1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал — подынтегральному выражению:ZZf (x)dx′= f (x),df (x)dx = f (x)dx.(15)xIII. Одновременно с (15) мы имеемZF ′ (x)dx = F (x) + C,и эту формулу можно еще переписать так [50]:ZdF (x) = F (x) + C,(16)Rчто в соединении со свойством II дает: рядом стоящие знаки d и ,в каком бы порядке они не следовали, взаимно уничтожаются, если условиться отбрасывать произвольную постоянную в равенствемежду неопределенными интегралами.276Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[90IV. Постоянный множитель можно выносить из-под знакаинтеграла:ZZAf (x)dx = A f (x)dx + C 5 .V. Интеграл от алгебраической суммы равен алгебраическойсумме интегралов от каждого слагаемого:ZZZZ(u + v − w)dx = udx + vdx − wdx + C.(18)Правильность формул (17) и (18) нетрудно обнаружить, дифференцируя обе части и убеждаясь в тождественности полученныхпроизводных.
Например, для равенства (17):Z′Af (x)dx = Af (x), Z′Z′A f (x)dx + C = Af (x)dx = Af (x).90. Таблица простейших интегралов. Для получения этойтаблицы достаточно прочесть в обратном порядке таблицу простейших производных [49], после чего мы получимZdx = x + C,Zxm+1+ C, если m 6= −1,xm dx =m+1Zdx= log |x| + C,x5 Иногда не пишут произвольного постоянного слагаемого после неопределенного интеграла, подразумевая, что неопределенный интеграл уже содержиттакое слагаемое.
Равенство (17) при этом будетZZAf (x)dx = A f (x)dx.91]§ 8. Неопределенный интегралZZZax dx =Zax+ C,log aZsin xdx = − cos x + C,dx= tg x + C,cos2 xZdx= arctg x + C,1 + x2277ex dx = ex + C,cos xdx = sin x + C,Zdx= − ctg x + C,sin2 xZdx√= arcsin x + C.1 − x2Для проверки этой таблицы достаточно установить, что производная правой части равенства тождественна с подынтегральнойфункцией левой части. Вообще, зная ту функцию, от которой данная функция f (x) есть производная, мы тем самым получаем еенеопределенный интеграл.
Но обыкновенно, даже в самых простыхслучаях, заданные функции не находятся в таблице интегралов, чтои делает задачу интегрального исчисления гораздо более трудной,чем задачу дифференциального исчисления. Все дело приводится кпреобразованию данного интеграла к таким, которые заключаютсяв таблице простейших.Преобразование это требует навыка и практики и облегчаетсяприменением нижеследующих основных правил интегрального исчисления, а также свойств IV, V из [89].91. Правило интегрирования по частям.
Мы знаем, чтоесли x, v — две какие угодно функции от x с непрерывными производными, то [50]d(uv) = udv + vdu,илиudv = d(uv) − vdu.В силу свойств I, V и III мы заключаем отсюдаZZZZZudv = [d(uv)−vdu]+C = d(uv)− vdu+C = uv − vdu+C,что и дает формулу интегрирования по частям:ZZudv = uv − vdu.(19)278Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[91RRОна сводит вычисление интеграла udv к вычислению интеграла vdu, причем этот последний может оказаться более простым.П рZи м е р ы.1.log xdx.Полагая здесьu = log x,dx = dv,имеем прежде всегоdu =dx,xv = x,откуда, в силу (19),ZZdx= x log x − x + C.log xdx = x log x − xxНа практике отдельные преобразования выписывать не нужно; вседействия производятся по возможности в уме.ZZZZZ2.
ex x2 dx= x2 · ex dx= x2 dex =x2 ex − ex dx2 =x2 ex −2 ex xdx,∗ZZZex xdx = xdex = xex − ex dx = ex x − ex ,что дает окончательноZ3.ex x2 dx = ex [x2 − 2x + 2] + C.ZZZsin x · x3 dx = x3 · sin xdx = x3 d(− cos x) =(1)ZZ= −x3 cos x − (− cos x)dx3 = −x3 cos x + 3 x2 · cos xdx =(2)ZZ= −x3 cos x + 3 x2 d sin x = −x3 cos x + 3x2 sin x − 3 sin xdx2 = (3)Z= −x3 cos x + 3x2 sin x − 6 x sin xdx =(4)∗ Здесь использовано так называемое внесение под дифференциал ex dx =dex . Это делается по формуле f ′ (x)dx = df (x) с учетом того, что (ex )′ = ex .Этот прием используется и в последующих примерах.92]§ 8. Неопределенный интеграл= −x3 cos x + 3x2 sin x − 6Zxd(− cos x) =Z= −x3 cos x + 3x2 sin x + 6x cos x − 6 cos xdx == −x3 cos x + 3x2 sin x + 6x cos x − 6 sin x + C.279(5)(6)(7)Способ, показанный в этих примерах, применяется, вообще, привычислении интегралов типа:ZZZeax xm dx,sin bx · xm dx,cos bx · xm dx,где m есть любое целое положительное число; нужно заботитьсялишь о том, чтобы при последовательных преобразованиях степеньx все время понижалась, пока не дойдет до нулевой.92.
