1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 64

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 64)

Таким путем мы получаем:Д о п о л н е н и е к п р и з н а к у Г а у с с а. Рядu1 + u2 + . . . + un + . . .(17)с какими угодно членами, для которого un ωnµ un+1 = 1 + n + np ,(18)где p > 1 и |ωn | < A, будет абсолютно сходящимся при µ > 1.Нетрудно показать, что он будет расходящимся при µ < 0. В самомделе, в этом случае мы имеем, принимая во внимание ограниченностьωn ,ωnωn→ 0, 1 +→ 1 при n → ∞,µnp−1µnp−1а потому, начиная с некоторого значения n, в силу условия µ < 0, un ωnµωnµ+ p =1+<0и un+1 < 1,nnnµnp−1436Гл.

IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [141т. е., начиная с этого значения n, члены ряда возрастают по абсолютномузначению, и общий член ряда un не может стремиться к нулю при n → ∞,т. е. ряд (17) будет расходящимся.141. Гипергеометрический ряд. Применим предыдущие общиесоображения к так называемому гипергеометрическому ряду, или рядуГаусса:α(α + 1)β(β + 1) 2αβx+x + ...+1!γ2!γ(γ + 1)α(α + 1) . . . (α + n − 1)β(β + 1) . . . (β + n − 1) nx + ...+n!γ(γ + 1) . . .

(γ + n − 1)F (α, β, γ; x) = 1 +(19)Некоторые функции, встречающиеся в приложениях, приводятся к таким рядам. Непосредственной подстановкой чисел α, β и γ легко проверить, например, следующие равенстваF (1, β, β; x) = 1 + x + x2 + . . . + xn + . . . =F (−m, β, β; x) = (1 + x)m ,F (α, β, β; −x) − 1 = log(1 + x).αα=01,1−x(20)Для исследования сходимости ряда (19) составим отношение последующего члена к предыдущему(α + n)(β + n)un+1=x→xun(n + 1)(γ + n)приn → ∞,(21)т.

е. по следствию из [121] ряд (19) сходится при |x| < 1 и расходитсяпри |x| > 1. Остаются только случаи: 1) x = 1 и 2) x = −1. Заметимеще, что при всех достаточно больших n множители (α + n), (β + n) и(γ + n) будут положительными, так что при x = 1 все члены ряда придостаточно большом n имеют один и тот же знак, а при x = −1 получитсяпри больших n знакопеременный ряд.В первом случае имеем, разлагая по формуле прогрессии (считая nдостаточно большим) и перемножая полученные абсолютно сходящиесяряды почленно [138]:γ1 + n1 1 + n(n + 1)(γ + n)un === un+1(α + n)(β + n)1+ α 1+ βnn141]=§ 14.

Дополнительные сведения из теории рядов1+1n1+γn1−α α2 α3+− 3 +...n n2n437β3β β2+ 2 − 3 +... =n nnωnγ −α−β +1+ 2,=1+nn1−где величина ωn остается ограниченной. Далее, в рассматриваемом случае, отбросив достаточно большое число начальных членов в рядеαβ+ ...+1·γα(α + 1) . . . (α + n − 1)β(β + 1) . . . (β + n − 1)+...,+n!γ(γ + 1) . .

. (γ + n − 1)F (α, β, γ; 1) = 1 +мы получим ряд с членами одного знака, применяя к которому признакГаусса, получаем абсолютную сходимость приγ − α − β + 1 > 1,т. е.γ − α − β 6 0,т. е.γ − α − β 6 0.и расходимость приγ − α − β + 1 6 1,Во втором случае, при x = −1, мы получаем знакопеременный, начиная с некоторого члена, ряд1−α(α + 1)β(β + 1)α·β+− ...+1·γ2!γ(γ + 1)α(α + 1) . . . (α + n − 1)β(β + 1) . . . (β + n − 1)+ (−1)n+ ...n!γ(γ + 1) . .

. (γ + n − 1)Мы имеем здесь, как и раньше un ωnγ −α−β +1+ 2, un+1 = 1 +nnа потому, применяя дополнение к признаку Гаусса, получаем сходимостьприγ − α − β + 1 > 1, т. е. γ − α − β > 0,и расходимость приγ − α − β + 1 < 0,т. е.γ − α − β < −1.В случаеγ − α − β = −1438Гл. IV.

Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [142можно показать, что общий член ряда стремится к пределу, отличномуот нуля, т. е. ряд будет расходящимся [119]. Наконец, в случае−1 < γ − α − β 6 0можно доказать, что абсолютные значения членов ряда, убывая, стремятся к нулю при n → ∞, т. е. [123] ряд будет сходящимся, но не абсолютно.

