1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 52
Текст из файла (страница 52)
е. только выпукла или только вогнута, то площадь S кривойзаключается между площадями σ1 и σ2 , и естественно поэтому принять346Гл. III. Понятие об интеграле и его приложенияза приближенное выражение для S среднее арифметическоедает формулу Понселе:Zbf (x)dx ≈a[110σ1 +σ2,2чтоy1/2 + yn−1/2b − a h y0 + yn−+ 2y1/2 +2n44i+ 2y3/2 + · · · + 2yn−1/2 .(45)Нетрудно видеть, что погрешность этой формулы при сделанномпредположении о виде кривой не превосходит абсолютного значенияy1/2 + yn−1/2y0 + yn b − aσ1 − σ2=−,(46)2224nпричем выражение, стоящее в скобках, равно, как это нетрудно показатьиз свойства средней линии трапеции, отрезку средней ординаты, отсекаемому хордами, соединяющими между собой концы крайних четных икрайних нечетных ординат.110. Формула Симпсона. Оставив в силе предыдущее подразделение на четное число частей, заменим данную кривую рядом дуг параболвторой степени, проведя их через концы каждых трех ординат:y0 , y1/2 , y1 ; y1 , y3/2 , y2 ; .
. . ; yn−1 , yn−1/2 , yn .Вычисляя площадь каждой из полученных таким путем криволинейных фигур по формуле (4) [101], мы получим приближенную формулуСимпсона:Zbf (x)dx ≈b−a[y0 + 4y1/2 + 2y1 + 4y3/2 + 2y2 + · · · +6na+ 2yn−1 + 4yn−1/2 + yn ].(47)На выводе погрешности этой формулы, а равно и погрешности формулы трапеций, мы здесь останавливаться не будем. Заметим, вообще,что выражение погрешности в виде определенной формулы имеет скорее теоретическое, чем практическое значение, так как обыкновенно даетслишком грубый предел.По поводу предыдущего построения заметим, что соответствующимподбором a, b и c в параболе y = ax2 + bx + c можно всегда заставить еепройти через заданные три точки плоскости с различными абсциссами.110]§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле347На практике для точности результата существенное значение имеетплавный ход кривой, и в соседстве с точками, где кривая более или менеерезко меняет вид, нужно вести вычисления с большой точностью, длячего необходимо вводить более мелкие подразделения промежутка.
Вовсяком случае полезно перед вычислением составить себе хотя бы толькоприблизительное представление о ходе кривой.Весьма существенное значение при приближенных вычислениях имеет схема расположения действий. Для того, чтобы дать представлениео ней, а также, чтобы сравнить точность, даваемую различными выведенными выше приближенными формулами, мы приводим следующиепримеры:π/2R1. S =sin xdx = 1,0n = 10,b−ab−ab−a= 0, 15707963,= 0, 07853981,= 0, 02617994n2n6ny1y2y3y4y5y6y7y8y9Psin 9◦sin 18◦sin 27◦sin 36◦sin 45◦sin 54◦sin 63◦sin 72◦sin 81◦0,15643450,30901700,45399050,58778530,70710680,80901700,89100650,95105650,98768835,85310241y0y10sin 0◦sin 90◦y1/2y3/2y5/2y7/2y9/2y11/2y13/2y15/2y17/2y19/2Psin 4◦, 5sin 13◦, 5sin 22◦, 5sin 31◦, 5sin 40◦, 5sin 49◦, 5sin 58◦, 5sin 67◦, 5sin 76◦, 5sin 85◦, 520,07845910,23344540,38268340,52249860,64944800,76040600,85264020,92387950,97236990,99691736,37274740,00000001,0000000Формула прямоугольников по недостаткуPlg5,8531024y00,0000000lg b−anP5,8531024lg SS = 0, 9194080Формула прямоугольников поPP11y10P5,85310241,00000006,8531024Plglg b−anlg S0,76738611̄,19611981̄,9635059избытку0,83588731̄,19611980,0320071348Гл.
