1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 43
Текст из файла (страница 43)
119.t. Таким образом, мы можем написать:Sax =Zxf (t)dt.(11)aЗдесь мы имеем определенный интеграл с переменнымверхним пределом x, и его величина есть, очевидно, функция этого предела. Покажем,что эта функция является одной из первообразных функций для f (x). Для вычисРис. 120.ления производной от этойфункции рассмотрим сперва ее приращение ∆Sax , соответствующее приращению ∆x независимой переменной x. Очевидно, имеем(рис. 120):∆Sax = площ. P1 P QQ1 .Обозначим через m и M , соответственно, наименьшую и наибольшую ординаты графика f (x) в промежутке (x, x + ∆x). Криволинейная фигура P1 P QQ1 , начерченная в большом масштабе нарис. 120, будет целиком лежать внутри прямоугольника с высотойM и основанием ∆x и будет заключать внутри себя прямоугольникс высотой m и тем же основанием, а потомуm∆x 6 ∆Sax 6 M ∆x,или, разделив на ∆x:m6∆Sax6 M.∆x270Гл.
III. Понятие об интеграле и его приложения[88Когда ∆x → 0, обе величины m и M в силу непрерывностифункции f (x) стремятся к общему пределу — ординате P1 P = f (x)кривой в точке x, а потомуlim∆Sax= f (x),∗∆xчто мы и хотели доказать. Полученный результат мы можем формулировать следующим образом: определенный интеграл с переменным верхним пределомZxf (t)dtaесть функция этого верхнего предела, производная от которойравна подынтегральной функции f (x) при верхнем пределе. Иначеговоря, определенный интеграл с переменным верхним пределоместь первообразная функция для подынтегральной функции.Установив связь между понятиями определенного и неопределенного интегралов, покажем теперь, каким образом можно вычислять величину определенного интегралаZbf (x)dx,aесли известна какая-либо первообразная функция F (x) для f (x).Как мы показали, определенный интеграл с переменным верхнимпределом есть тоже первообразная функция для f (x), и в силу [86]можем написатьZxf (t)dt = F (x) + C,(12)aгде C есть некоторая постоянная.
Для определения этой постоянной заметим, что если у площади Sax правая ордината совпадает∗ Здесь, вообще говоря, неявно используется предположение о непрерывности функции f (x).88]§ 8. Неопределенный интеграл271с левой, т. е. x = a, то величина площади обращается, очевидно, внуль, т. е. левая часть в формуле (12) обращается в нуль при x = a.Следовательно, тождество это при x = a дает0 = F (a) + C,т. е. C = −F (a).Подставляя найденное значение C в (12), получимZxaf (t)dt = F (x) − F (a).Наконец, полагая здесь x = b, будем иметьZbaf (t)dt = F (b) − F (a)илиZbaf (x)dx = F (b) − F (a).∗(13)Разность вида [F (b)−F (a)] будем в дальнейшем обозначать симbволом F (x) .aМы приходим, таким образом, к следующему основному правилу, выражающему величину определенного интеграла через значение первообразной функции: величина определенного интеграла равна разности значений первообразной функции для подынтегральной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.Формулированное правило показывает, что нахождение первообразной функции, т.
е. решение первой задачи интегрального исчисления, решает и вторую задачу, т. е. вычисление определенного интеграла, и освобождает, таким образом, нас при вычисленииопределенного интеграла от сложных операций образования суммы(6) и перехода к пределу.В качестве примера найдем определенный интегралZ1x2 dx.0∗Эта формула часто называется формулой Ньютона—Лейбница.272Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[88Первообразной функцией для x2 является функция 13 x3 [86].Пользуясь выведенным нами правилом, будем иметьZ1x2 dx =01111 3 1x = · 13 − · 03 = .3 0333Если бы мы, не пользуясь первообразной функцией, стали вычислять предложенный определенный интеграл непосредственно изего определения как предела суммы, то пришли бы к гораздо болеесложному вычислению, которое вкратце воспроизведем. Разобьемпромежуток (0, 1) на n равных частей точками0<2n−11< < ...