На доказательстве этих двух последних утверждений мы останавливаться не будем.Применяя это к разложению бинома(1 + x)m = 1 +m(m − 1) 2mx+x + ...+1!2!m(m − 1) . . . (m − n + 1) nx +...,+n!которое получается из (19) (β = γ — произвольно) заменой α на (−m) иx на (−x) и которое, как мы знаем, сходится при |x| < 1 и расходитсяпри |x| > 1, получим, что написанный ряд будет:абсолютно сходитьсярасходитьсяабсолютно сходитьсяне абсолютно сходитьсярасходитьсяобращаться в полиномприприприприприприm > 0,m 6 0,m > 0,−1 < m 6 0,m 6 −1,m = целомуесли x = −1,если x = −1,если x = 1,если x = 1,если x = 1,числу > 0 .Мы покажем дальше [149], что если ряд бинома сходится при x = ±1,то сумма его равна (1 ± 1)m , т. е., соответственно, 2m или 0.Заметим, что в предыдущем мы считали α, β и γ отличными от нуляи целого отрицательного числа.

Для γ это важно, так как в противномслучае члены ряда теряют смысл (знаменатель обращается в нуль), аесли α или β есть нуль или целое отрицательное число, то ряд обрываетсяи превращается в конечную сумму.142. Двойные ряды. Рассмотрим прямоугольную таблицу чисел,ограниченную сверху и слева, но уходящую в бесконечности направо ивниз1 2 3 ... n ...142]§ 14.

Дополнительные сведения из теории рядов1u11 u12 u13 . . . u1n . . .u21 u22 u23 . . . u2n . . .2u31 u32 u33 . . . u3n . . .3................................m um1 um2 um3 . . . umn . . .................................439(22)Она содержит бесчисленное множество строк, номера которых указываются первым значком, и столбцов, номера которых даются вторымзначком при букве u. Таким образом uik означает число, стоящее в пересечении i-й строки с k-м столбцом таблицы.Допустим сперва, что все числа uik положительны.Для того чтобы определить понятие о сумме всех чисел таблицы (22),наметим в плоскости чертежа точки с целыми положительными координатами M (i, k) и проведем ряд кривыхC1 , C2 , C n , .

. . ,пересекающих координатные оси в первом координатном углу и подчиненных лишь тому условию, чтобы каждая точка M при достаточнобольшом n попала внутрь площади (Cn ),ограниченной кривой Cn и координатными осями (рис. 157), и чтобы площадь(Cn ) заключалась внутри (Cn+1 ). Составим сумму Sn всех чисел Uik , соответствующих точкам, попавшим внутрь площади(Cn ). При возрастании n эта сумма, очевидно, будет возрастать, и поэтому могутРис.

157.представиться лишь два случая: или 1)сумма Sn остается ограниченной при всех значениях n, и тогда существует конечный пределlim Sn = S,n→∞или 2) сумма Sn при возрастании n беспредельно возрастает.В случае 1) говорят, что двойной ряд∞Xuik(23)i, k=1сходится и имеет сумму S. В случае 2) двойной ряд (23) называетсярасходящимся.440Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [142Сумма сходящегося ряда (23) с положительными членами не зависит от способа суммирования, т. е.

от выбора кривых Cn , и может быть получена также путем суммирования ряда по строкам илистолбцам X∞ X∞∞ X∞XS=uik =uik ,(24)k=1i=1i=1k=1т. е. вычислением сперва суммы всех членов каждой строки (или каждогостолбца) таблицы, а затем сложением полученных сумм.В самом деле, построим какую-нибудь другую систему кривых C1′ ,′C2 , . .

. , Cn′ , . . . , обладающих тем же свойством, что C1 , C2 , . . . , Cn . . . .Обозначим через Sn′ сумму всех чисел таблицы, соответствующих точкам, попавшим внутрь площади (Cn′ ). При заданном n можно всегдавыбрать настолько большое m, чтобы площадь (Cn′ ) оказалась внутри(Cm ), и тогдаSn′ 6 Sm 6 S,т. е. в силу предыдущего существует конечный пределlim Sn′ = S ′ 6 S.n→∞Переменив роли кривых Cn и Cn′ , мы точно так же докажем, чтоS 6 S′,что возможно лишь при условииS = S′.Сумму двойного ряда (23) можнополучить, хотя бы взяв за Cn ломаные, составленные из отрезков прямых(рис.

