1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 46
Текст из файла (страница 46)
В написанной формуле знакравенства имеет место, как нетрудно понять, лишь в том случае,когда f (x) не меняет знака в промежутке (a, b).Из того же свойства VII вытекает весьма важная теорема.Т е о р е м а о с р е д н е м. Если функция ϕ(x) сохраняет знак впромежутке (a, b), тоZbaf (x)ϕ(x)dx = f (ξ)Zbaϕ(x)dx,(11)296Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[95где ξ есть некоторое значение, принадлежащее промежутку (a, b).Будем для определенности считать ϕ(x) > 0 в промежутке (a, b)и обозначим через m и M соответственно наименьшее и наибольшеезначения f (x) в промежутке (a, b).
Так как, очевидно,m 6 f (x) 6 M(причем оба знака равенства имеют место одновременно, толькокогда f (x) постоянна) и ϕ(x) > 0, тоmϕ(x) 6 f (x)ϕ(x) 6 M ϕ(x),и в силу свойства VII, считая b > a,mZbϕ(x)dx 6aZbf (x)ϕ(x)dx 6 MaZbϕ(x)dx.aОтсюда ясно, что существует такое число P , удовлетворяющеенеравенству m 6 P 6 M , чтоZbaf (x)ϕ(x)dx = PZbϕ(x)dx.(12)aТак как функция f (x) непрерывна, она принимает в промежутке (a, b) все значения, лежащие между наименьшим m и наибольшим M , в том числе и значение P [35]. Поэтому найдется такоезначение ξ внутри промежутка (a, b), для которогоf (ξ) = P,что и доказывает формулу (11).Если ϕ(x) 6 0 в промежутке (a, b), то −ϕ(x) > 0 в промежутке(a, b).
Применяя к ней доказанную теорему, получимZbaf (x)[−ϕ(x)]dx = f (ξ)Zba[−ϕ(x)]dx;96]§ 9. Свойства определенного интеграла297вынося знак (−) за знак интеграла и умножая обе части на (−1),придем к формуле (11).Точно так же, если b < a, то из предыдущего следует формула:Zaf (x)ϕ(x)dx = f (ξ)bZaϕ(x)dx.bПереставляя в обеих частях пределы интегралов и умножая на(−1), придем к формуле (11), которая доказана, таким образом, вовсей общности.В частности, полагая ϕ(x) = 1, получим важный частный случай теоремы о среднем:Zbaf (x)dx = f (ξ)Zbadx = f (ξ)(b − a).(13)Значение определенного интеграла равно произведению длиныпромежутка интегрирования на значение подынтегральной функции при некотором промежуточном значении независимой переменной.Если a > b, эту длину нужно взять со знаком (−).
Геометрически предложение это равносильно тому, что, рассматривая площадь, ограниченнуюлюбой кривой, осью OX и двумя ординатами x = a, x = b,Рис. 123.всегда можно найти равновеликий ей прямоугольник с тем же основанием (b − a) и с высотой,равной одной из ординат кривой в промежутке (a, b) (рис. 123).Нетрудно показать, что число ξ, входящее в формулу (11) или(13), всегда можно считать лежащим внутри промежутка (a, b).96. Существование первообразной функции. VIII. Есливерхний предел определенного интеграла есть величина перемен-298Гл. III.
Понятие об интеграле и его приложения[96ная, то производная интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции при этом верхнем пределе.∗Заметим, что величина интегралаZbf (x)dxaпри данной подынтегральной функции f (x) зависит от пределовинтегрирования a и b. Рассмотрим интегралZxf (t)dtaс постоянным нижним пределом a и переменным верхним пределомx, причем переменную интегрирования мы обозначаем буквою t вотличие от верхнего предела x. Величина этого интеграла будетфункцией верхнего предела x:F (x) =Zxf (t)dt(14)aи, надо доказать, чтоdF (x)= f (x).dxДля доказательства вычислим производную функцию F (x), исходя из определения производной [45]:F (x + h) − F (x)dF (x)= lim.h→±0dxhМы имеемF (x + h) =x+hZf (t)dt =a∗Zxaf (t)dt +x+hZf (t)dtxЭто утверждение справедливо, если подинтегральная функция являетсянепрерывной.96]§ 9.
