1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 68
Текст из файла (страница 68)
IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [150имеет радиус сходимости R = 1 и в некоторых случаях сходится приx = ±1. В силу только что доказанного можно утверждать, что если,например, ряд сходится при x = 1, то его сумма при этом равнаlim (1 + x)m = 2m .x→1−0150. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда. Пусть R — радиус сходимости рядаa0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn + .
. .(72)Интегрируя его почленно от 0 до x и дифференцируя его, мы получимдва других степенных рядаa0 x +an n+1a1 2x + ... +x+ ...2n+1a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + . . . + nan xn−1 + . . .(73)(74)Покажем, что они имеют тот же радиус сходимости R. Для этого надопоказать, что они сходятся, если |x| < R, и расходятся, если |x| > R.По доказанному, ряд (72) сходится равномерно во всяком промежутке (−R1 , +R1 ), где 0 < R1 < R, и в силу свойства 2) из [146] его можнов этом промежутке интегрировать почленно от 0 до x, т. е.
можно утверждать, что ряд (73) сходится при любом x, для которого |x| < R, и чтопри этом сумма ряда (73) равнаZxf (x)dx,0где f (x) — сумма ряда (72). Покажем теперь, что и ряд (74) сходится,если |x| < R. Возьмем такое x, выберем какое-нибудь число ξ, лежащеемежду |x| и R, т.
е.|x| < ξ < R,(75)и положим|x|< 1.ξДля членов ряда (74) получаем оценкуq=xn−1 1 |nan xn−1 | = nan ξ n n−1 · ,ξξ150]§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов465и, в силу предыдущего,1|nan xn−1 | 6 nq n−1 |an ξ n |.ξПрименяя к ряду Σnq n−1 признак Даламбера, нетрудно показать, чтоон сходится при 0 < q < 1 и, следовательно [119],nq n−1 → 0приn → ∞,(76)а потому, при всех достаточно больших n:|nan xn−1 | < |an ξ n |.Но в силу (75), ряд Σan ξ n сходится абсолютно, а потому и ряд (74)сходится абсолютно при взятом значении x. Итак, оба ряда (73) и (74)сходятся, если |x| < R, т.
е. при почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда его радиус сходимости не может уменьшиться. Но отсюда непосредственно следует, что он не может и увеличиться.Действительно, если бы, например, радиус сходимости ряда (73) был R′ ,причем R′ > R, то при дифференцировании ряда (73) мы получили быряд (72), и его радиус сходимости должен быть не меньше R′ , а по условию он равен R, причем R < R′ . Итак, ряды (73) и (74) имеют тот жерадиус сходимости, что и ряд (72). Дифференцируем ряд (74) еще раз,получим, в силу доказанного выше, степенной ряд2a2 + 3 · 2a3 x + 4 · 3a4 x2 + . . .
+ n(n − 1)an xn−2 + . . .с тем же радиусом сходимости R и т. д. То же будем иметь и при повторном почленном интегрировании ряда (73) от 0 до x. Все полученныеот почленного дифференцирования и от почленного интегрирования от0 до x ряды равномерно сходятся во всяком промежутке (a, b), удовлетворяющем условию (70). Вспоминая свойства 1), 2) и 3) из [146], можемсформулировать следующий результат.Сумма степенного рядаa0 + a1 x + a2 x2 + .
. . + an xn + . . . ,(77)радиус сходимости которого есть R, есть непрерывная внутри промежутка (−R, +R), т. е. при −R < x + R, функция, имеющая внутриэтого промежутка производные всех порядков. Эти производные могутбыть получены почленным дифференцированием ряда (77). Последовательное почленное интегрирование от 0 до x при −R < x < +R также466Гл. IV.
Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [150может производиться почленным интегрированием ряда (77). Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда не меняютего радиуса сходимости.Отметим, что промежуток (−R, +R) может быть и открытым промежутком (−∞, +∞), т. е. все сказанное справедливо и для того случая,когда радиус сходимости ряда (77) равен бесконечности.Полагаяf (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . .
+ an xn + . . . ,(78)мы получаем, таким образом,f ′ (x) = a1 + 2a2 x + . . . + nan xn−1 + . . . ,f ′′ (x) = 2a2 + 6a3 x + . . . + n(n − 1)an xn−2 + . . . ,..........................................f(n)(x) = n!an + (n + 1)n . . . 3 · 2an+1 x + . . . ,откуда следует при x = 0,a0 = f (0), a1 =f ′′ (0)f (n) (0)f ′ (0), a2 =, . . . , an =...1!2!n!Подставив эти выражения для a0 , a1 , a2 , . . .