Правило замены переменных. Примеры. Интегралf (x)dx часто можно упростить, введя вместо x новую переменную t, положивx = ϕ(t).(20)RДля преобразования неопределенного интеграла к новой переменной t по формуле (20) достаточно преобразовать к новой переменной его подынтегральное выражение:ZZf (x)dx = f [ϕ(t)]ϕ′ (t)dt + C.(21)Для доказательства в силу свойства I [89] нам достаточно установить совпадение между дифференциалами от левой и правой частей формулы (21). Произведя дифференцирование, имеемZdf (x)dx = f (x)dx = f [ϕ(t)]ϕ′ (t)dt,Zdf [ϕ(t)]ϕ′ (t)dt = f [ϕ(t)]ϕ′ (t)dt.Часто вместо подстановки (20) употребляют обратнуюt = ψ(x)280Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[92иψ ′ (x)dx = dt.П рZи м е р ы.1.(ax + b)m dx(при m 6= −1).Для упрощения интеграла полагаемax + b = t,adx = dt,dx =dt.aПодставив это в данный интеграл, находимZZ1 tm+11 (ax + b)m+11tm dt =+C =+ C.(ax + b)m dx =aam+1am+1ZZ1dt1dxlog(ax + b)== log t + C =+ C.2.ax + bataaZZZxd a1dx1dxx ==3.
= arctg + Cx 2x2a2 + x2aaa21+ aa 1 + a2x.подстановка t =aZZxd axdx√q4.= = arcsin a + C.a2 − x2x 21− aZdx√.5.x2 + aДля вычисления этого интеграла употребляется подстановка Эйлера,о которой более подробно сказано ниже. Новая переменная t вводитсяздесь по формулеppx2 + a = t − x, t = x + x2 + a.Для определения x и dx возвышаем в квадрат:x2 + a = t2 − 2tx + x2 ,px2 + a = t −t2 − at2 + a=,2t2t1at2 − a=t−,2t2t1a1 t2 + a1 + 2 dt =dt.dx =2t2 t2x=Подставив все это в данный интеграл, имеем92]§ 8. Неопределенный интегралZ√dx=x2 + a6.
ИнтегралZt22812t1 t2 + a·dt =+ a 2 t2Zpdt= log t + C = log x + x2 + a + C.=tZdxx2 − a2вычисляется при помощи особого приема, с которым мы познакомимсяподробнее позже, а именно при помощи разложения подынтегральнойфункции на простейшие дроби.Разложив знаменатель подынтегральной функции на множители:x2 − a2 = (x − a)(x + a),представим ее в виде суммы более простых дробей:AB1=+.x2 − a2x−ax+aДля определения постоянных A и B освобождаемся от знаменателя,что дает тождество1 = A(x + a) + B(x − a) = (A + B)x + a(A − B),которое должно иметь место при всех значениях x.
Оно будет выполнено,если определим A и B из условийa(A − B) = 1,A + B = 0,A = −B =1 ∗.2aИтак, имеем1111=−,x2 − a2 2a x − ax+aZZZ1dxdxdx=−=x2 − a2 2ax−ax+a11x−a= [log(x − a) − log(x + a)] + C =log+ C.2a2ax+a∗ Здесь использован метод неопределенных коэффициентов.
Коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа приравниваются, при этомполучается система уравнений для неизвестных коэффициентов.282Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[927. Интегралы более общего вида:Zmx + ndxx2 + px + qприводятся к разобранным уже раньше, если в знаменателе подынтегральной функции выделить полный квадрат. ИмеемПолагаем далееp2p 2+q− .x2 + px + q = x +24x+p= t,2x=t−p,2dx = dt,что даетp+ n = At + B,mx + n = m t −2. Положив, наконец,где мы положили A = m и B = n − mp2q−p2= ±a2 ,4где знак (+) или (−) нужно взять в зависимости от знака левой частиэтого равенства и a считается положительным, мы можем переписатьданный интеграл в виде:ZZZZdtmx + nAt + Btdtdt+B.dx==Ax2 + px + qt2 ± a2t2 ± a2t2 ± a2Первый из этих интегралов вычисляется сразу, если положитьt2 ± a2 = z,что даетZ1tdt=t2 ± a22Z2tdt = dz,dz11= log z = log(t2 ± a2 ).z22Второй же интеграл имеет вид, разобранный в примерах 3 (+) и 6(−).8.
Интегралы вида:Zmx + npdxx2 + px + q92]§ 8. Неопределенный интеграл283приводятся к разобранным выше тем же приемом выделения полногоквадрата. Применяя обозначения примера 7, можем переписать данныйинтеграл в виде:ZpZmx + nAt + B√dt =dx =2t2 + bx + px + qZZdtp2tdt2√√+B.b = ±a = q −=A4t2 + bt2 + bПервый из этих интегралов вычисляется при помощи подстановкиt2 + b = z 2 ,2tdt = 2zdz,которая даетZ√tdt=t2 + bZzdz=zZdz = z =pt2 + b.√Второй интеграл уже разобран в примере 5 и равен log(t + t2 + b).9.
Аналогичным приемом выделения полного квадрата интегралZmx + npdxq + px − x2можно привести к виду:ZZdttdt√√+ B1,A1a2 − t2a2 − t2и имеемZ√ptdt= − a2 − t2 + C22a −tпри помощи подстановки a2 − t2 = z 2 . Второй интеграл разобран в примере 4.
ZZ111 − cos 2xdx =x − sin 2x + C =10. sin2 xdx =2221= (x − sin x cos x) + C.2ZZ111 + cos 2x2dx =x + sin 2x + C =cos xdx =2221= (x + sin x cos x) + C.2284Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения11. ИнтегралZ p[93x2 + a dxприводится к разобранному уже при помощи интегрирования по частям:Z px2+ a dx =x=xppx2+a−x2 + a −ZZx·d√px2 + a =x2dx.x2 + aПрибавив и вычтя a в числителе подынтегральной функции последнегоинтеграла, перепишем предыдущее равенство в виде:Z px2 + a dx = xили2Z px2 + a −x2 + a dx = xоткуда окончательноZ ppx2 + a dx =Z ppx2 + a dx + ax2 + a + aZ√Z√dx,x2 + adx,x2 + ap1 p 2[x x + a + a log(x + x2 + a)] + C.293.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
