1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 58
Текст из файла (страница 58)
+ u2n−1 − u2n .10 Здесь мы считаем, что первый член ряда положительный; если он отрицательный, то ряд запишется в виде −u1 + u2 − u3 + u4 − . . ..388Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [123Так как по условию абсолютные значения членов ряда убывают(лучше сказать, не возрастают) при возрастании n, то, вообще,uk > uk+1и u2n+1 − u2n+2 > 0,а потомуs2n+2 = s2n + (u2n+1 − u2n+2 ) > s2n ,т.
е. переменная s2n — не убывающая. С другой стороны, мы имеемs2n = u1 − (u2 − u3 ) − (u4 − u5 ) − . . . − (u2n−2 − u2n−1 ) − u2n 6 u1 ,так как все разности в скобках неотрицательны, т. е. переменнаяs2n остается ограниченной при всех значениях n.
Отсюда следует,что, при беспредельном возрастании n, s2n стремится к конечномупределу [30], который мы обозначим через s:lim s2n = s.n→∞Далее, мы имеемs2n+1 = s2n + u2n+1 → sприn → ∞,так как по условию u2n+1 → 0.Мы видим, таким образом, что как сумма четного, так и сумманечетного числа членов ряда (34) стремится к одному и тому жепределу s, т. е. ряд (34) сходящийся и имеет сумму s.Остается еще оценить остаток rn ряда.
Мы имеемrn = ±un+1 ∓ un+2 ± un+3 ∓ un+4 ± . . . ,причем одновременно надо брать верхние или нижние знаки. Иначеrn = ±(un+1 − un+2 + un+3 − un+4 + . . .),откуда, рассуждая как и раньше, имеем|rn | = (un+1 − un+2 ) + (un+3 − un+4 ) + . . . =124]§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов389= un+1 − (un+2 − un+3 ) − (un+4 − un+5 ) − . . .
6 un+1 ,что и требовалось доказать.Из формулыrn = ±[(un+1 − un+2 ) + (un+3 − un+4 ) + . . .],в квадратных скобках которой стоят неотрицательные количества,следует, что знак rn совпадает с тем знаком, который надо братьперед квадратной скобкой, т. е. совпадает со знаком ±un+1 . Итак,при указанных в теореме условиях знак остатка знакопеременного ряда совпадает со знаком первого из отброшенных членов.П р и м е р.
Ряд111+ − + ...234есть знакопеременный ряд, абсолютные значения членов которого беспредельно убывают при n → ∞, а потому он будет сходящимся. Мыувидим в дальнейшем, что его сумма равна log 2. Однако для действительного вычисления log 2 этот ряд не годится, так как для того чтобыостаток его был меньше 0,0001, нужно взять 10 000 его членов:1−|rn | <16 0, 0001;n+1n > 10 000.Итак, ряд этот хотя и сходится, но сходится очень медленно; для тогочтобы иметь с такими рядами дело на практике, нужно предварительнопреобразовать их из медленно сходящихся в быстро сходящиеся, или, какговорят, улучшить сходимость.124.
Абсолютно сходящиеся ряды. Из прочих рядов с какими угодно членами мы остановимся лишь на рядах абсолютносходящихся.Рядu1 + u2 + u3 + . . . + un + . . .(35)сходится, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений членов данного ряда, т. е. ряд|u1 | + |u2 | + |u3 | + . .
. + |un | + . . .(36)390Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [124Такие ряды называются абсолютно сходящимися рядами.∗Итак, допустим, что ряд (36) сходится, и положимvn =1(|un | + un ),21(|un | − un ).2wn =Оба числаvn и wn , наверно, неотрицательны,так как очевидно((un , если un > 0,0,если un > 0,vn =wn =0если un 6 0,|un |, если un 6 0.С другой стороны, как vn , так и wn не превосходят |un |, т. е.общего члена сходящегося ряда (36), а потому, в силу признака 2сходимости рядов с положительными членами [120], оба ряда∞Xn=1vn ,∞Xwnn=1будут сходящимися.Так как мы имеемun = vn − wn ,то будет сходиться и ряд∞Xn=1un =∞X(vn − wn ) =n=1∞Xn=1который получается вычитанием рядаvn −∞Pn=1∞Xwn ,n=1wn из ряда∞Pvn [119].n=1Сходящиеся ряды с положительными членами представляютчастный случай абсолютно сходящихся рядов, признаки сходимости которых получаются непосредственно из признаков сходимостирядов с положительными членами.Признаки сходимости 1–5, выведенные в [120, 121, 122] для рядов с положительными членами, применяются и к рядам с какими угодно членами, если только условиться заменить везде un на|un |.