Свойства определенного интеграла299(в силу свойства IV), откудаx+hZF (x + h) = F (x) +f (t)dt,xпричемF (a) =Zaf (t)dt = 0.aПрименяя (13), имеемF (x + h) − F (x) =x+hZf (t)dt = f (ξ)h,xгде h может быть как положительным, так и отрицательным, еслиa < x < b; h > 0 при x = a и h < 0 при x = b. Число ξ принадлежит промежутку, концы которого суть x и x + h, так что если hстремится к нулю, то ξ стремится к x и f (ξ) — к f (x) в силу непрерывности этой функции. Из последней формулы непосредственноследует, что F (x) — непрерывная функция при a 6 x 6 b, т. е. определенный интеграл, рассматриваемый как функция верхнего предела, есть непрерывная функция в промежутке (a, b).
Деля обечасти последней формулы на h:F (x + h) − F (x)= f (ξ)hи устремляя h к нулю (h → +0 при x = a и h → −0 при x = b),получимdF (x)= lim f (ξ) = f (x).F ′ (x) =ξ→xdxОб определении производной на концах замкнутого промежуткамы уже говорили в [46].Из предыдущего следует также, что:IX. Всякая непрерывная функция f (x) имеет первообразнуюфункцию или неопределенный интеграл.300Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[97Функция (14) есть та первообразная функция для f (x), котораяобращается в нуль при x = a.Если F1 (x) есть одно из выражений первообразной функции,то, как мы видели в [88],Zbaf (x)dx = F1 (b) − F1 (a).(15)97. Разрыв подынтегральной функции. Во всех предыдущих рассуждениях предполагалось, что подынтегральная функцияf (x) непрерывна во всем промежутке интегрирования (a, b).Введем теперь понятие интеграла и для некоторых разрывныхфункций.Если в промежутке (a, b) имеется точка c, в которой подынтегральная функция f (x) терпит разрыв, но при этом интегралы′c−εZZbf (x)dx,af (x)dx(a < b)c+ε′′стремятся к определенным пределам, когда положительные числаε′ и ε′′ стремятся к нулю, то эти пределы называются определенными интегралами от функции f (x), взятыми соответственномежду пределами (a, c) и (c, b), т.
е.Zcf (x)dx = ′limε →+0aZbf (x)dx = ′′lim′c−εZf (x)dx,aZbε →+0c+ε′cf (x)dx,если эти пределы существуют.Мы положим в этом случаеZbaf (x)dx =Zcaf (x)dx +Zbcf (x)dx.97]§ 9. Свойства определенного интеграла301Функция F (x), определенная формулой (14), обладает, какнетрудно видеть, следующими свойствами:F ′ (x) = f (x) во всех точках (a, b), кроме x = c, и F (x) непрерывна во всем промежутке (a, b), включая x = c.Если точка c совпадает с одним из концов промежутка (a, b),надо рассматривать вместо двух только один из пределов:limZbε→+0a+εf (x)dxилиb−εZlimf (x)dx.ε→+0aНаконец, если точек разрыва c в промежутке (a, b) не одна, анесколько, то нужно разбить промежуток на части, в каждой изкоторых будет уже только по одной точке разрыва.При сделанном выше соглашении о смысле символаZbf (x)dxaсвойство IX и формула (15)Zbaf (x)dx = F1 (b) − F1 (a)будут наверно иметь место, если F1′ (x) = f (x) во всех точках(a, b), кроме x = c, и F1 (x) непрерывна во всем промежутке (a, b),включая x = c.Утверждение это достаточно доказать для случая одной точкиразрыва c внутри промежутка (a, b), так как случай несколькихточек разрыва и случай, когда c = a или b, исследуются совершенноаналогичным образом.Так как в промежутках (a, c − ε′), (c + ε′′ , b) функция f (x) такженепрерывна, то к этим промежутками применима формула (15), и302Гл.
