1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Разложение ex . Прежде всего мы имеемf (x) = ex ,f ′ (x) = ex ,...,f (k) (x) = ex ,а потомуf (0) = f ′ (0) = . . . = f (k) (0) = 1,...,402Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [129и формула Маклорена с остаточным членом (14) даетf (x) = 1 +x2xn+1 θxxxn++ ...++e1!2!n!(n + 1)!(0 < θ < 1).Мы видели (пример [121]), что ряд∞Xxnn!n=0есть абсолютно сходящийся при всех конечных значениях x, а потому при всяком x имеемxn+1→ 0 при(n + 1)!n → ∞,так как это выражение есть общий член сходящегося ряда11 .
С другой стороны, множитель eθx в выражении остаточного члена, наверно, не превосходит ex при x > 0 и единицы при x < 0, а потомуостаточный член стремится к нулю при всех значениях x, и мыполучим разложениеex = 1 +x2xxn++ ...++ ...,1!2!n!(18)которое имеет место при всех значениях x.В частности, при x = 1 получаем выражение для e, весьма удобное для вычисления e с любой степенью точностиe=1+111+ + ...++ ...1! 2!n!Пользуясь этой формулой, вычислим число e с шестью десятичнымизнаками. Если мы приближенно положимe ≈2+11 См.также пример в [34].11+... + ,2!n!130]§ 13. Формула Тейлора и ее приложения403то ошибка будетhi11111++...
=1+++... <(n + 1)!(n + 2)!(n + 1)!n+2(n + 2)(n + 3)hi111111,<1+++ ... =·=1(n + 1)!n+1(n + 1)2(n + 1)! 1 − n+1n!nпричем знак (<) поставлен потому, что в знаменателе дробей множители(n + 2), (n + 3), (n + 4), . . . заменены меньшим числом (n + 1), отчего вседроби увеличились.Можно поэтому указать следующие пределы, между которыми заключается число e:2+11111+ ... +<e<2++ ...
++.2!n!2!n!n!nЕсли желаем получить для e приближенное значение, отличающеесяот истинного не более, чем на 0,000 001, положим n = 10; тогдаe ≈2+111++ ... +,2!3!10!1и ошибка не превзойдет 10!10< 3 · 10−8 . В этой формуле первые дваслагаемых вычисляются точно; остальные восемь слагаемых нужно вычислить с семью знаками, так как при этом ошибка каждого слагаемогоне больше 0,5 единицы седьмого знака, т. е. 0, 5 · 10−7 , а вся ошибка небольше10−7 · 0, 5 · 8 = 4 · 10−7 ,т. е. четырех единиц седьмого знака, а потому общая ошибка по абсолютному значению не будет превышать 4, 3 · 10−7 .
Мы имеемЗначение e с 12 знаками есть 2,718 281 828 459.130. Разложение sin x и cos x. Мы имеем [53]:ππ, . . . , f (n) (x) = sin x + k ,f (x) = sin x, f ′ (x) = sin x +22откудаf ′ (0) = 1,f (0) = 0,f(2m)(0) = 0,f ′′ (0) = 0,f(2m+1)f ′′′ (0) = −1,m(0) = (−1) ,...,404Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [1302 = 2, 000 0001211= 2!33!11= 3!44!11=5!4!511= 5!66!11= 6!77!11= 7!88!11= 8!99!11= 9!1010!12!=0 (точно)= 0, 500 0000„= 0, 166 6667 (по избытку)= 0, 041 6667„ „= 0, 008 3333 (по недостатку)= 0, 001 3889 (по избытку)= 0, 000 1984 (по недостатку)= 0, 000 0248„ „= 0, 000 0028 (по избытку)= 0, 000 0003„ „e ≈ 2, 7182818.после чего формула (13) даетsin x =x3x5x(−1)n x2n+1−+− ...+1!3!5!(2n + 1)!x2n+3(2n + 3)π.+sin θx +(2n + 3)!22n+3xВ остаточном члене множитель (2n+3)!, как мы видели выше,стремится к нулю при n → ∞, а абсолютное значение синуса непревышает единицы, и, следовательно, остаточный член стремитсяк нулю при всех конечных значениях x, т.