При этом условии останутся в силе и признаки расходимости 3 и 4 и следствие из них [121].∗ Если ряд сходится, но абсолютной сходимости нет, ряд называется сходящимся условно. Из абсолютной сходимости следует условная.124]§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов391В частности, в формулировках признаков Коши и Даламберанужно заменить u p√un n nun ина n |un | и .un−1un−1 n |un |Так, например, если uun−1 < q < 1, т. е. |un−1| < q < 1, то согласнопризнаку Даламбера [121], ряд с положительными членами (36)сходится,а следовательно, ряд (35) сходится абсолютно. Если же un un−1 > 1, т. е.
|un | > |un−1 |, то, при возрастании n, члены un неубывают по абсолютному значению, а потому не могут стремитьсяк нулю, и ряд (35)Отсюда, как и в следствии [121], расходится. n →rследует, что если uun−1<1,то ряд (35) абсолютно сходится; n если же uun−1 → r > 1, то ряд (35) расходится.З а м е ч а н и е. Заметим еще, что если члены некоторого ряда(35) по абсолютному значению не больше некоторых положительных чисел |un | 6 an и ряд a1 + a2 + . . . + an + . . . из этих чиселсходится, то ряд (36) и подавно сходится [120], т. е.
ряд (35) абсолютно сходится.П р и м е р ы. 1. Ряд (пример [121])∞Xxnn!n=1абсолютно сходится при всех конечных значениях x как положительных,так и отрицательных, ибо|x| un+1 →0=unnпри всех конечных значениях x.2. Ряд∞Xxnnn=1абсолютно сходится при |x| < 1 и расходится при |x| > 1, так как u n−1 n |x| → |x|.=un−1n392Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [1253. Ряд∞Xr n sin nαn=1абсолютно сходится при |r| < 1, ибо для негоpppn|un | = n |r n || sin nα| 6 n |r|n = |r| < 1.Необходимо заметить, что далеко не всякий сходящийся ряд естьвместе с тем и абсолютно сходящийся, т. е.
остается сходящимся, есликаждый член ряда заменить его абсолютным значением. Так, например,знакопеременный ряд1−111+ − + ...,234как мы видели, — сходящийся; если же заменить каждый член его абсолютным значением, получим расходящийся гармонический ряд:1+111+ + + ...234Абсолютно сходящиеся ряды обладают многими замечательнымисвойствами, которые изложены в § 14. Так, например, только они обладают свойством конечных сумм — независимостью суммы от порядкаслагаемых.125. Общий признак сходимости. В заключение настоящегопараграфа упомянем о необходимом и достаточном условии сходимости рядаu1 + u2 + u3 + .
. . + un + . . .Сходимость эта по определению равносильна существованию предела у последовательностиs1 ,s2 ,s3 ,...,sn . . . ,где sn — сумма n первых членов ряда. Но для существования этогопредела мы имеем следующее необходимое и достаточное условиеКоши [31]:для любого заданного положительного ε существует такое N ,что|sm − sn | < ε126]§ 13. Формула Тейлора и ее приложения393при всяких m и n > N .
Положим для определенности, что m > n ипусть m = n+p, где p — любое целое положительное число. Заметив,что тогдаsm − sn = sn+p − sn = (u1 + u2 + . . . + un + un+1 + . . . + un+p )−− (u1 + u2 + . . . + un ) = un+1 + un+2 + . . . + un+p ,мы можем высказать следующий общий признак сходимости ряда.Для сходимости бесконечного рядаu1 + u2 + u3 + . . . + un + . .
.необходимо и достаточно, чтобы для любого заданного положительного ε существовало такое число N , что при всяком n > Nи при всяком положительном p выполняется неравенство|un+1 + un+2 + . . . + un+p | < ε,т. е. сумма какого угодно числа последовательных членов ряда, начиная с un+1 , остается по абсолютному значению меньше ε, кольскоро n > N .Необходимо заметить, что при всей теоретической важностиэтого общего признака сходимости ряда, применение его на практике обычно затруднительно.§ 13. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ126. Формула Тейлора. Рассмотрим многочлен n-й степени:f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . .
. + an xn ;придадим x приращение h и вычислим соответствующее значениефункции f (x + h). Это значение, очевидно, можно разложить постепеням h, раскрывая различные степени (x + h) по формуле бинома Ньютона и располагая окончательный результат по степенямh. Коэффициенты при различных степенях h будут многочленами,зависящими от x:394Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [126f (x + h) = A0 (x) + hA1 (x) + h2 A2 (x) + .
. . ++ hk Ak (x) + . . . + hn An (x),(1)и нужно только определить многочлены:A0 (x),A1 (x),...,An (x).Для этого мы изменим обозначения, написав в тождестве (1) aвместо x и вместо x + h просто x. Тогда окажетсяh = x − a,и, вместо (1), мы получимf (x) = A0 (a) + (x − a)A1 (a) + (x − a)2 A2 (a) + . . . ++ (x − a)k Ak (a) + . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
