1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 37
Текст из файла (страница 37)
II. Понятие о производной и его приложения[74потому что это последняя формула выведена лишь в том предположении, что x есть независимая переменная, а при параметрическомпредставлении (9) независимой переменной является t. Если x естьнезависимая переменная, то dx считается уже постоянным [50], т. е.не зависящим от x, и d2 x = d(dx) = 0 как дифференциал постоянной. При этом формула (13) переходит в (15).Имея возможность определить y ′ и y ′′ , мы тем самым можемрешить вопрос о направлении касательной к кривой, о выпуклостии вогнутости кривой и т.
д.В качестве примера рассмотрим кривую, заданную уравнениемx3 + y 3 − 3axy = 0(a > 0)(16)и называемую «листом Декарта».Введем переменный параметр t, полагаяy = tx,(17)и рассмотрим точки пересечения прямой (17) с переменным угловымкоэффициентом t и кривой (16). Подставляя в уравнение (16) выражениеy из уравнения (17) и сокращая на x2 , получимx=3at,1 + t3а уравнение (17) даст нам тогда3at2.1 + t3Эти уравнения дают параметрическую форму представления листа Декарта. Определим производные от x и y по t:326a 12 − t3(1+t)−3tt=,x′t = 3a(1 + t3 )2(1 + t3 )2(18)3at(2 − t3 ) 2t(1 + t3 ) − 3t2 t2′yt = 3a=.(1 + t3 )2(1 + t3 )2y=Для исследования изменения x и y разобьем весь промежуток(−∞, +∞) изменения t на такие отдельные части, внутри которых производные x′t и yt′ сохраняют неизменный знак и не обращаются в бесконечность. Для этого нам придется отметить значения:√13и2,t = −1, 0, √3274]§ 7.
Некоторые геометрические приложения227при которых эти производные обращаются в нуль или бесконечность.Знаки x′t и yt′ внутри этих промежутков определяются без труда по формулам (18); вычислив значения x и y на концах промежутков, мы получим, таким образом, приведенную ниже таблицу.Промежуток t x′t y ′ t(−∞, −1)(−1, 0)10, √32√31√23 ,2√( 3 2, +∞)xy+ — возрастает от 0 до +∞убывает от 0 до −∞+ — возрастает от −∞ до 0 убывает от +∞ до 0√√+ + возрастает от 0 до 3 4a возрастает от 0 до 3 2a√√убывает от 3 4aвозрастает от 3 2a√√— +до 3 2aдо 3 4a√√3— — убывает от 2a до 0убывает от 3 4a до 0В соответствии с этой схемой мыполучим кривую, изображенную нарис.
85.Для вычисления углового коэффициента касательной имеем формулуt(2 − t3 )y′.(19)yx′ = t′ = xt2 1 − t32Обратим внимание на то, что x и yобращаются в нуль при t = 0 и t = ∞,и кривая, как это видно из чертежа, пересекает сама себя в начале координат.Формула (19) дает намyx′ = 0yx′ = limt→∞приtt(2 − t3 ) = lim13t→∞2 2 −t2Рис. 85.t = 0,2−1t31−12t3=∞приt = ∞,т. е. две ветви кривой, взаимно пересекающиеся в начале координат, касаются — одна оси OX и другая оси OY .При стремлении t к (−1) x и y стремятся к бесконечности, и криваяимеет бесконечную ветвь.
Определим асимптоту:228Гл. II. Понятие о производной и его приложения[75угловой коэффициент асимптоты равенy3at2 (1 + t3 )= lim= −1,x→∞ xt→−1 3at(1 + t3 )limb = lim (y + x) = limt→−1t→−13at2 + 3at6at + 3a= lim= −a,t→−11 + t33t2т. е. уравнение асимптоты будетилиy = −x − ax + y + a = 0.75. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Если считать, что газ точно следует законам Бойля — Мариотта и Гей-Люссака, то получается, как известно, следующая зависимость между упругостью газа p, его объемомv и абсолютной температурой T :pv = RT,где R — постоянная, одна и та же для всех газов, если рассматриватьодну «грамм-молекулу» газа, т.
е. число граммов газа, равное его молекулярному весу.Существующие газы не подчиняются строго указанной зависимости,и Ван-дер-Ваальсом была дана другая формула, гораздо более точновыражающая явление. Формула эта имеет вид:ap + 2 (v − b) = RT,vгде a и b — положительные постоянные, различные для различных газов.Решая уравнение относительно p, получимp=aRT− 2.v−bvИсследуем зависимость p от v, считая T постоянным, т. е.
рассматривая случай изотермического изменения состояния газа. Найдем первуюпроизводную от p по v:RT2a12a(v − b)2dp=−+=−RT.(21)dv(v − b)2v3(v − b)2v3Мы будем рассматривать только значения v > b. По поводу физического смысла этого условия, а также кривых, которые будут получены,75]§ 7. Некоторые геометрические приложения229отсылаем читателя к курсам физики. Приравнивая производную нулю,получим уравнение2a(v − b)2− RT = 0.(22)v3Исследуем изменение левой части этого уравнения при изменении vот b до (+∞) и для этого определим ее производную по v, помня, чтопроизведение RT по условию постоянно:2a(v − b)2v3′= 2a−2a(v − b)(v − 3b)2(v − b)v 3 − 3v 2 (v − b)2=,vv4откуда видно, что эта производная положительна при b < v < 3b и отрицательна при v > 3b, т. е.
