1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Основные понятия из теории бесконечных рядов381т. е. члены ряда меньше членов убывающей геометрической прогрессииu1 + u1 q + u1 q 2 + . . . + u1 q n−1 + . . . + . . .(0 < q < 1),и, в силу 2, ряд (11) сходится. В случае же (21)u1 6 u2 6 u3 6 . . . 6 un−1 6 un 6 . . . ,т. е. члены ряда не убывают по мере удаления от начала, следовательно, un не стремится к нулю при n → ∞, и ряд сходиться неможет (свойство IV [119]).С л е д с т в и е. Если при беспредельном возрастании n√nunилиunun−1(22)стремится к конечному пределу r, то рядu1 + u2 + u3 + . .
. + un + . . .сходится при условии r < 1 и расходится при условии r > 1.∗Пусть сперва r < 1. Выберем число ε настолько малым, чтобыбыло также иr + ε < 1.∗∗√nбудет отличатьПри больших значениях n величина n un или uun−1ся от своего предела r не больше, чем на ε, т. е. мы, начиная снекоторого достаточно большого значения n, будем иметьr−ε6илиr−ε6√nun 6 r + ε < 1(231 )un6 r + ε < 1.un−1(232 )Применяя признаки Коши или Даламбера при q = r + ε < 1, всилу (231 ) или (232 ), сразу заключаем о сходимости данного ряда.∗При r = 1 признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.Такое ε всегда найдется так как r строго меньше 1.∗∗382Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [121Аналогичным образом доказывается и расходимость его приусловии r > 1 или если хоть одно из выражений (22) стремитсяк (+∞).П р и м е р ы.
1. Ряд∞Xx2xxnxn++ ... +.+ ... =11·21 · 2 · 3...nn!n=01+(24)Применяя признак Даламбераun+1 =xn,n!un =xn−1,(n − 1)!xun+1= →0unnприn → ∞,а потому данный ряд сходится при всех конечных значениях x (положительных).2. Ряд∞Xxn.(25)nn=1Здесь мы имеемun =xn,nun−1 =xn−1,n−1unn−1=x → x,un−1nа потому, по признаку Даламбера, данный ряд сходится при 0 6 x < 1 ирасходится при x > 1.3. Ряд∞Xr n sin2 nα (r > 0).(26)n=1Применяя признак Коши, имеемun = r n sin2 nα,√nun = rpnsin2 nα 6 r,а потому данный ряд сходится, если r < 1.Признак Даламбера в данном случае не дает никакого результата,ибо отношениеh sin nα i2un=run−1sin(n − 1)αне стремится ни к какому пределу и даже не остается все время < 1 или> 1.121]§ 12.
Основные понятия из теории бесконечных рядов383Вообще, можно показать, что признак Коши сильнее признака Даламбера, т. е. он может применяться во всех случаях, когда применяетсяпризнак Даламбера, но сверх того и в некоторых других, когда последний не может применяться. Но зато пользование им сложнее, чем признаком Даламбера, в чем нетрудно убедиться хотя бы на первых двух изразобранных выше примерах.Заметим, далее, что бывают случаи, когда и признак Коши и признакДаламбера применяться не могут; это случается, например, всякий раз,когда√unnun и→ 1,un−1т. е.
когда r = 1. Мы имеем тогда дело с сомнительным случаем, когдавопрос о сходимости или расходимости должен быть разрешен какимлибо иным путем.Так, например, для гармонического ряда∞X1,nn=1который, как мы видели в [119], есть ряд расходящийся, мы имеемr11√n−1unn 1=→ 1, n un == e n log n → 19 ,un−1nnи, таким образом, вопрос о сходимости или расходимости гармоническогоряда не мог быть решен с помощью признаков Коши или Даламбера.С другой стороны, дальше мы докажем, что ряд∞X1111=1+ + ++ ...2n4916n=1есть ряд сходящийся.Но для него мы имеем опять n − 1 2un=→ 1,un−1n√nun =rn1=n2r !2n 1→ 1,n9 В предыдущих вычислениях существенно обратить внимание на то, что111, то x → 0 и nlog n= x log x → 0 [66]. Отсюда, логарифесли положить x = nqn 1,убеждаемся,чтооностремится к единице.мируя выражениеn384Гл.
IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [122т. е. опять-таки сомнительный случай, если применять признаки Кошиили Даламбера.122. Интегральный признак сходимости Коши. Предположим, что члены данного рядаu1 + u2 + u3 + . . . + un + . . .(27)положительны и не возрастают, т.