е. разложениеsin x = x −x5(−1)n x2n+1x3+− ...++ ...3!5!(2n + 1)!(19)имеет место при всех значениях x.Аналогичным образом мы можем доказать, что разложениеcos x = 1 −x4(−1)n x2nx2+− ...++ ...2!4!(2n)!(20)имеет место при всех значениях x.Ряды (19) и (20) весьма удобны для вычисления значений функций sin x и cos x при малых значениях угла x. При всех значенияхx, как положительных, так и отрицательных, они знакопеременные, так что если мы взяли такое число членов, что дальнейшие131]§ 13. Формула Тейлора и ее приложения405идут убывая, то ошибка по абсолютному значению не превосходитпервого из отброшенных членов [123].При больших значениях x ряды (19) и (20) также сходятся, номедленно и для вычисления неудобны. На рис.
156 показано взаимное расположение точнойкривой sin x и первых трехприближений:x,x−x3,6x−x5x3+.6120Чем больше членов взято в приближенной формуле, тем в большем промежутке приближенная кривая близка к точной. Заметим, что во всех написанных формулах угол x выражаетсяв дуговой мере, т. е. в радианах [33].Рис. 156.П р и м е р.
Вычислить sin 10◦ с точностью до 10−5 . Прежде всегопереводим градусную меру в дуговуюarc10◦ =2ππ· 10 == 0, 17 . . .36018Остановившись на приближенной формуле 3π1 ππ≈−,sin18186 18мы делаем ошибку, не превосходящую1· (0, 2)5 < 4 · 10−6120π< 0, 2 .18πВ правой части предыдущей формулы sin 18надлежит вычислятькаждое слагаемое с шестью знаками, так как тогда полная ошибка будетне больше2 · 0, 5 · 10−6 = 5 · 10−6 .С указанной точностью мы имеем 3π1 π= 0, 174 533,= 0, 000 886,186 18sinпричем за первые четыре знака можно ручаться.π= 0, 173 647,18406Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [131131. Бином Ньютона.
Здесь мы имеем, считая x > −1, т. е.1 + x > 0:f (x) = (1 + x)m ,f(k)′f (0) = 1,f ′ (x) = m(1 + x)m−1 ,...,m−k(x) = m(m − 1) . . . (m − k + 1)(1 + x)f (0) = m,...,f(k),(0) = m(m − 1) . . . (m − k + 1),где m — любое вещественное число, так что формула (13) дает нам:(1 + x)m = 1 +m(m − 1) 2mx+x + ...+12!m(m − 1) . . . (m − n + 1) nx + Rn (x),+n!(21)где остаточный член может быть определен по формуле (8) приa = 0:Zx1f (n+1) (t)(x − t)n dt.Rn (x) =n!0Принимая во внимание, что в данном случаеf (n+1) (t) = m(m − 1) . .
. (m − n)(1 + t)m−n−1 ,можем написатьRn (x) =m(m − 1) . . . (m − n)n!Zx0(x − t)n (1 + t)m−n−1 dt.(22)Применяя к интегралу теорему о среднем (13) из [95] и обозначаячерез θx, где 0 < θ < 1, значение t, лежащее между 0 и x и входящеев упомянутую теорему о среднем, получимZxm(m − 1) . . . (m − n)nm−n−1(x − θx) (1 + θx)dt =Rn (x) =n!0n(m − 1)(m − 2) . . . (m − n) n 1 − θx=(1 + θx)m−1 mx. (23)n!1 + θx131]§ 13. Формула Тейлора и ее приложения407Если Rn → 0, то ряд1+m(m − 1) 2mm(m − 1) . .
. (m − n + 1) nx+x +...+x + . . . (24)1!2!n!должен быть сходящимся [118]. Мы имеем un+1 m − n + 1 =x → |x| при n → ∞, un nа потому ряд сходится (абсолютно) при |x| < 1 и расходится при|x| > 1 [124]. Хотя ряд (24) и сходится при |x| < 1, однако ещенеясно, что при этом его сумма равна (1 + x)m , и приходится ещедоказывать, что Rn (x) → 0 при |x| < 1. Множитель(m − 1)(m − 2) .
