )1/2=.=±dαdµ + dθ1 + dµdθИз формулы же (411 ) имеемµ = arctgr,r′dµ1r′2 − r′′r′2 − rr′′=·= 2,2′2dθrr + r′21 + rr′где r′ и r′′ — производные первого и второго порядка от r по θ.Подставляя полученные выражения производных в предыдущуюформулу, будем иметь для радиуса кривизны:R=±(r2 + r′2 )3/2.r2 + 2r′2 − rr′′(43)83.
Спирали. Разберем три вида спиралей:спираль Архимеда:r = aθ,спираль гиперболическую:rθ = a,(a > 0; b > 0),aθспираль логарифмическую: r = be .Рис. 105.Спираль Архимеда имеет вид, изображенный на рис. 105, причем пунктир соответствует части кривой при θ < 0. Отрицательным значениям θ соответствуют и отрицательные значения r, и их над откладыватьв направлении, противоположном тому направлению, которое определяется значени-ем θ.Всякий радиус-вектор встречает кривую бесчисленное множествораз, причем расстояние между каждыми двумя последовательными точками пересечения есть величина постоянная, равная 2aπ. Это видноиз того, что направление радиуса-вектора, соответствующее некоторому250Гл. II.
Понятие о производной и его приложения[83Рис. 106.данному значению θ, не меняется, если к θ прибавить 2π, 4π . . . ; длинаже r, определяемая из уравнения r = aθ, будет получать приращения2aπ, 4aπ, . . .Гиперболическая спираль изображена на рис. 106. Предполагая θ > 0,исследуем, что будет происходить с кривой, когда θ стремится к нулю.Уравнениемar=θпоказывает, что r будет стремиться при этом к бесконечности. Возьмемнекоторую точку M на кривой при достаточно малом значении θ и опустим перпендикуляр M Q на полярную ось X.
Из прямоугольного треугольника M OQ получим (рис. 106):QM = r sin θ =a sin θ,θа при стремлении θ к нулюlim QM = lim aθ→0θ→0sin θ= a.θИтак, расстояние между точкой M кривой и полярной осью, пристремлении θ к нулю, стремятся к a, и кривая будет иметь асимптотуLK, параллельную полярной оси и проведенную на расстоянии a от нее.Далее, видим, что r не обращается в нуль ни при каких конечных значениях θ, а только стремится к нулю, когда θ стремится к бесконечности.Кривая будет поэтому беспредельно приближаться к полюсу O, закручиваясь около него, но никогда не пройдет через O в противоположностьспирали Архимеда.
Такая точка называется, вообще, асимптотическойточкой кривой.Логарифмическая спираль изображена на рис. 107.84]§ 7. Некоторые геометрические приложения251При θ = 0, r = b и при стремлении θ к (+∞) иr стремится к (+∞), а при стремлении θ к (−∞) rстремится к нулю, никогда не обращаясь в нуль. Врассматриваемом случаеr ′ = abeaθиtg µ =1r= ,r′aРис.
107.т. е. радиус-вектор образует с касательной к логарифмической спирали постоянный угол µ.84. Улитки и кардиоида. Построим круг на диаметре OA =2a (рис. 108); из точки O, лежащей на окружности, будем проводитьрадиусы-векторы и на каждом из них будем откладывать постояннуювеличину h = DM от точки пересечения D этой прямой с окружностью.Геометрическое место точек M называется вообще улиткою.Замечая, чтоOD = 2a cos θ и OM = r,находим уравнение улиткиr = 2a cos θ + h.Рис. 108.Рис.
109.Если h > 2a, то уравнение это дает для r только положительные значения, и соответствующая кривая изображена на рис. 109. Если h < 2a,252Гл. II. Понятие о производной и его приложения[84то r будет принимать и отрицательные значения, кривая имеет вид, изображенный на рис. 110. В точке O кривая пересекает самое себя. Наконец,при h = 2a уравнение улитки будетr = 2a(1 + cos θ),т.