III. Понятие об интеграле и его приложенияS ≈ 1, 0765828Формула трапецийPPlg1,10401582 111,7062048b−ay0 + y101,00000002̄,8950899lg 2nP12,7062048lg S1,9991057S ≈ 0, 9979430ФормулакасательныхPlg 20,80432671̄,1961198lg b−anlg S0,0004465S ≈ 1, 0010290Формула ПонселеP2 21(y + y10 )4 0− 14 (y1/2 + y10/2 )P2. S =R10P2 1P4 2y0 + y10Plog(1+x)dx1+x211,706204825,49098961,000000038,1971944=π81,10471412̄,89508981̄,99980391,58203142̄,41796851̄,9999999log 2 = 0, 2721982613 . . . ,81b−a=,2n20y1y2y3y4y5y6y7y8y90,09436650,17530920,24070120,29006230,32437210,34559090,35612630,35840650,3546154P2,53955031Plglg b−a6alg SS ≈ 1, 0000000n = 10,8 ЭтаP12,7454948lg0,2500000b−alg 2n−0,268844112,7266507lg SS ≈ 0, 9995487Формула Симпсонаy0y10b−a1=.6n60y1/2y3/2y5/2y7/2y9/2y11/2y13/2y15/2y17/2y19/2P20,00000000,3465736формула будет выведена во втором томе.0,04866850,13668650,21001750,26735380,30899260,33647220,35203890,35815400,35714700,35102732,7265583[110110]§ 10.
Приложения понятия об определенном интегралеФормула ПонселеP2 25,45311661(y + y10 )0,08664344 0− 14 (y1/2 + y19/2 ) −0,0999239P5,43983611 P≈ 0, 2719918S=203. S =R1 dx= log 2 = 0, 69314718 . . .0 1+xn = 20,1b−a=,2n40y1y2y3y4y5y6y7y8y9y10y11y12y13y14y15y16y17y18y190,95238100,90909090,86956530,83333330,80000000,76923070,74074070,71428570,68965520,66666670,64516130,62500000,60606060,58823530,57142870,55555560,54054050,52631460,5128205P13,1166666y0y2011,00000000,5000000Формула СимпсонаP2 15,0791006P4 210,9062332y0 + yn0,3465736P16,33190741 P≈ 0, 27219846S=60b−a1=.6n120y1/2y3/2y5/2y7/2y9/2y11/2y13/2y15/2y17/2y19/2y21/2y23/2y25/2y27/2y29/2y31/2y33/2y35/2y37/2y39/2P20,97560970,93023260,88888890,85106380,81632660,78431350,75471690,72727270,70175430,67796610,65573770,63492070,61538460,59701490,59771010,56338040,54794510,53333330,51948060,506329113,8613816Формула трапецийP2 126,2321332y0 + y201,5000000P27,73213321 P≈ 0, 69330333S=40349350Гл.
III. Понятие об интеграле и его приложенияФормула ПонселеP2 227,72276321(y+y0,375000)0204− 41 (y1/2 + y39/2 ) −0,3704847P27,72727851 P≈ 0, 69318196S=40[111Формула СимпсонаP2 126,2321332P4 255,4455264y0 + y200,5000000P83,17765961 P≈ 0, 69314716S=120111. Вычисление определенного интеграла с переменнымверхним пределом. Во многих вопросах приходится вычислять значения определенного интегралаF (x) =Zxf (x)dxaпри переменном верхнем пределе.Основываясь на формуле трапеций (43), можно указать следующийспособ получения приближенных значений этого интеграла, конечно, непри всех значениях x, а только при тех, которыми подразделен на частипромежуток (a, b), т. е.F (a),F (x1 ),F (x2 ), . . . , F (xk ), .
. . , F (xn−1 ),F (b).По формуле (43) мы имеемF (xk ) =a+khZf (x)dx ≈ haF (xk+1 ) =a+(k+1)hZf (x)dx ≈ hahy + yyk−1 + yk i01+ ··· +,22(48)hy + yyk + yk+1 iyk−1 + yk01+ ··· ++≈222≈ F (xk ) +1h(yk + yk+1 ).2(49)Эта формула дает возможность, вычислив значение F (xk ), перейтик следующему значению F (xk+1 ) = F (xk + h).Вычисление это можно располагать по схеме, приведенной настр. 349.111]IIIIIIVkxkyksk = yk + yk+10ay0VksnVIk1 F (xk ) = hsn2 n=10n=10s1 = y 0 + y 11a+hy1s11hs12s 1 + s21h(s1 + s2 )2s 1 + s2 + s31h(s1 + s2 + s3 )2s 1 + s2 + s3 + s41h(s1 + s2 + s3 + s4 )2s 1 + s2 + s3 + s4 + s51h(s1 + s2 + s3 + s4 + s5 )2s 1 + s2 + s3 + s4 + s5 + s61h(s1 + s2 + s3 + s4 + s5 + s6 )2s2 = y 1 + y 22a + 2hy2s3 = y 2 + y 33a + 3hy3s4 = y 3 + y 44a + 4hy4s5 = y 4 + y 55a + 5hy5s6 = y 5 + y 66a + 6hy6§ 10.
