1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

Рассмотримсумму площадей этих средних прямоугольниковSn′ = f (ξ1 )(x1 − x0 ) + f (ξ2 )(x2 − x1 ) + . . . + f (ξk )(xk − xk−1 )++ . . . + f (ξn−1 )(xn−1 − xn−2 ) + f (ξn )(xn − xn−1 ). (6)Она, так же как и площадь Sab , будет заключаться между суммамиплощадей входящих и выходящих прямоугольников, т. е. мы будемиметь неравенствоsn 6 Sn′ 6 Sn .(7)87]§ 8. Неопределенный интеграл263Будем теперь беспредельно увеличивать число n делений промежутка (a, b) и притом так, чтобы наибольшая из разностей(xk − xk−1 ),∗ стремилась к нулю. Так как функция f (x) по условию непрерывна, то разность (Mk − mk ) между наибольшим и наименьшим ее значениями в промежутке (xk−1 , xk ) будет стремитьсяк нулю при беспредельном уменьшении длины этого промежутка,независимо от его положения в основном промежутке (a, b) (свойство непрерывной функции [35]). Таким образом, если мы обозначим через εn наибольшую из разностей(M1 −m1 ), (M2 −m2 ), . .

. , (Mk −mk ), . . . , (Mn−1 −mn−1 ), (Mn −mn ),то, в силу сказанного, при упомянутом выше предельном переходе число εn будет стремиться к нулю. Определим теперь разностьмежду суммой площадей выходящих прямоугольников и суммойплощадей входящих прямоугольников:Sn − sn = (M1 − m1 )(x1 − x0 ) + (M2 − m2 )(x2 − x1 ) + . . . ++ (Mk − mk )(xk − xk−1 ) + . . . + (Mn − mn )(xn − xn−1 ),откуда, заменяя все разности (Mk − mk ) наибольшей εn и помня,что все разности (xk − xk−1 ) — положительны:Sn − sn 6 εn (x1 − x0 ) + εn (x2 − x1 ) + . .

. + εn (xk − xk−1 ) + . . . ++ εn (xn − xn−1 ),то естьSn − sn 6 εn [(x1 − x0 ) + (x2 − x1 ) + . . . + (xk − xk−1 ) + . . . ++ (xn − xn−1 )] = εn (xn − x0 ) = εn (b − a).Мы можем, таким образом, написать0 6 Sn − sn 6 εn (b − a),∗ В математической литературе такая величина часто называется рангомдробления.264Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[87lim (Sn − sn ) = 0.(8)то естьn→∞С другой стороны, при всяком n мы имелиsn 6 Sab 6 Sn(9)и величина площади Sab есть определенное число.

Из формул (8)и (9) непосредственно следует, что величина площади Sab являетсяобщим пределом sn и Sn , т. е. площадей выходящих и входящихпрямоугольников:lim sn = lim Sn = Sab .Так как, с другой стороны, сумма средних прямоугольников Sn′ ,как мы видели, лежит между sn и Sn , то и она должна стремитьсяк площади Sab , т. е.lim Sn′ = Sab .Эта сумма Sn′ является более общей по сравнению с суммамиsn и Sn , так как в ней мы можем произвольно выбирать ξk изпромежутка (xk−1 , xk ) и, в частности, можем брать f (ξk ) равнойнаименьшей ординате mk или наибольшей Mk . При таком выборесумма Sn′ превращается в суммы sn и Sn .Предыдущие рассуждения приводят нас к следующему:Если функция f (x) непрерывна в промежутке (a, b) и если мы,разбив этот промежуток на n частей в точкахa = x0 < x1 < x2 < .

. . < xk−1 < xk < . . . < xn−1 < xn = bи обозначив через x = ξk любое значение из промежутка(xk−1 , xk ), вычислим соответствующее значение функции f (ξk ) исоставим сумму4nXf (ξk )(xk − xk−1 ),(10)k=1то при беспредельном возрастании числа делений n промежуткаи беспредельном уменьшении наибольшей из разностей (xk − xk−1 )4ЗнакnPk=1f (ξk )(xk − xk−1 ) есть сокращенное обозначение суммы (6).87]§ 8. Неопределенный интеграл265эта сумма стремится к определенному пределу. Предел этот равен площади, ограниченной осью OX, графиком функции f (x) идвумя ординатами: x = a, x = b.Упомянутый предел называется определенным интегралом отфункции f (x), взятым по переменной x между нижним пределомx = a и верхним x = b, и обозначается следующим символомZbf (x)dx.aЗаметим, что существование предела I суммы (10) при беспредельном уменьшении наибольшей из разностей (xk −xk−1 ), сводитсяк следующему утверждению: при любом заданном положительномчисле ε существует такое положительное число η, чтоnXf (ξk )(xk − xk−1 ) < εI −k=1при любом разбиении и выборе точек ξk из промежутка (xk−1 , xk ),если наибольшая из (положительных) разностей xk − xk−1 < η.Этот предел I и является определенным интегралом.Отметим, что множество значений сумм (10) при всевозможныхразбиениях промежутка (a, b) на части и всевозможном выборе ξkнельзя упорядочить так, чтобы образовалась упорядоченная переменная.

Предел суммы надо понимать лишь так,как это указано выше (с помощью ε и η).Выше мы предполагали,что график функции f (x) наРис. 118.ходится целиком под осьюOX, т. е. что все ординаты этого графика положительны. Рассмотрим теперь общий случай, при котором некоторые части этого графика находятся над осью, а другие под осью OX (рис. 118).Если мы и в этом случае составим сумму (6), то слагаемыеf (ξk )(xk − xk−1 ), соответствующие частям графика, лежащим под266Гл.