158):i = const,k = const.Мы получим таким путем суммирование «по квадратам»:Рис. 158.S = u11 + (u12 + u22 + u21 ) + . . . ++ (u1n + u2n + . . . + unn + un,n−1 + . . . + un1 + . . .142]§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов441Суммируя же «по диагоналям», получимS = u11 + (u12 + u21 ) + (u13 + u22 + u31 ) + . . . ++ (u1n + u2,n−1 + . . . + un1 ) + . . .(25)Для доказательства формул (24) заметим прежде всего, что суммакакого угодно числа членов таблицы (22) меньше S, а потому и сумма членов, стоящих в любой строке или в любом столбце, также всегдаменьше S, откуда вытекает сходимость каждого из рядов∞X∞Xuik = s′ik=1uik = s′′k .k=1Мы имеем сверх того для любых конечных значений чисел m и n:m X∞X′′′s1 + s2 + .

. . + sm =uik 6 S i=1k=1(26)n∞XX′′′′′′s1 + s2 + . . . + sn =uik 6 S.k=1i=1В самом деле, будем рассматривать только первые m строк таблицы(22). Взяв из них элементы первых p столбцов, мы имеем, очевидно,p mXXk=1i=1uik 6 S.По правилу сложения рядов [119] имеем∞ XmXs′1 + s′2 + . . . + s′m =k=1i=1p mXXuik 6 S,uik = limp→∞k=1i=1так как выражение, стоящее под знаком предела, не больше S.Аналогичным образом доказывается и второе из неравенств (26).Неравенства (26) показывают, что оба ряда∞ X∞Xi=1k=1∞ X∞X∞ Xs′i = σ ′ ,uik =i=1k=1i=1∞ Xs′′k = σ ′′uik =сходятся и имеют суммы, не превосходящие S, т. е.σ′ 6 Sиσ ′′ 6 S.k=1442Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [142С другой стороны, ясно, что при любом выборе системы кривых Cr ,все члены, входящие в состав суммы Sr , войдут в состав обеих суммs′1 + s′2 + .

. . + s′m ,s′′1 + s′′2 + . . . + s′′m ,при достаточно большом m, т. е.Sr 6 s′1 + . . . + s′m 6 σ ′ ,Sr 6 s′′1 + . . . + s′′m 6 σ ′′ ,а потому и в пределеS = lim Sr 6 σ ′r→∞иS 6 σ ′′ .Ввиду σ ′ 6 S и σ ′′ 6 S, это возможно лишь при условииσ ′ = σ ′′ = S,что и требовалось доказать.Из двойных рядов с какими угодно членами мы остановимся толькона абсолютно сходящихся рядах, т.

е. таких, для которых двойной ряд,составленный из абсолютных значений∞Xi, k=1|uik |,сходится.Применяя рассуждения, аналогичные рассуждениям [124], можем показать, что и для таких рядов существует суммаS = lim Sn =n→∞∞ X∞Xi=1k=1∞ X∞ Xuik ,uik =k=1(27)i=1которая также не зависит от способа суммирования и, в частности, можетбыть получена суммированием по строкам и по столбцам.З а м е ч а н и е. Многие свойства абсолютно сходящихся простых рядов распространяются и на двойные абсолютно сходящиеся ряды; в частности, замечание из [124]: если каждый член двойного ряда по абсолютному значению не превосходит члена сходящегося двойного ряда с положительными членами, то данный ряд абсолютно сходящийся.Точно так же распространяется свойство 2) из [120].П р и м е р ы.

1. Ряд∞Xi, k=11iα kβ(28)142]§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов443сходится при α > 1, β > 1, ибо, суммируя по квадратам, мы имеемSn =n XnXi=1k=1nn1 X 1 X 1 =< AB,iα kβiαkβi=1k=1где A и B обозначают сумму рядов∞X1,αii=1сходящихся при α > 1, β > 1 [122].2. Ряд∞Xi, k=1∞X1,βkk=11(i + k)α(29)сходится при α > 2 и расходится при α 6 2, так как, суммируя по диагоналям, мы имеем111+ 2 · α + .

. . + (n − 1) · α =2α3n 1111= α−1 1 −+ . . . + α−1 1 −,22nnоткуда, подставляя вместо 1 − n1 сначала 12 , т. е. меньшее число, азатем 1, т. е. большее число, находим11111+.< Sn < α−1 + . . . + α−1 ...+2 2α−1nα−12nSn =∞P1Сходимость рядапри α > 2 и расходимость его при α 6 2nα−1n=1доказывают наше утверждение.3. Если a и c положительны и b2 − ac < 0, то ряд∞Xi,12 + 2bik + ck 2 )p(aik=1сходится при p > 1 и расходится при p 6 1.Пусть сперва b > 0. Так как, очевидно,i2 + k2 > 2ik,∗∗Следует из того, что (i − k)2 = i2 − 2ik + k 2 > 0.(30)444Гл.

Характеристики

Список файлов книги