<< 1.nnnВ данном случае мы имеем n следующих промежутков: 1 22 3n−11,,,...,,,,1 ,0,nn nn nnдлина каждого из которых равна n1 . При составлении суммы (6)примем за ξk левый конец промежутка, т. е.ξ1 = 0,ξ2 =1,nξ3 =2n−1, . . . , ξn =.nnВсе разности xk − xk−1 = n1 , и, замечая, что значения подынтегральной функции f (x) = x2 на левых концах промежутков будут:f (ξ1 ) = 0,f (ξ2 ) =1,n2f (ξ3 ) =22(n − 1)2,,...,f(ξ)=nn2n2можем написатьZ102x dx = limn→∞1 122 1(n − 1)2 11·=0 · + 2 · + 2 · + ...+n n n n nn2n12 + 22 + . . .
+ (n − 1)2. (14)n→∞n3= lim88]§ 8. Неопределенный интеграл273Для вычисления суммы, стоящей в числителе, напишем ряд очевидных равенств:(1 + 1)3 = 1 + 3 · 1 + 3 · 12 + 13(1 + 2)3 = 1 + 3 · 2 + 3 · 22 + 23(1 + 3)3 = 1 + 3 · 3 + 3 · 32 + 33...................................................[1 + (n − 1)]3 = 1 + 3(n − 1) + 3(n − 1)2 + (n − 1)3 .Складывая почленно, получим23 + 33 + . .
. + n3 = (n − 1) + 3[1 + 2 + . . . + (n − 1)]++ 3[12 + 22 + . . . + (n − 1)2 ] + 13 + 23 + . . . + (n − 1)3 .Производя сокращения и применяя формулу суммы арифметической прогрессии, можем написатьn3 = (n − 1) + 3n(n − 1)+ 3[12 + 22 + 32 + . . . + (n − 1)2 ] + 1,2откуда12 + 22 + 32 + . . . + (n − 1)2 =n(n − 1)(2n − 1)n3 − n n(n − 1)−=.326Подставив полученное выражение в (14), имеемZ102 1n(n − 1)(2n − 1) 111= lim 1 −= = .x dx= lim2−3n→∞n→∞6n6nn6 32Уяснив основные задачи интегрального исчисления и связь между ними, мы посвятим следующий номер дальнейшему рассмотрению первой задачи интегрального исчисления, а именно задаче выяснения свойств неопределенного интеграла и его разыскания.Наши предыдущие рассуждения об определенном интеграле основывались на чисто геометрических соображениях, а именно на274Гл.
III. Понятие об интеграле и его приложения[89рассмотрении площадей Sab и Sax . В частности, доказательство основного факта, что сумма (6) имеет предел, исходило из допущения,что для всякой непрерывной кривой имеется определенная площадьSab . При всей наглядности такого допущения оно не является строго обоснованным, и единственно математически строгий путь былбы обратный: не опираясь на геометрическую интерпретацию, доказать непосредственно аналитическим путем существование предела S суммыnXk=1f (ξk )(xk − xk−1 ),каковой потом уже принять за определение площади Sab .
Это доказательство мы приведем в конце настоящей главы и притом приболее общих предположениях относительно функции f (x), чем еенепрерывность.Заметим еще, что геометрическая интерпретация являлась существенным моментом и при доказательстве того основного предложения, что при непрерывности подынтегральной функции производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции при верхнем пределе. В следующемпараграфе настоящей главы мы приведем и строгое аналитическое доказательство этого предложения. Оно, совместно с доказательством существования определенного интеграла от непрерывной функции, позволяет утверждать, что для всякой непрерывнойфункции имеется первообразная, т.
е. неопределенный интеграл.Дальше мы выясним основные свойства неопределенного интеграла, и будем считать, что имеем дело лишь с непрерывными функциями.При изложении свойств определенного интеграла мы строго докажем основную формулу (13). Таким образом, единственным недоказанным фактом останется факт существования предела суммы(10) для непрерывной функции f (x). Это доказательство, как мыуже сказали, приводится в конце главы.89. Свойства неопределенного интеграла. В [86] мы видели, что две первообразные функции для одной и той же функции89]§ 8. Неопределенный интеграл275отличаются лишь постоянным слагаемым. Это приводит нас к первому свойству неопределенного интеграла.I.
Если две функции или два дифференциала тождественны,то неопределенные интегралы от них могут отличаться лишьна постоянное слагаемое.Наоборот, чтобы проверить, что две функции отличаются постоянным слагаемым, достаточно показать, что их производные(или дифференциалы) тождественны.Следующие свойства II и III непосредственно вытекают из понятия о неопределенном интеграле как первообразной функции, т. е.из того, что неопределенный интегралZf (x)dxесть такая функция, производная которой по x равна подынтегральной функции f (x), или дифференциал которой равен подынтегральному выражению f (x)dx.II.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