левая часть уравнения (22) возрастает впромежутке (b, 3b) и убываетпри дальнейшем увеличении v,а потому при v = 3b она достигает максимума, равного8a− RT.27bНепосредственной подстановкой нетрудно также убедиться, что левая часть уравнения (22) при v = b и v = +∞обращается в (−RT ) и, следовательно, имеет знак (—). Еслинайденный максимум ее такжеотрицателен, т. е. еслиRT >8a,27bто левая часть уравнения (22)постоянно отрицательна, а вэтом случае из выражения (21)dpповидно, что производная dvстоянно отрицательна, т. е. pубывает с возрастанием v.Наоборот, еслиRT <Рис. 86.8a,27b230Гл.
II. Понятие о производной и его приложения[76то левая часть уравнения (22) достигает положительного максимума приv = 3b, и уравнение (22) имеет один корень v1 в промежутке (b, 3b) идругой корень v2 в промежутке (3b, +∞). При переходе v через значениепереходит от знакаv1 левая часть уравнения (22) и, следовательно, dpdv(—) к знаку (+), т. е. этому значению v соответствует минимум p. Точнотак же убедимся, что значению v = v2 соответствует максимум p.Если, наконец,8a,(23)RT =27bто максимум левой части уравнения (22) равен нулю, значения v = v1 иv = v2 сливаются в одно значение v = 3b, при переходе через это значениеdpсохраняют знак (—), т. е. p постояннолевая часть уравнения (22) и dvубывает с возрастанием v, и значению v = 3b соответствует точка перегиба K кривой.
Соответствующие этой точке перегиба значения v = vk ,p = pk и значение температуры T = Tk , определяемое из условия (23),называются критическим объемом, упругостью и температурой газа. Нарис. 86 указан вид кривых, соответствующих трем рассмотренным случаям.76. Особые точки кривых. Рассмотрим уравнение кривой в неявной формеF (x, y) = 0.(24)Угловой коэффициент касательной к такой кривой определяется по формуле [69]F ′ (x, y),(25)y ′ = − x′Fy (x, y)где (x, y) — координаты точки касания.Рассмотрим тот частный случай, когда F (x, y) есть целый многочленот x и y.
В этом случае кривая (24) называется алгебраической. Частные производные Fx′ (x, y) и Fy′ (x, y) будут иметь вполне определенныезначения, если вместо x и y подставить координаты любой точки M кривой (24), и уравнение (25) даст нам определенный угловой коэффициенткасательной, во всех случаях, кроме тех, когда координаты точки (x, y)обращают в нуль частные производные Fx′ (x, y) и Fy′ (x, y). Такая точкаM называется особой точкой кривой (24).Особой точкой алгебраической кривой (24) называется точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (24) и уравнениямFx′ (x, y) = 0,Fy′ (x, y) = 0.(26)76]§ 7.
Некоторые геометрические приложения231Для эллипсаx2y2+ 2 =12abусловие (26) даст нам x = y = 0, но точка (0, 0) не лежит на эллипсе,а потому эллипс особых точек не имеет. То же можно утверждать иотносительно гиперболы и параболы.В случае листа Декартаx3 + y 3 − 3axy = 0условия (26) будут иметь вид:3x2 − 3ay = 0и3y 2 − 3ax = 0,и непосредственно видно, что начало координат (0, 0) является особойточкой кривой.
При исследовании листа Декарта мы показали, что вначале координат кривая пересекает сама себя, и две ветви кривой, пересекающиеся в этой точке, имеют в ней различные касательные: дляодной из ветвей касательной является ось OX, для другой — ось OY .Особая точка, в которой пересекаются различные ветви кривойтак, что каждая ветвь имеет свою особую касательную, называется узловой точкой кривой. Таким образом, начало координат являетсяузловой точкой листа Декарта.Укажем еще на примерах некоторые типы особых точек алгебраических кривых.1. Рассмотрим кривуюy 2 − ax3 = 0(a > 0),называемую полукубической параболой.
Нетрудно проверить, что координаты (0, 0) обращают в нуль левую часть этого уравнения и ее частныепроизводные по x и y, и, следовательно, начало координат является особой точкой кривой. Для исследования вида кривой вблизи этой особойточки построим эту кривую. Ее уравнение в явной форме будет√y = ± ax3 .Для построения кривой достаточно исследовать ту ее часть, котораясоответствует знаку (+), ибо часть кривой, соответствующая знаку (—),будет симметрична с первой частью относительно оси OX. Из уравнениявидно, что x не может быть меньше нуля и что при возрастании x от 0до (+∞) и y возрастает от 0 до (+∞).232Гл. II.
Понятие о производной и его приложения[76Определим производные первых двух порядков:y′ =3√ax,2√3 ay ′′ = √ .4 xПри x = 0 и y ′ = 0, и заметив, что x может стремиться к нулю, принимаялишь положительные значения, можем утверждать, что ось OX будеткасательной к кривой справа в начале координат. Кроме того видно,что для исследуемой части кривой y ′′ сохраняет неизменный знак (+)в промежутке (0, +∞), т. е. эта часть обращена вогнутостью в сторонуположительных ординат.На рис. 87 изображена исследуемая кривая (при a = 1). В началекоординат встречаются, не продолжаясь дальше, две ветви кривой,причем обе ветви в точке встречи имеют одну и ту же касательнуюи расположены по разные стороны от этой касательной вблизи особойРис. 87.Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