е. в этом случае улитка представляет собою кардиоиду [80], котораятолько иначе расположена, чем в [80] (рис. 111). Значению θ = π будетсоответствовать r = 0, т. е. кривая пройдет через точку O.Рис. 110.Рис. 111.Определим первую и вторую производные от r по θ:r ′ = −2a sin θ,r ′′ = −2a cos θ.Вычислим tg µ:tg µ =2a(1 + cos θ)θr== − ctg = tgr′−2a sin θ2то естьθπ+22,θπ+ .(44)22Как было показано раньше [80], кардиоиду можно себе представитькак кривую, описанную точкой круга, катящегося по упомянутому вышекругу с диаметром OA = 2a, причем диаметр катящегося круга равендиаметру неподвижного круга.
Пусть C — центр неподвижного круга,M — некоторая точка кардиоиды, N — точка касания катящегося кругаµ=85]§ 7. Некоторые геометрические приложения253в его положении, соответствующем этой точке, с неподвижным кругом, иN N1 — диаметр подвижного круга (рис. 111). Выше [80] мы видели, чтопрямые OM и CN1 — параллельны3 , т. е.
угол ACN = θ и, следовательно,дуга N M = дуге ON = π − θ.Угол M N1 N , как вписанный, опирающийся на дугу N M , равен π2 − 2θ ,и, наконец, угол, образованный направлениями OM и N1 M , равенθπθπ−= + = µ,π−2222откуда видно, что N1 M и есть касательная к кардиоиде в точке M . Мыполучаем, таким образом, следующее правило:Чтобы построить касательную к кардиоиде в ее точке M , достаточно соединить эту точку с концом N1 того диаметра катящегосякруга, другой конец которого находится в точке касания катящегосякруга с неподвижным; нормаль пройдет по прямой M N .Выведенное выше правило построения касательной к кардиоиде получается просто из кинематических соображений.
Известно, что вообщедвижение неизменяемой системы на плоскости в каждый данный моментсводится к вращению вокруг неподвижной точки (мгновенного центра),причем, вообще говоря, положение этой точки меняется с течением времени. В случае качения, указанного на рис. 111, мгновенный центр естьточка соприкосновения N катящегося круга с неподвижным, и, следовательно, скорость движущейся точки M , направленная по касательнойк кардиоиде, перпендикулярна к лучу N M , т. е. этот луч есть нормальк кардиоиде, а перпендикулярная к нему прямая N1 M — касательнаяк кардиоиде.
Из этих соображений следует, что приведенное правилопостроения касательной годится, вообще, для кривых, описанных некоторой точкой окружности, катящейся без скольжения по неподвижнойкривой.85. Овалы Кассини и лемниската. Овалы Кассини получаютсякак геометрическое место точек M , для которых произведение расстояний от двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная:F1 M · F2 M = b2 .Обозначим длину F1 F2 через 2a, направим полярную ось по линииF1 F2 и полюс O поместим в середине отрезка F1 F2 .
Из треугольников3В[80] эти две прямые были KM и ON1 (рис. 99).254Гл. II. Понятие о производной и его приложения[85OM F1 и OM F2 (рис. 112) находимF1 M 2 = r 2 + a2 + 2ar cos θ,F2 M 2 = r 2 + a2 − 2ar cos θ.Подставляя эти выражения в уравнение овалов и возводя его обе частив квадрат, получим после элементарных преобразованийr 4 − 2a2 r 2 cos 2θ + a4 − b4 = 0,откудаr 2 = a2 cos 2θ ±2pa4 cos2 2θ − (a4 − b4 ).Случаи, соответствующие a < b2 и a2 > b2 , изображены на рис. 112,причем второму случаю соответствует кривая, состоящая из двух отдельных замкнутых кривых.
Мы рассмотрим более подробно лишь тот важный случай, когда a2 = b2 . Соответствующая кривая называется лемнискатой, и ее уравнение будетr 2 = 2a2 cos 2θУравнение это дает вещественные значения для r, только когдаcos 2θ > 0, т. е. когда θ лежит в одном из промежутков π3π 5π7π,,, 2π ,,0,44 44причем r обращается в нуль приθ=π,43π,45π,47π.4Нетрудно на основании этих соображений построить кривую(рис. 113).Рис. 112.Рис.