1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 55
Текст из файла (страница 55)
В качестве примера можем привести функцию, равную нулю при 0 6 x < 12 , равную 12 при 21 6 x < 23 , равную 23 при233 6 x < 4 , и т. д. и, наконец, равную 1 при x = 1. У этой неубывающей функции точками разрыва будут на промежутке (0, 1) значения1 2 3 4x = , , , ,...2 3 4 5Упомянем о том, что монотонная ограниченная функция должна иметь во всякой точке разрыва x = c пределы f (c − 0) и f (c + 0).Это непосредственно следует из существования предела у монотонной и ограниченной последовательности чисел [30].При выводе условий интегрируемости мы всегда предполагали f (x) ограниченной. Можно доказать, что это условие является117] § 11.
Дополнительные сведения об определенном интеграле367необходимым условием интегрируемости, т. е. существования определенного предела у суммы (2). Если это условие ограниченностине выполнено, то все же в некоторых случаях можно определитьинтеграл от f (x) по промежутку (a, b), но уже не как предел суммы (2). В этом случае интеграл называется несобственным. Основы учения о несобственном интеграле выяснены нами в [97].
Болееподробно это будет изложено во втором томе.Если промежуток интегрирования (a, b) бесконечен в одну илив обе стороны, то понятие об определенном интеграле по такомупромежутку также не приводится непосредственно к пределу суммы вида (2). В этом случае мы имеем тоже несобственный интеграл(см. [98] и второй том).117.
Свойства интегрируемых функций. Пользуясь найденным выше необходимым и достаточным условием интегрируемости, нетрудно выяснить основные свойства интегрируемых функций.I. Если f (x) интегрируема в промежутке (a, b), и мы изменим произвольно значения f (x) в конечном числе точек из (a, b),то новая функция будет также интегрируема в (a, b) и величинаинтеграла от этого не изменится.Ограничимся рассмотрением того случая, когда мы изменилизначение f (x) в одной точке, например в точке x = a. Новая функция ϕ(x) везде совпадет с f (x), кроме x = a, а ϕ(a) берем произвольно. Пусть m и M — точные нижняя и верхняя границы f (x)в (a, b). Точная нижняя граница ϕ(x) будет, очевидно, больше илиравна m, если ϕ(a) > m, и будет ϕ(a), если ϕ(a) < m.
Точно также точная верхняя граница ϕ(x) будет меньше или равна M , если ϕ(a) 6 M , и будет ϕ(a), если ϕ(a) > M . Сравнивая сумму (12)для f (x) и ϕ(x), замечаем, что разница может быть только в первом слагаемом (при k = 1). Но это первое слагаемое, очевидно, дляf (x) и ϕ(x) стремится к нулю, так как δ1 → 0 и (M1 −m1 ) ограничено. Сумма остальных слагаемых, кроме первого, также, очевидно,стремится к нулю, так как f (x) интегрируема, и вся сумма (8) дляf (x) должна стремиться к нулю. Интегрируемость ϕ(x) доказана.Совпадение значений интеграла для f (x) и ϕ(x) очевидно, ибо присоставлении сумм (2) мы всегда можем считать ξ1 , отличным от368Гл.
III. Понятие об интеграле и его приложения[117a, а значения f (x) и ϕ(x) во всех точках, кроме x = a, совпадают.II. Если f (x) интегрируема в промежутке (a, b), то она интегрируема в любом промежутке (c, d), составляющем часть (a, b).Это легко следует из того, что сумма (8), состоящая из неотрицательных слагаемых, для промежутка (c, d) не больше, чем этасумма для (a, b), при условии, что в этой последней сумме x = c иx = d суть точки деления.
В силу интегрируемости f (x) на (a, b)сумма (8) для (a, b) стремится к нулю при µ(δ) → 0 при любыхточках деления. Тем более и сумма для (c, d) стремится к нулю,если µ(δ) → 0 для частичных промежутков из (c, d), т. е. f (x) интегрируема на (c, d). Заметим, что c может совпадать с a, а d можетсовпадать с b. Совершенно так же, как и в [94], доказывается равенствоZbaf (x)dx =Zcaf (x)dx +Zbf (x)dx(a < c < b).cIII.
Если f (x) интегрируема в (a, b), то и cf (x), при любомпостоянном c, также интегрируема в (a, b).Считая, например, c > 0, можно утверждать, что для функцииcf (x) надо заменить прежние mk и Mk на cmk и cMk . Сумма (8)приобретает лишь множитель c и будет по-прежнему стремитьсяк нулю. Свойство V из [94], очевидно, сохраняется и доказываетсяпо-прежнему.IV. Если f1 (x) и f2 (x) — функции, интегрируемые в (a, b), тоих суммаϕ(x) = f1 (x) + f2 (x)также интегрируема в (a, b).Пусть m′k , Mk′ , m′′k , Mk′′ — точные нижние и верхние границыf1 (x) и f2 (x) в промежутке (xk−1 , xk ). Таким образом, все значенияf1 (x) в промежутке (xk−1 , xk ) больше или равны m′k , а все значенияf2 (x) там же больше или равны m′′k . Отсюда ϕ(x) > m′k + m′′k впромежутке (xk−1 , xk ).Точно так же доказывается, что ϕ(x) 6 Mk′ + Mk′′ в промежутке(xk−1 , xk ).
