1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 36
Текст из файла (страница 36)
На участке AB радиус кривизны равен бесконечности,на участке же BC он равен радиусу окружности r и, таким образом, вточке B он терпит разрыв непрерывности, хотя при этом направлениекасательной меняется непрерывно. Этим обстоятельством объясняютсятолчки вагонов на поворотах. Допустим, что величина скорости движения вагона v остается неизменной. В этом случае, как известно из ме2ханики, сила будет направлена по нормали к траектории и равна m vR ,где m есть масса движущегося тела и R — радиус кривизны траектории.Отсюда видно, что в точках разрыва непрерывности радиуса кривизныи сила будет претерпевать разрыв непрерывности, что и обусловливаеттолчок.218Гл.
II. Понятие о производной и его приложения[7272. Асимптоты. Перейдем теперь к изучению бесконечныхветвей кривой, на которых одна из координат x или y или обевместе беспредельно возрастают. Гипербола и парабола дают нампримеры кривых с бесконечными ветвями.Асимптотой кривой с бесконечной ветвью называется такаяпрямая, что расстояние точек кривой до этой прямой при беспредельном удалении по бесконечной ветви стремится к нулю.Покажем сначала, как находитьасимптоты кривой, параллельные осиOY . Уравнение такой асимптотыдолжно иметь вид:x=cРис.
80.где c — постоянная, и в этом случае при движении по соответствующей бесконечной ветви x должно стремиться к c, а y — к бесконечности(рис. 80). Мы получаем, таким образом, следующее правило.Все асимптоты кривойy = f (x),параллельные оси OY , можно получить, найдя те значения x = cпри приближении к которым f (x) стремится к бесконечности.Для исследования того, как расположена кривая относительноасимптоты, надо определить знак f (x) при стремлении x к c слеваи справа.Перейдем теперь к нахождению асимптот, непараллельных осиOY . В этом случае уравнение асимптоты должно иметь видη = aξ + bгде ξ, η — текущие координаты асимптоты, в отличие от X, Y —текущих координат кривой.72]§ 7.
Некоторые геометрические приложенияПусть ω есть угол, образованный асимптотой с положительнымнаправлением оси OX, M K — расстояние точки кривой до асимптотыи M K 1 — разность ординат кривой иасимптоты при одинаковой абсциссеx (рис. 81). Из прямоугольного треугольника будем иметь|M K 1 | =и, следовательно, условие|M K|| cos ω|219Рис. 81.ω 6=π,2lim M K = 0мы можем заменить условиемlim M K 1 = 0.(7)В случае асимптоты, непараллельной оси OY , при движении посоответствующей бесконечной ветви x стремится к бесконечности.Принимая во внимание, что M K 1 есть разность ординат кривой иасимптоты при одинаковых абсциссах, можем переписать условие(7) так:lim [f (x) − ax − b] = 0,(8)x→∞откуда мы и должны получить значения a и b.Условие (8) можно переписать в виде:h f (x)bi−a−= 0.lim xx→∞xxНо первый множитель x стремится к бесконечности, а потому выражение, стоящее в квадратных скобках, должно стремится к нулюh f (x)bif (x)−a−= lim− a = 0,limx→∞x→∞ xxxто естьf (x).a = limx→∞ x220Гл.
II. Понятие о производной и его приложения[73Найдя a, мы определим b из основного условия (8), которое можно переписать в виде:b = lim [f (x) − ax].x→∞Итак, для существования асимптоты, непараллельной оси OY ,у кривойy = f (x)необходимо и достаточно, чтобы при движении по бесконечнойветви x беспредельно возрастало и чтобы существовали пределыa = limx→∞f (x),xb = lim [f (x) − ax],x→∞и тогда уравнение асимптоты будетη = aξ + b.Для исследования расположения кривой относительно асимптоты, надо отдельно разобрать случаи стремления x к (+∞) и (−∞)и в каждом из этих случаев определить знак разностиf (x) − (ax + b).Рис.