. . (m − n) nxn!в выражении (23) для Rn (x) будет общим членом сходящегося ряда(24), в котором m заменено на (m − 1), а потому [118] стремится кнулю при n → ∞.nМножитель1−θ1+θxне превосходит единицы при всех значе-ниях n. В самом деле, в рассматриваемом случае −1 < x < +1, апотому как при положительных, так и при отрицательных значениях x будет 0 < 1 < θ < 1 + θx, откуда1−θ1−θ0<<1 и 0<< 1.1 + θx1 + θxПоследний множитель mx(1+θx)m−1 также остается ограниченным, так как число (1 + θx) лежит между 1 и 1 + x, и mx(1 + θx)m−1лежит между пределами mx и mx(1 + x)m−1 , не зависящими от n.Из сказанного ясно, что Rn (x) по формуле (23) представляетсяв виде произведения трех множителей, из которых один стремитсяк нулю, а два других остаются ограниченными при беспредельномвозрастании n, а потому иRn (x) → 0 приn → ∞.408Гл.
IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [131Итак, разложение(1 + x)m = 1 +m(m − 1) 2mx+x + ...+12!m(m − 1) . . . (m − n + 1) nx + . . . (25)+n!имеет место при всех значениях x, удовлетворяющих условию|x| < 1.Когда показатель m есть число целое и положительное, то ряд(25) заканчивается на члене n = m и превращается в элементарнуюформулу бинома Ньютона. В общем же случае разложение (25)дает обобщение бинома Ньютона для какого угодно показателяm.Полезно отметить некоторые частные случае бинома:1= 1 + x + x2 + x3 + .
. . + xn + . . . ,1−x√1 21·3 31·3·5 41x +x −x + ...,1+x=1+ x−22·42·4·62·4·6·81·3 2 1·3·5 3 1·3·5·7 411√x −x +x − ...=1− x+22·42·4·62·4·6·81+x(26)(27)(28)Заметим, что функция (1 + x)m при всяких x > −1 имеет положительные значения [19, 44], т. е. сумма ряда (24) при −1 < x < +1положительна. В частности, например,ряд (27) дает в этом проме√жутке положительное значение 1 + x.П р и м е р ы. 1. Извлечение корней. Формула (25) особенно удобнадля извлечения корней с любой степенью точности. Пусть нужно извлечькорень m-й степени из целого числа A. Всегда можно подобрать целоечисло a так, чтобы m-я степень a была, по возможности, ближе к A, такчто, положив A = am + b, причем |b| < am , мы имели бы√mA=√mam+b=arm1+b.am131]§ 13.
Формула Тейлора и ее приложения409 Так как здесь abm < 1, то обозначив отношение abm через x, мыqможем вычислить 1 + abm по формуле бинома Ньютона, причем рядбудет сходиться тем лучше, чем меньше абсолютное значение рассматриваемого отношения.√Вычислим, например, 5 1000 с точностью до 10−5 . Мы имеем√5 1 /531024 − 24 = 4 1 −=128231 431 43931− ·− ... .− ··=4 1− ·5 1285 10 1285 10 15 1281000 =√5Остановимся на написанных членах и оценим ошибку, подставляя в формулу (23)13.m = , n = 3, x = −5128n1−θМножитель 1+θx, как было указано, заключается между нулеми единицей. Множитель (1 + θx)m−1 будет1−θr3 −4/5 125 4/5 6 4/5 5 6 4/5 4 43 −4/5 < 1−=<=<,128128128553ибоr5664< < .553Окончательно из формулы (23) получим4|Rn | <1 4 9 144· · · ·1·2·3 5 5 5 541284<< 2 · 0, 2 · 0, 8 · 0, 6 · 2, 8 · (0, 03)4 < 5 · 10−7 .Вычисление оставшихся членов нужно вести с шестью знаками, таккак тогда полная ошибка не превзойдет4 · 3 · 0, 5 · 10−6 + 5 · 10−7 = 6, 5 · 10−6 < 10−5 .Вычисление можно расположить следующим образом:410Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