III. Понятие об интеграле и его приложения[87осью OX, будут отрицательными, так как разность (xk − xk−1 ) положительна и ордината f (ξk ) отрицательна.После перехода к пределу получится определенный интеграл,который будет учитывать площади, находящиеся над осью OX сознаком (+) и под осью OX со знаком (−), т. е. в этом общем случаеопределенный интегралZaf (x)dxbбудет давать алгебраическую сумму площадей, заключенныхмежду осью OX, графиком функции f (x) и ординатами x = aи x = b. При этом площади над осью OX будут получаться сположительным знаком, а под осью OX — с отрицательным.Как мы увидим в дальнейшем, мы приходим к нахождению предела суммы вида (6) не только в вопросе вычисления площади, но иво многих, весьма разнообразных, других задачах естествознания.Приведем только один пример.

Пусть некоторая точка M передвигается по оси OX от абсциссы x = a к абсциссе x = b, и на неедействует некоторая сила T , направленная также по оси OX. Еслисила T постоянная, то работа, которую она совершает при передвижении точки из положения x = a в положение x = b, определяетсяпроизведением R = T (b − a), т. е. произведением величины силы напройденный точкой путь. Если сила T — переменная, то написанная формула больше неприменима. Положим, что величина силызависит от положения точки на оси OX, т. е.

является функциейабсциссы точки T = f (x).Чтобы вычислить работу в этом случае, разобьем весь путь,пройденный точкой, на определенные частиa = x0 < x1 < x2 < . . . < xk−1 < xk < . . . < xn−1 < xn = bи рассмотрим одну из этих частей (xk−1 , xk ). С ошибкой тем меньшей, чем меньше длина (xk − xk−1 ), мы можем считать, что сила,действовавшая на точку при передвижении ее от xk−1 к xk , постоянна и совпадает со значением этой силы f (ξk ) в некоторой точке ξk из промежутка (xk−1 , xk ). Поэтому для работы на участке87]§ 8.

Неопределенный интеграл267(xk−1 , xk ) мы получим приближенное выражениеRk ∼ f (ξk )(xk − xk−1 ),и для всей работы будем иметь приближенное пока выражение вида:nXR∼f (ξk )(xk − xk−1 ).k=1При беспредельном увеличении числа делений n и беспредельном уменьшении наибольшей из разностей (xk − xk−1 ) мы получимв пределе определенный интеграл, дающий точную величину искомой работы:ZbR = f (x)dx.aОтвлекаясь от каких бы то ни было геометрических или механических истолкований, мы можем теперь установить понятие обопределенном интеграле от функции f (x) по промежутку a 6 x 6 bкак о пределе суммы вида (6). Второй основной задачей интегрального исчисления и является изучение свойств определенного интеграла и, прежде всего, его вычисление. Если f (x) — заданнаяфункция, а x = a и x = b — заданные числа, то определенныйинтегралZbf (x)dxaRесть некоторое определенное число.

Знакпредставляет собоюизмененную букву S и должен напоминать о той сумме, котораяпри предельном переходе дала величину определенного интеграла. Подынтегральное выражение f (x)dx должно напоминать о виде слагаемых этой суммы, а именно о f (ξk )(xk − xk−1 ). Буква x,стоящая под знаком определенного интеграла, называется обычнопеременной интегрирования. Отметим по поводу этой буквы одноважно обстоятельство. Величина интеграла, как мы уже упомянули, есть определенное число, не зависящее, конечно, от обозначения268Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[88переменной интегрирования x, и мы можем в определенном интеграле обозначать переменную интегрирования любой буквой.

Этоне будет иметь, очевидно, никакого влияния на величину интеграла, которая зависит лишь от того, каковы ординаты графика f (x)и пределы интегрирования a и b. Итак, обозначенные независимойпеременной никакой роли не играет, т. е., например,Zbaf (x)dx =Zbf (t)dt.aВторая задача интегрального исчисления — вычисление определенного интеграла — представляет собою на первый взгляд довольно сложную задачу составления суммы вида (6) и затем перехода кпределу.

Заметим, что при этом предельном переходе число слагаемых в упомянутой сумме будет беспредельно расти, а каждое из нихбудет стремиться к нулю. Кроме того, на первый взгляд эта втораязадача интегрального исчисления не имеет никакой связи с первойзадачей о нахождении первообразной функции для заданной функции f (x). В следующем номере мы покажем, что обе задачи тесносвязаны одна с другой и что вычисление определенного интегралаRbf (x)dx совершается весьма просто, если известна первообразнаяaфункция для f (x).88.

Связь определенного и неопределенного интегралов.Рассмотрим опять площадь Sab , ограниченную осью OX, графикомфункции f (x) и ординатами x = a и x = b. Вместе с этой площадью рассмотрим и часть ее, ограниченную левой ординатой x = aи некоторой подвижной ординатой, отвечающей переменному значению x (рис.119). Величина этой площади Sax будет, очевидно,зависеть от того, в каком месте мы поставим правую ординату, т. е.будет функцией от x. Эта величина будет изображаться определенным интегралом от функции f (x), взятым от нижнего предела aдо верхнего предела x. Так как буква x занята для обозначенияверхнего предела, то мы для избежания путаницы будем обозначать переменную интегрирования другой буквой, а именно буквой88]§ 8. Неопределенный интеграл269Рис.

Характеристики

Список файлов книги