1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Если жефункция не ограничена, т. е. |f (x)| принимает сколь угодно большиезначения, то непосредственное определение интеграла как пределасуммы невозможно. Это имеет место для примера, соответствующего рис. 125. Здесь необходимо определять интеграл как интегралпо укороченному промежутку с дальнейшим переходом к пределу′Z+1ZεZ12− 23− 23x dx = ′limx dx + ′′limx− 3 dx.−1ε →−0−1ε →+0ε′′Такие интегралы называются обычно несобственными.Для функции x12 не существует конечного пределаlimε→+0Z1ε1dx = +∞.x298]§ 9. Свойства определенного интеграла305Такие интегралы называются расходящимися. Указанный вышеинтеграл от x−2/3 называется сходящимся, поскольку указанныевыше пределы при ε′ → −0 и ε′′ → +0 существуют.В следующем параграфе мы рассмотрим несобственные интегралы по бесконечному промежутку.
В этом последнем случае непосредственное определение интеграла как предела суммы невозможно и интеграл по существу несобственный.98. Бесконечные пределы. Предыдущие рассуждения можнораспространить и на случай бесконечного промежутка и положить+∞ZZbf (x)dx = limf (x)dx,(16)Zb(17)b→+∞aaf (x)dx = lima→−∞−∞Zbf (x)dx;aесли эти пределы существуют.Условие это наверно выполнено, если первообразная функцияF1 (x) стремится к определенным пределам, когда x стремится к(+∞) или к (−∞). Обозначив эти пределы просто через F1 (+∞) иF1 (−∞), будем иметьZ∞af (x)dx = lim [F1 (b) − F1 (a)] = F1 (+∞) − F1 (a),Zb−∞b→+∞f (x)dx = lim [F1 (b) − F1 (a)] = F1 (b) − F1 (−∞),a→−∞+∞ZZaZ∞f (x)dx =f (x)dx + f (x)dx = F1 (+∞) − F1 (−∞),−∞−∞(18)(19)(20)aчто и является обобщением формулы (15) на случай бесконечногопромежутка.306Гл. III.
Понятие об интеграле и его приложения[99Часто соотношение (16) пишут в видеZ∞f (x)dx = limb→+∞aZbf (x)dx.aС точки зрения геометрической, при выполнении предыдущегоусловия можно сказать, что бесконечная ветвь кривой y = f (x),которая соответствует x → ±∞, имеет площадь.Если пределы (16) или (17) существуют, то говорят, что соответствующие интегралы сходятся или что это — сходящиеся интегралы.
В противном случае говорят, что интегралы расходятся.1П р и м е р. Кривая y = 1+x2 , уходящая в бесконечность при x = ±∞,все же ограничивает с осью OX конечную площадь (рис. 126), так как+∞Z−∞+∞dxπ π=− −= π.arctgx=1 + x222−∞При вычислении этого интеграла следует помнить, что для функцииarctg x нужно брать не любое значение этой многозначной функции, аименно то, которое было определено в [24], для того чтобы она сделаласьРис.
126.однозначной, т. е. между − π2 и + π2 ; в противном случае предыдущаяформула теряет смысл.99. Замена переменной под знаком определенного интеграла. Пусть f (x) — непрерывна в промежутке (a, b) или даже вболее широком промежутке (A, B), о котором будет сказано ниже.99]§ 9. Свойства определенного интеграла307Пусть далее функция ϕ(t) однозначна, непрерывна и имеет непрерывную производную ϕ′ (t) в промежутке (α, β), причеми ϕ(β) = b.ϕ(α) = a(21)Положим далее, что значения ϕ(t) при изменении t в промежутке (α, β) не выходят из промежутка (a, b) или из того болееширокого промежутка (A, B), в котором f (x) — непрерывна. Приэтом сложная функция f [ϕ(t)] есть непрерывная функция t в промежутке (α, β).При высказанных предположениях, если ввести вместо x новуюпеременную интегрирования t:x = ϕ(t),(22)то определенный интеграл преобразуется по формулеZbf (x)dx =aZβf [ϕ(t)]ϕ′ (t)dt.(23)αВ самом деле, введем вместо рассматриваемых интегралов — интегралы с переменными пределамиF (x) =Zxf (y)dy,Ψ(t) =aZtf [ϕ(z)]ϕ′ (z)dz.αВ силу (22) F (x) есть сложная функция t:F (x) = F [ϕ(t)] =ϕ(t)Zf (y)dy.aВычисляя ее производную по правилу дифференцирования сложных функций, имеемdF (x) dxdF (x)=,dtdx dt308Гл.
III. Понятие об интеграле и его приложения[99но, в силу свойства VIII [96],dF (x)= f (x);dxиз формулы же (22) следуетdx= ϕ′ (t),dtоткудаdF (x)= f (x)ϕ′ (t) = f [ϕ(t)]ϕ′ (t).dtВычислим теперь производную от функции Ψ(t). В силу свойства VIII и сделанных нами предположений имеемdΨ(t)= f [ϕ(t)]ϕ′ (t).dtФункции Ψ(t) и F (x), рассматриваемые как функции от t, имеют, таким образом, одинаковые производные в промежутке (α, β),а потому [89] могут отличаться лишь на постоянное слагаемое, нопри t = α мы имеемx = ϕ(α) = a, F (x)= F (a) = 0, Ψ(α) = 0,t=αт.