, an в (78), получимf (x) = f (0) +x2 f ′′ (0)xf ′ (0)xn f (n) (0)++ ... ++ . . . (−R < x < +R),1!2!n!т. е. степенной ряд совпадает с разложением своей суммы по формулеМаклорена.Изложенная теория степенных рядов распространяется без труда настепенные ряды видаa0 + a1 (x − a) + a2 (x − a)2 + . .
. + an (x − a)n + . . .(79)Везде роль x будет играть разность (x−a). Радиус сходимости R ряда(79) определяется из того условия, что ряд сходится при |x − a| < R ирасходится при |x − a| > R. Если обозначить через f (x) сумму ряда (79)в промежутке−R < x − a < R,(80)то для коэффициентов an получаем выражениеa0 = f (a), a1 =f (n) (a)f ′ (a), . . . , an =, ...,1!n!150]§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов467т. е.
ряд (79) в промежутке (80) совпадает с разложением своей суммыв ряд Тейлора.Мы вернемся еще к теории степенных рядов в третьем томе при изложении теории функций комплексной переменной.В качестве примера предлагается вывести из теории степенных рядовразложения функций log(1 + x), arctg x, arcsinx, заметив, чтоlog(1 + x) =Zxdx,1+xarctg x =Zxdx,1 + x2arcsinx =Zx√000dx,1 − x2и исследовать область применимости полученных разложений.ГЛАВА VФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ§ 15. ПРОИЗВОДНЫЕИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ151. Основные понятия. В § 6 главы II, посвященном функциям двух переменных, мы начали с изложения основных понятий,касающихся таких функций.
Сейчас мы будем говорить о функциях многих переменных и, кроме того, более подробно остановимсяна понятии предела.Функцию f (x, y) мы считаем определенной или на всей плоскости или в некоторой области. Таким образом, всякой точке (x, y)из этой области соответствует определенное значение f (x, y). Еслирассматриваются только внутренние точки области, то такая область называется открытой. Если к области причисляется ее контур, то область называется замкнутой.Аналогичным образом, если ввести прямолинейную, прямоугольную систему координат OX, OY , OZ в пространстве, то, вместо тройки чисел (x, y, z) мы можем говорить о точке M пространства с координатами (x, y, z). Будем считать, что функция f (x, y, z)определена во всем пространстве или в некоторой области пространства, которая может быть открытой или замкнутой. В наиболее простых случаях границами области (их может быть и несколь-151]§ 15.
Производные и дифференциалы функции469ко) будут некоторые поверхности. Так, например, неравенстваa1 6 x 6 a2 ,b1 6 y 6 b2 ,c1 6 z 6 c2определяют замкнутый прямоугольный параллелепипед, ребра которого параллельны координатным осям. Неравенстваa1 < x < a2 ,b1 < y < b2 ,c1 < z < c2определяют открытый параллелепипед. Неравенство(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 6 r2определяет замкнутую сферу с центром (a, b, c) и радиусом r. Еслиисключить знак равенства и оставить только знак <, то получитсяоткрытая сфера. Понятие предела и непрерывности для функциитрех переменных определяют совершенно так же, как и [67] длядвух переменных.Для функций f (x1 , x2 , .
. . , xn ) многих переменных при n > 3уже теряется геометрическая наглядность пространства, однако ив этом случае часто сохраняют геометрическую терминологию. Последовательность n вещественных чисел (x1 , x2 , . . . , xn ) называютточкой. Множество всех точек образуют n-мерное пространство.Области такого пространства определяются неравенствами.
Так,например, неравенстваc1 6 x1 6 d1 ,c2 6 x2 6 d2 , . . . , cn 6 xn 6 dn ,определяют n-мерный параллелепипед или, как иногда говорят, nмерный промежуток. НеравенствоnXk=1(xk − ak )2 6 r2определяет n-мерный шар. Окрестностью точки (a1 , a2 , . . . , an )называется множество точек, определенных последним неравенством при некотором выборе r или неравенствами |xk − ak | 6 ρ(k = 1, 2, . . . , n), где ρ — некоторое положительное число.470Гл. V. Функции нескольких переменных[152Если функция f (x1 , x2 , . . . , xn ) определена в окрестности точки (a1 , a2 , .