е.u1 > u2 > . . . > un > un+1 > . . . > 0.(28)Изобразим члены ряда графически, откладывая по оси абсцисснезависимую переменную n, принимающую пока только целые значения, а по оси ординат — соответствующие значения un (рис. 155).Всегда можно найти такую непрерывную функцию y = f (x), которая при целых значениях x = n принимает как раз значения un ;для этого достаточно провести непрерывную кривуючерез все построенные точки; будем при этом считать,что и функция y = f (x) невозрастающая.∗При таком графическомизображении сумма n первых членов данного рядаРис. 155.sn = u 1 + u 2 + u 3 + .
. . + u nпредставится как сумма площадей «выходящих» прямоугольников,которая заключает внутри себя площадь фигуры, ограниченнойкривой y = f (x), осью OX и ординатами x = 1, x = n + 1, а потомуsn >n+1Zf (x)dx.(29)1∗Обычно эта функция может быть получена путем замены n в формуле11общего члена ряда на x.
Например Un = (2n+3)2 , f (x) = (2x+3)2 .122]§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов385С другой стороны, та же фигура заключает внутри себя все«входящие» прямоугольники, сумма площадей которых равнаu2 + u3 + u4 + . . . + un+1 = sn+1 − u1 ,(30)а потомуsn+1 − u1 6n+1Zf (x)dx.(31)1Эти неравенства приводят нас к следующему признаку.5. И н т е г р а л ь н ы й п р и з н а к К о ш и. Ряд (27)u1 + u2 + u3 + . .
. + un + . . . ,un = f (n),члены которого положительны и не возрастают при возрастанииn, сходится или собственно расходится, смотря по тому, имеетли интегралZ∞I = f (x)dx(32)1конечное значение или равен бесконечности.Напомним при этом, что f (x) должна убывать при возрастанииx.Пусть сперва интеграл I имеет конечное значение, т.
е. криваяy = f (x) имеет конечную площадь [98]. Из положительности f (x)вытекаетn+1ZZ∞f (x)dx < f (x)dx,11а потому, в силу (31),sn < sn+1 6 u1 + I,т. е. сумма sn остается ограниченной при всех значениях n, и наосновании признака I [120] ряд (27) будет сходящимся.386Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [122Пусть теперь I = ∞, т. е. интегралn+1Zf (x)dx1при увеличении n может быть сделан больше любого заданногонаперед числа N .
Тогда в силу (29) и сумма sn может быть сделанабольше N , т. е. ряд (27) будет собственно расходящимся.Аналогичным путем можно показать, что остаток ряда (27) непревосходит интегралаZ∞f (x)dx.nЗ а м е ч а н и е. При применении признака Коши в интеграле(32) нижний предел, равный единице, можно заменить любымчислом a, большим единицы, так как интегралы с нижним пределом единица и a одновременно или сходятся или расходятся [98].Примеры. 1. Гармонический ряд∞X1.nn=1Здесь мы имеемf (n) =1,nf (x) =1;xа потому можно положитьтогдаI=Z∞1∞dx= log xx1и интеграл расходится, ибо log x → +∞ при x → +∞; данный ряд, какмы уже знаем, расходящийся.2.
Более общий ряд∞X1,(33)pnn=1123]§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов387где p — любое число, большее нуля (при p 6 1 ряд, очевидно, расходящийся). Здесь мы имеем∞1Z∞x1−p , если p 6= 1,11dx1−p1=f (n) = p , f (x) = p , I =∞nxxplog x , если p = 1.11Отсюда ясно, что интеграл расходится, если p 6 1, и сходится и равенесли p > 1. Действительно, в последнем случае показатель 1−p < 0,1→ 0 при x → +∞, и, следовательно,= xp−1∞111x1−p = 0 −=.1−p1−pp−111,p−11−pxСледовательно, в силу признака Коши, ряд (33) будет сходящимся, еслиp > 1, и расходящимся, если p 6 1.123. Знакопеременные ряды. Переходя к рядам с какимиугодно членами, мы рассмотрим прежде всего ряды знакопеременные, у которых члены попеременно положительны и отрицательны.Такие ряды удобнее писать не так, как раньше, а в видеu1 − u2 + u3 − u4 .
. . ± un ∓ un+1 . . . ,(34)причем числаu1 ,u2 ,u3 ,. . . , un ,...,10считаются положительными .Относительно знакопеременных рядов можно доказать следующее предложение:Для того чтобы знакопеременный ряд сходился, достаточно,чтобы абсолютные значения его членов убывали и стремились кнулю при возрастании n. Остаток такого ряда по абсолютномузначению не превосходит абсолютного значения первого из отброшенных членов.Рассмотрим сперва суммы четного числа членов рядаs2n = u1 − u2 + u3 − u4 + . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