е. эти две функции равны при t = α а потому и при всех значенияхt в промежутке (α, β). В частности, при t = β имеемF (x)t=β= F (b) =Zbf (x)dx =aZβf [ϕ(t)]ϕ′ (t)dt,αчто и требовалось доказать.Весьма часто вместо подстановки (22):x = ϕ(t)употребляют обратнуюt = ψ(x).(24)99]§ 9. Свойства определенного интеграла309Тогда пределы α и β определяются сразу по формуламα = ψ(a),β = ψ(b),но нужно здесь иметь в виду, что выражение (22) для x, котороеполучим, если решим уравнение (24) относительно x, должно удовлетворять всем указанным выше условиям, в частности, функция ϕ(t) должна быть однозначной функцией от t.
Если это свойство ϕ(t) не соблюдено, то формула (23) может оказаться неверной.Введя в интегралеZ+1dx = 2−1вместо x новую независимую переменную t по формулеt = x2 ,в правой части формулы (23) получим интеграл с одинаковыми пределами +1, +1, равный, следовательно, нулю, что невозможно. Ошибкапроисходит вследствие того, что выражение x через t:√x=± tесть функция многозначная.П р и м е р. Функция f (x) называется четной функцией x, еслиf (−x) = f (x), и нечетной функцией, если f (−x) = −f (x).
Например,cos x есть четная функция и sin x — нечетная.Покажем, чтоZ+aZaf (x)dx = 2 f (x)dx,−a0если f (x) — четная, иZ+af (x)dx = 0,−aесли f (x) — нечетная.Разобьем интеграл на два [94, IV]:Z+aZ0Zaf (x)dx =f (x)dx + f (x)dx.−a−a0310Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[100В первом интеграле совершим замену переменной x = −t и воспользуемся свойствами II и III [94]:Z0f (x)dx = −−aZ0f (−t)dt =aZaf (−t)dt =0Zaf (−x)dx,0откуда, подставляя в предыдущую формулу,ZaZaZaZ+af (x)dx = f (−x)dx + f (x)dx = [f (−x) + f (x)]dx.−a000Если f (x) — четная функция, то сумма [f (−x) + f (x)] равна 2f (x), аесли f (x) — нечетная, то эта сумма равна нулю, что и доказывает нашеутверждение.100.
Интегрирование по частям. Формула интегрированияпо частям [91] для определенных интегралов может быть написана в виде:Zbab Zbu(x)dv(x) = u(x)v(x) − v(x)du(x).aaДействительно, интегрируя почленно тождество [91]u(x)dv(x) = d[u(x)v(x)] − v(x)du(x),получимZbu(x)dv(x) =aZbad[u(x)v(x)] −Zbv(x)du(x),aто в силу свойства IX [96],Zbad[u(x)v(x)] =Zbabd[u(x)v(x)]dx = u(x)v(x) ,dxa(25)100]§ 9. Свойства определенного интеграла311что и дает формулу (25). Считается, конечно, что u(x) и v(x) имеютнепрерывные производные в промежутке (a, b).П р и м е р.
Вычислить интегралыZπ/2sinn xdx,Zπ/2cosn xdx.00ПоложимZπ/2In =sinn xdx.0Интегрируя по частям, имеемIn =Zπ/2Zπ/2sinn−1 x sin xdx = −sinn−1 xd cos x =00π/2 Zπ/2n−1= − sinx cos x+(n − 1) sinn−2 x cos x · cos xdx =00Zπ/2Zπ/2= (n − 1)sinn−2 x cos2 xdx = (n − 1)sinn−2 x(1 − sin2 x)dx =00Zπ/2Zπ/2n−2=(n − 1)sinxdx − (n − 1)sinn xdx=(n − 1)In−2 − (n − 1)In ,00т.
е.In = (n − 1)In−2 − (n − 1)In ,откуда, решая относительно In :In =n−1In−2 .n(26)Формула эта называется формулой приведения, так как приводит вычисление интеграла In к такому же интегралу, но с меньшим значком(n − 2).Различим теперь два случая в зависимости от того, если n числочетное или нечетное.312Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[1001.
n = 2k (четное). Имеем, в силу (26),I2k =(2k − 1)(2k − 3)(2k − 1)(2k − 3 . . . 3) · 12k − 1I2k−2 =I2k−4 = . . . =I0 ,2k2k · (2k − 2)2k(2k − 2) . . . 4 · 2и так какZπ/2πI0 =dx = ,20то окончательноI2k =(2k − 1)(2k − 3) . . . 3 · 1 π.2k(2k − 2) . . . 4 · 222. n = 2k + 1 (нечетное). Аналогично предыдущему находимI2k+12k(2k − 2) . . . 4 · 2=I1 ,(2k + 1)(2k − 1) .
. . 5 · 3а потомуI2k+1 =ИнтегралZπ/2π/2I1 =sin xdx = − cos x= 1,002k(2k − 2) . . . 4 · 2.(2k + 1)(2k − 1) . . . 5 · 3Zπ/2cosn xdx0можно вычислить таким же путем, но проще привести его к предыдущему, заметив, чтоZπ/2Zπ/2π− x dx,cosn xdx =sinn200откуда, положивππ− x = t, x = − t,22на основании формулы (23) и свойства II [94], имеемZπ/2Z0Zπ/2cosn xdx = −sinn tdt =sinn tdt.0π/20101]§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле313Объединяя полученные результаты, можем написатьZπ/2Zπ/2(2k − 1)(2k − 3) . . . 3 · 1 π2k,sin xdx =cos2k xdx =2k(2k − 2) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