III. Понятие об интеграле и его приложениямы имеем[97′c−εZaZbf (x)dx = F1 (c − ε′ ) − F1 (a),f (x)dx = F1 (b) − F1 (c + ε′′ ).c+ε′′В силу непрерывности F1 (x) мы можем написатьZcf (x)dx = ′lim [F1 (c − ε′ ) − F1 (a)] = F1 (c) − F1 (a),Zbf (x)dx = ′′lim [F1 (b) − F1 (c + ε′′ )] = F1 (b) − F1 (c),acε →+0ε →+0т. е.Zbaf (x)dx =Zcaf (x)dx +Zbf (x)dx =c= [F1 (c) − F1 (a)] + [F1 (b) − F1 (c)] = F1 (b) − F1 (a),что и требовалось доказать.С точки зрения геометрической, рассмотренный случай встречается всегда,когда кривая y = f (x) имеет разрыв в точке c, но так, что площадь кривой все жесуществует.
Рассмотрим, например, график функции, определенной следующимобразом:1x+22f (x) = xf (x) =при0 6 x < 2,при26x63Рис. 124.(рис. 124). Площадь, ограниченная этойкривой, осью OX, ординатой x = 0 и переменной ординатой x = x1 , есть97]§ 9. Свойства определенного интеграла303непрерывная функция от x, несмотря на то, что функция f (x) терпитразрыв при x = 2. С другой стороны, нетрудно найти первообразнуюфункцию для f (x), которая была бы непрерывна во всем промежутке(0, 3).
Это будет, например функция F1 (x), определяемая следующим образом:xx2+42x2F1 (x) =2F1 (x) =при0 6 x 6 2,при2 6 x 6 3.Действительно, дифференцируя, убеждаемся, чтоF1′ (x) =1x+22в промежутке (0, 2) и F1′ (x) = x в промежутке (2, 3). Кроме того, обанаписанных выражения F1 (x) при x = 2 дают одну и ту же величину 2,что и обеспечивает непрерывность F1 (x). Площадь, ограниченная нашейкривой, осью OX и ординатами x = 0, x = 3, выразится формулойZ30f (x)dx =Z20f (x)dx +Z3f (x)dx = F1 (3) − F1 (0) =9,22в чем нетрудно убедиться и непосредственным рассмотрением чертежа.Рис. 125.Рассмотрим еще функцию y = x−2/3 (рис. 125). Она обращается вбесконечность при x = 0, но ее первообразная функция 3x1/3 остается304Гл.
III. Понятие об интеграле и его приложения[97непрерывной при этом значении x, а потому можем написатьZ+1+1x−2/3 dx = 3x1/3 = 6;−1−1другими словами, хотя рассматриваемая кривая при приближении x кнулю уходит в бесконечность, тем не менее она имеет совершенно определенную площадь между ординатами x = −1 и x = 1.Для функции x12 первообразная функция − x1 обращается сама вбесконечность при x = 0, формула (15) неприменима к этой функции втом случае, когда точка 0 лежит внутри промежутка (a, b); кривая x12 втаком промежутке конечной площади не имеет.Заметим, что интегралы от разрывных функций в конечномпромежутке (a, b) в некоторых случаях имеют смысл и непосредственно, как пределы сумм, указанных в начале [94].
Это будетиметь, например, место в том случае, когда f (x) имеет конечноечисло точек разрыва в промежутке (a, b) и ограничена в нем, т. е.существует такое положительное число M , что |f (x)| < M при всехx из (a, b). Значения в точках разрыва не влияют при этом на величину интеграла. Мы будем говорить об этом в [116].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