82.Если он будет (+), то криваярасположена над асимптотой, а если (−), то под асимптотой. Если жеэта разность при беспредельном возрастании x не будет сохранять неизменного знака, то кривая будет колебаться около асимптоты (рис. 82).73. Построение графиков. Укажем теперь схему действий,которые надо проделать при построении кривойy = f (x),более полную, чем это сделано в [59].73]§ 7. Некоторые геометрические приложения221Для этого нужно:а) определить промежуток изменения независимой переменной x;б) определить точки пересечения кривой с осями координат;в) определить вершины кривой;г) определить выпуклость, вогнутость и точки перегиба кривой;д) определить асимптоты кривой;е) выяснить симметричность кривой относительно осей координат, если таковая существует.Для более точного вычерчивания кривой полезно также наметить еще ряд точек кривой.
Координаты этих точек можно вычислить, пользуясь уравнением кривой.1. Вычертим кривуюy=(x − 3)2.4(x − 1)а) x может изменяться в промежутке (−∞, +∞);б) полагая x = 0, получим y = − 49 ; полагая y = 0,,x = 3, получимт. е. кривая пересекается с осями координат в точках 0, − 94 и (3, 0);в) составляя первую и вторую производныеf ′ (x) =(x − 3)(x + 1)2, f ′′ (x) =.4(x − 1)2(x − 1)3Применяя обычное правило, получим вершины (3, 0) — минимум, (–1,–2) — максимум;г) из выражения второй производной видно, что она положительнапри x > 1 и отрицательна при x < 1, т. е.
промежуток (1, ∞) есть промежуток вогнутости кривой, а промежуток (−∞, 1) есть промежутоквыпуклости. Точек перегиба нет, так как f ′′ (x) меняет знак лишь приx = 1, а этому значению x соответствует, как мы сейчас увидим, асимптота, параллельная оси OY ;д) при x = 1 y обращается в бесконечность, и кривая имеет асимптотуx = 1.Будем теперь искать асимптоты, непараллельные оси OY :21 − x31(x − 3)2 = ,= lim a = limx→∞x→∞ 4(x − 1)x144 1−x222Гл. II. Понятие о производной и его приложенияb = limx→∞h (x − 3)24(x − 1)−[73xi−5x + 9= lim=x→∞ 4(x − 1)4−5 + x95 =− ,x→∞44 1 − x1= limт. е. асимптота будет51x−44Предлагаем читателю исследовать расположение кривой относительно асимптоты;е) симметрии не имеется.Нанося все полученные данные на чертеж, получим кривую (рис.
83).2. Исследуем кривые:y=y = c(a2 − x2 )(5a2 − x2 ), y1 = c(a2 − x2 )2 , (c < 0),которые дают форму тяжелой балки, изгибающейся под влиянием собственного веса, причем первая кривая относится к тому случаю, когдаконцы балки могут свободно поворачиваться, а вторая — когда они заделаны наглухо. Общая длина балки 2a, начало координат в серединебалки и ось OY направлена вертикально вверх.1. Очевидно, нас интересует изменение x лишь в промежутке(−a, +a).2.
Полагая x = 0, получим y = 5ca4 и y1 = ca4 , т. е. в первом случаепрогиб середины балки в пять раз больше, чем во втором. При x = ±a,y = y1 = 0, что соответствует концам балки.3. Определим производныеy ′ = −4cx(3a2 − x2 ),y1′ = −4cx(a2 − x2 ),y ′′ = −12c(a2 − x2 ),y1′′ = −4c(a2 − 3x2 ).В обоих случаях в промежутке (−a, +a) будет существовать минимум при x = 0, что соответствует прогибу середины балки, о котороммы говорили выше.4.
В первом случае y ′′ > 0 в промежутке (−a, +a), т. е. в первом случае вся балка обращена вогнутостью вверх. Во втором случае y1′′ обращается в нуль при x = ± √a3 и меняет притом знак, т. е. соответствующиеточки будут точками перегиба балки.5. Бесконечных ветвей нет.6. В обоих случаях уравнение не меняется при замене x на (−x), т. е.в обоих случаях кривая симметрична относительно оси OY .74]§ 7.