Приложения понятия об определенном интегралеI351352Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[112112. Графические способы. Эти вычисления можно произвестиграфически, если дан график кривой y = f (x); мы получим таким путемпостроение графика интегральной кривойy=Zxf (x)dx = F (x)aпо графику кривойy = f (x).(50)Прежде всего, еслиимеем достаточно делений, то мы можем принять приближенноyk−1 + yksk== yk−1/2 ,22(51)т. е. если график кривой(50) начерчен, то величины s2k получаются непосредственно из чертежа,как ординаты кривой при(рис. 149)Рис. 149.xk−1/2 = a +2k − 1h.2Наметим на оси OY точки:A1 (y1/2 ), A2 (y3/2 ), A3 (y5/2 ), .
. . , Ak (yk−1/2 ).На оси OX влево от точки O построим отрезок OP , равный единице.Проведем лучиP A1 , P A2 , P A3 , . . . , P Ak ,и через точки M0 , M1 , M2 , . . . , — им параллельные, так чтоM0 M1 kP A1 , M1 M2 kP A2 , M2 M3 kP A3 , . . .Точки M0 , M1 , M2 , . . . и будут точками искомой приближенной интегральной кривой, так как нетрудно из чертежа убедиться, чтоx1 M1 = hy1/2 , x2 M2 = h(y1/2 + y3/2 ), x3 M3 = h(y1/2 + y3/2 + y5/2 ), . .
. ,112]§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле353а это, в силу приближенного равенства (51), показываетxk Mk =h(y1/2 + y3/2 + · · · + yk−1/2 )=hy + yyk−1 + yk 01+ ··· +=F (xk )22в силу формулы (48).Указанное построение проделано для того случая, когда масштаб дляфункции F (x) совпадает с масштабом для f (x). Если масштаб для площади другой, то построение остается тем же с тою только разницей, чтоотрезок OP имеет длину не единицу, а l, причем l равно отношениюмасштаба для F (x) к масштабу для f (x).Графическое приближенное построение повторного интеграла x∗ZxZΦ(x) = dx f (x)dxaaосновано на формуле прямоугольников (40) [108].Положим, как и раньше, чтоF (x) =Zxf (x)dx.aРассматривая только значения x0 , x1 , x2 , . . . , xn , . . . независимой переменной x, мы по формуле (40) имеем приближенное равенствоF (x1 ) ≈ hy0 ,F (x2 ) ≈ h(y0 + y1 ), . .
. , F (xk ) ≈ h(y0 + y1 + · · · + yk−1 ).Применяя ту же формулу и к функции Φ, имеемΦ(xk ) = h[F (x0 ) + F (x1 ) + · · · + F (xk−1 )] ≈≈ h2 [y0 + (y0 + y1 ) + · · · + (y0 + y1 + · · · + yk−1 )].(52)Отсюда вытекает следующее построение ординаты Φ(xk ) (рис. 150):построив точку P , как и раньше, мы на оси OY откладываем отрезкиOB1 = y0 ,B1 B2 = y1 ,B2 B3 = y2 , . . . ,Bk−1 Bk = yk−1 , . . .354Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[112Рис. 150.Проведя лучиP B1 , P B2 , P B3 , . . .
, P Bk , . . . ,строим точкиM0 , M1 , M2 , . . . , Mk , . . . ,проводяM0 M1 kP B1 , M1 M2 kP B2 , M2 M3 kP B3 , . . .Эти точки и будут точками искомой приближенной кривой, начерченной, однако, в неизменном масштабе (1 : h), ибо из построения ясно,чтоx1 M1 = hy0 , x2 M2 = hy0 + h(y0 + y1 ), . . . ,xk Mk = hy0 + h(y0 + y1 ) + · · · + h(y0 + y1 + · · · + yk−1 ) ≈Φ(xk )hв силу (52). Если длина OP есть не единица, а l, то построенная кривая дает ординату кривой Φ(x), измененную в отношении 1 : lh. Следует оговорить, что при всем удобстве указанных построений точностьих невелика, и их можно употреблять лишь при сравнительно грубыхрасчетах.∗ Переменную интегрирования во внутреннем интеграле, вообще говоря,следует обозначить другой буквой, например t.113]§ 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