. . , an ), то говорят, что f (x1 , x2 , . . . , xn ) стремитсяк пределу A при стремлении точки M (x1 , x2 , . . . , xn ) к точкеM0 (a1 , a2 , . . . , an ), и пишутlim f (x1 , x2 , . . . , xn ) = A илиxk →aklim f (x1 , x2 , . . . , xn ) = A,∗M→M0если для любого заданного положительного числа ε существует такое положительное η, что |A − f (x1 , x2 , . . . , xn )| < ε, если только |ak − xk | < η при k = 1, 2, . .
. , n, причем считается,что точка M (x1 , x2 , . . . , xn ) не совпадает с M0 (a1 , a2 , . . . , an ). Еслиf (x1 , x2 , . . . , xn ) определена и в точке M0 (a1 , a2 , . . . , an ), то непрерывность в этой точке определяется равенством [ср. 67]:lim f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (a1 , a2 , . . . , an ).xk →akСправедливы указанные в [67] свойства функции, непрерывнойв замкнутой области.Как в случае функции одного переменного [34], справедливыутверждения о непрерывности суммы, произведения и частногонепрерывных функций. Последнее — в том случае, когда знаменатель отличен от нуля в точке (a1 , a2 , . . .
, an ).152. О предельно переходе. Остановимся более подробно на понятии предела, ограничиваясь случаем функции двух переменных. Еслисуществует(1)lim f (x, y) = A,x→ay→bто будем говорить, что существует предел по обеим переменным. Какмы знаем [67], это значим, что f (x, y) стремится к пределу A при любомзаконе стремления точки M (x, y) к M0 (a, b).
В частностиlim f (x, b) = Ax→aиlim f (a, y) = A.y→b(2)В первом случае M (x, y) стремится к M0 (a, b) по прямой, параллельнойоси OX, а во втором случае — по прямой, параллельной оси OY . Отметим, что из существования пределов (2) и их равенства еще не вытекает∗ Все переменные x стремятся к своим значениям a независимо друг отkkдруга.152]§ 15. Производные и дифференциалы функции471существование предела (1). В качестве примера рассмотрим функциюf (x, y) =xyx2 + y 2и положим a = 0 и b = 0. Мы имеемlim f (x, 0) = limx→0x→0x·0= lim 0 = 0x→0x2 + 02иlim f (0, y) = 0,y→0а предел (1) в этом случае не существует.
Действительно, полагаяy= tg α, можем переписать нашу функцию в видеxf (x, y) =tg αxy== sin α cos α.x2 + y 21 + tg 2 α(3)Если точка M (x, y) стремится к M (0, 0) по прямой, проходящей черезначало и образующей угол α0 с осью OX, то f (x, y), выражаемая формулой (3), остается постоянной, и ее величина зависит от выбора α0 ,откуда и следует, что предел (1) не существует в рассматриваемом примере.
Отметим, что формула (3) не определяет функцию в самой точкеM (0, 0).Кроме предельного перехода (1), можно рассматривать еще повторные пределы, соответствующие предельному переходу сначала по x припостоянном y, отличном от b, а затем по y, или наоборот:hilim lim f (x, y)или lim lim f (x, y) .(4)x→ay→b x→ay→bМожет оказаться, что оба повторных предела существуют, но различны.Так, например, для функцииf (x, y) =x2 − y 2 + x3 + y 3x2 + y 2мы имеем, как нетрудно проверить,hilim lim f (x, y) = 1, lim lim f (x, y) = −1.x→0y→0y→0 x→0Но имеет местоТ е о р е м а. Если существует предел по обеим переменным (1), ипри всяком x, достаточно близком к a и отличном от a, существуетпределlim f (x, y) = ϕ(x),(5)y→b472Гл. V. Функции нескольких переменных[152то существует первый повторный предел (4) и он равен A, т.
е.lim ϕ(x) = A.(6)x→aИз существования предела (1) следует [67], что для любого заданногоположительного ε существует такое положительное η, чтопри|A − f (x, y)| < ε|x − a| < ηи|y − b| < η,(7)причем (x, y) не совпадает с (a, b). Фиксируем x, отличное от a, так, чтобыиметь |x − a| < η. Принимая во внимание (5) и переходя в неравенстве(7) к пределу по y, получим|A − ϕ(x)| 6 εпри|x − a| < ηиx 6= a,откуда, ввиду произвольности ε, следует равенство (6).З а м е ч а н и е. Совершенно так же, если мы предположим, что существует предел (1) и что при всяком y, достаточно близком к b и отличномот b, существует пределlim f (x, y) = ψ(y),x→aто существует второй повторный предел (4) и он равен A, т. е.lim ψ(y) = A.y→bЕсли предел (1) существует и равен f (a, b), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