Некоторые геометрические приложенияРис. 83.223Рис. 84.На рис. 84 изображены обе кривые. Для простоты нами взят случайa = 1, c = −1; на практике длина балки значительно больше ее прогиба,т. е. a значительно больше c, так что внешний вид кривой прогиба будетнесколько иной (какой?).Предлагаем читателю найти точки перегиба кривойy = e−x2и сравнить с рис. 60, на котором изображен соответствующий график.74. Параметрическое задание кривой. При отысканииуравнения геометрического места по данному его свойству не всегда бывает удобно или возможно выразить это свойство непосредственно в виде уравнения, связывающего текущие координаты x, y.В таком случае бывает полезно ввести третью, вспомогательную переменную величину, через которую можно выразить отдельно абсциссу x и ординату y любой точки геометрического места.Совокупность двух полученных таким путем уравненийx = ϕ(t),y = ψ(t)(9)также может служить для построения и исследования кривой, так224Гл.
II. Понятие о производной и его приложения[74как при каждом значении t она определяет положение соответствующей точки кривой.Такой способ задания кривой называется параметрическим,вспомогательная же переменная t — параметром. Для полученияуравнения кривой в обычном (явном или неявном) виде как зависимости, связывающей x и y, нужно из двух уравнений (9) исключить параметр t, что можно сделать, хотя бы решив одно изэтих уравнений относительно t и подставив полученный результатв другое.С параметрическим заданием кривых особенно часто приходится иметь дело в механике, при исследовании траектории движущейся точки, положение которой зависит от времени t, а потомуи координаты суть функции от t. Определив эти функции, мы иполучим параметрическое задание траектории.Так, например, параметрическое уравнение окружности с центром в точке (x0 , y0 ) и радиусом r будетx = x0 + r cos t,y = y0 + r sin t.(10)Перепишем эти уравнения:x − x0 = r cos t,y − y0 = r sin t.Возведя обе части в квадрат и складывая, исключим параметр t иполучим обычное уравнение окружности(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 .Точно так же непосредственно ясно, чтоx = a cos t,y = b sin t(11)есть параметрическое уравнение эллипсаy2x2+= 1.a2b2Положим, что y, как функция от x, определена параметрическиформулами (9).74]§ 7.
Некоторые геометрические приложения225Приращение параметра ∆t вызовет соответствующие приращения ∆x и ∆y, и мы получим, деля числитель и знаменатель дроби∆y∆x на ∆t, следующее выражение для производной от y по x:∆y= lim∆x→0 ∆x∆x→0yx′ = limили∆y∆t∆x∆t=ψ ′ (t) *ϕ′ (t)ψ ′ (t)dy= ′ .dxϕ (t)(12)Составим вторую производную от y по x: dyd dx′′.y =dxПрименяя правило нахождения дифференциала частного, получим [50]d2 ydx − d2 xdyy ′′ =.(13)(dx)3Но, в силу (9),dx = ϕ′ (t)dt,d2 x = ϕ′′ (t)dt2 ,dy = ψ ′ (t)dt,d2 y = ψ ′′ (t)dt2 .Подставляя это в (13) и сокращая на dt3 , получим окончательноy ′′ =ψ ′′ (t)ϕ′ (t) − ϕ′′ (t)ψ ′ (t).[ϕ′ (t)]3(14)Заметим, что выражение y ′′ по формуле (13) отличается от выражения той же производной по формуле (3) из [55] (при n = 2)y ′′ =d2 y,dx2(15)* При ∆x → 0 выполнено ∆t → 0, следовательно можно перейти к пределу по ∆t → 0 и воспользоваться теоремой о пределе частного, учитывая, чтопроизводные ψ′ (t) и ϕ′ (t) существуют.226Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