Обозначая через mk и Mk точную нижнюю и точную117] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле369верхнюю границы ϕ(x) в промежутке (xk−1 , xk ), имеем, таким образом,mk > m′k + m′′k и Mk 6 Mk′ + Mk′′ ,откуда следует неравенствоMk − mk 6 (Mk′ + Mk′′ ) − (m′k + m′′k ),то естьMk − mk 6 (Mk′ − m′k ) + (Mk′′ − m′′k ).Составляя сумму (8) для ϕ(x), получим06nXk=1(Mk − mk )δk 6nXk=1(Mk′ − m′k )δk +nXk=1(Mk′′ − m′′k )δk .Обе суммы, стоящие справа, стремятся к нулю при µ(δ) → 0,так как функции f1 (x) и f2 (x) по условию интегрируемы. Следовательно, сумма (8) для ϕ(x), т. е. суммаnXk=1(Mk − mk )δk ,и подавно стремится к нулю, т. е.
ϕ(x) также интегрируема. Доказательство распространяется легко на случай алгебраической суммылюбого конечного числа слагаемых. Свойство VI из [94] доказывается, как и раньше.Аналогично предыдущему доказываются следующие свойства:V. Произведение f1 (x)f2 (x) двух функций, интегрируемых в(a, b), будет функция, также интегрируемая в (a, b).VI. Если f (x) интегрируема в (a, b) и точные нижняя и верхняя границы m и M функции f (x) в (a, b) одного и того же знака,1есть функция, интегрируемая в (a, b).то и f (x)VII. Если f (x) интегрируема в (a, b), то и ее абсолютное значение |f (x)| также есть функция, интегрируемая в (a, b).Неравенство (10) из [95] может быть доказано, как и выше.
Совершенно так же остается справедливым и свойство VII из [95], еслиf (x) и ϕ(x) — интегрируемые функции. Теорема о среднем читаетсятак:370Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения[117Если f (x) и ϕ(x) интегрируемы в промежутке (a, b) и ϕ(x)сохраняет знак в этом промежутке, тоZbf (x)ϕ(x)dx = µaZbϕ(x),aгде µ — некоторое число, удовлетворяющее неравенству m 6 µ 6M , а m и M — точные нижняя и верхняя границы f (x) в (a, b). Вчастности,Zbf (x)dx = µ(b − a).aДоказательство будет таким же, что и раньше [95].
Пользуясьэтой формулой, нетрудно установить, чтоZxF (x) = f (t)dtaесть непрерывная функция от x, и F ′ (x) = f (x) при всех значениях x, где f (x) непрерывна. Наконец, установим основную формулу интегрального исчисления для интегрируемых функций.
ПустьF1 (x) — непрерывная в промежутке (a, b) функция, и при любомзначении x внутри промежутка (a, b) имеется производная F1′ (x) =f (x), где f (x) — интегрируемая в (a, b) функция.При этом имеет место основная формулаZbaf (x)dx = F1 (b) − F1 (a).Разбивая промежуток на части и применяя к каждой части(xk−1 , xk ) формулу конечных приращений [63], можем написатьF1 (xk ) − F1 (xk−1 ) = F1′ (ξk )δk = f (ξk )δk(xk−1 < ξk < xk ).(14)Далее, суммируя по k и принимая во внимание, что (III из [116])nXk=1[F1 (xk ) − F1 (xk−1 )] = F1 (b) − F1 (a),117] § 11. Дополнительные сведения об определенном интегралемы получимF1 (b) − F1 (a) =nX371f (ξk )δk .k=1Равенство это справедливо при любом разбиении промежутка(a, b) на части ввиду специального выбора точек ξk , определяемогоформулой конечных приращений (14).
Переходя к пределу, получим вместо суммы интегралF1 (b) − F1 (a) =Zbf (x)dx,aчто и требовалось доказать. Заметим, что при определении интеграла значения f (x) на концах промежутка (a, b) не играют роли,в силу свойства I настоящего номера.Г Л А В А IVРЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ КПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ§ 12. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИЗ ТЕОРИИБЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ118. Понятие о бесконечном ряде. Пусть дана бесконечнаяпоследовательность чиселu 1 , u 2 , u 3 , .
. . , un , . . .(1)Составив сумму n первых членов последовательностиsn = u 1 + u 2 + . . . + u n ,(2)мы получим, таким образом, другую бесконечную последовательность чиселs1 , s2 , . . . , sn , . . .Если эта последовательность стремится к пределу (конечному):s = lim sn ,n→∞говорят, что бесконечный рядu1 + u2 + . . . + un + . . .(3)118]§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов373сходится и имеет сумму s, и пишут:s = u1 + u2 + . .
. + un + . . .(4)Если же sn не стремится к пределу, то говорят, что бесконечный ряд (3) расходится.∗Иначе говоря, бесконечный ряд (3) называется сходящимся, если сумма его первых n слагаемых при беспредельном возрастанииn по всем целым положительным значениям стремится к пределу, и этот предел называется суммою ряда.О сумме бесконечного ряда можно говорить только тогда, когдаон сходится и тогда сумма первых членов ряда sn является приближенные выражением для суммы ряда s.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
