1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 65
Текст из файла (страница 65)
IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [143то, обозначив через A1 меньшее из чисел a и c, через A2 — большее изчисел a, b, c, имеем2A1 ik 6 ai2 + 2bik + ck2 6 A2 (i + k)2 ,откуда, ограничиваясь единственно интересным случаем p > 0, выводим111116,6Ap2 (i + k)2p(ai2 + 2bik + ck2 )p(2A1 )p ip kpчто в силу примеров 1 и 2 сделанного выше замечания дает сходимостьпри p > 1 и расходимость при p 6 1, причем существенно отметить, чтомножители A1p и (2A11 )p от i и k не зависят.2Пусть теперь b < 0. Обозначив√ из чисел a, c, |b|, в√ через√A0 большеесилу очевидного неравенства ( ai)2 + ( ck)2 > 2 acik:√2(b + ac)ik 6 ai2 + 2bik + ck2 < A0 (i + k)2 ,√√причем b+ ac > 0, так как по условию |b| < ac. Дальше доказательствопроводится так же, как и в случае b > 0.143.
Ряды с переменными членами. Равномерно сходящиесяряды. Формулы Тейлора и Маклорена представляют примеры рядов,члены которых зависят от переменной x. Во второй части курса мы познакомимся с весьма важными тригонометрическими рядами, которыеимеют вид:∞X(an cos nx + bn sin nx),n=1члены которых зависят также не только от n, но и от переменной x.Мы займемся теперь, вообще, рядами с переменными членами, зависящими от некоторой независимой переменной x.Пусть имеется бесконечная последовательность функцийu1 (x), u2 (x), u3 (x), . . . , un (x), .
. . ,(31)определенных в промежутке (a, b). Составим из них рядu1 (x) + u2 (x) + u3 (x) + . . . + un (x) + . . .(32)Он может сходиться для каких-либо значений x из (a, b) и расходитьсядля других x. Сумма первых n членов ряда (32) sn (x) есть, очевидно,143]§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов445функция от x. Для значений x, при которых ряд (32) сходится, мы можемговорить о его сумме s(x) и остатке rn (x) = s(x) − sn (x). При этомs(x) = lim sn (x).(33)n→∞Если ряд (32) сходится при всех x из (a, b), т.
е. при a 6 x 6 b, тоговорят, что он сходится в промежутке (a, b).Если ряд (32) сходится в промежутке (a, b) и имеет сумму s(x), то этозначит, что при каждом данном значении x из (a, b), задав произвольноположительное число ε, можно найти такое число N , чтобы при всехзначениях n > N мы имели |rn (x)| < ε при n > N , причем, очевидно,это число N будет зависеть от выбора ε. Необходимо, однако, отметить,что N будет, вообще говоря, зависеть еще от выбранного значения x, т. е.может иметь различные значения при заданном ε и различном выбореx из промежутка (a, b), и его мы будем обозначать через N (x).
Еслипри любом данном положительном ε можно найти такое число N , независящее от x, чтобы при любом значении x из промежутка (a, b)выполнялось неравенство|rn (x)| < ε(34)при всех n > N , то ряд (32) называют равномерно сходящимся в промежутке (a, b).∗Рассмотрим, например, ряд111−−− ...−x+1(x + 1)(x + 2)(x + 2)(x + 3)−1− ...,(x + n − 1)(x + n)(35)причем x меняется в промежутке (0, a), где a — любое данное положительное число.Нетрудно видеть, что ряд можно переписать так: 11111−−−−− ...−x+1x+1x+2x+2x+311−−...,−x+n−1x+nтак что в данном случаеsn (x) =∗1,x+ns(x) = lim sn (x) = 0,n→∞rn (x) = −Подчеркнем, что промежуток (a, b) является замкнутым.1,x+n446Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [143и если мы хотим сделать|rn (x)| =1< ε,x+n(36)то достаточно взять1− x = N (x).(37)εЕсли теперь мы хотим, чтобы неравенство (36) выполнялось при всехзначениях x в промежутке (0, a), при условии n > N , независимо от взятого значения x, то достаточно положить N = 1ε > N (x), так как тогданеравенство (37), а потому и (36), при условии n > N , будет выполненонаверное при всех значениях x в промежутке (0, a).
Итак, ряд (35) будетравномерно сходящимся в промежутке (0, a).Не всякий ряд обладает свойством равномерной сходимости, так какне для всякого ряда можно указать не зависящее от x число N , котороебыло бы не меньше всех N (x) в промежутке (a, b).Рассмотрим, например, в промежутке 0 6 x 6 1 рядn>x + x(x − 1) + x2 (x − 1) + . . .
+ xn−1 (x − 1) + . . .(38)Сумма первых n членов будетsn (x) = x + (x2 − x) + (x3 − x2 ) + . . . + (xn − xn−1 ),то естьsn (x) = xn ,и, следовательно [26],s(x) = lim sn (x) = 0n→∞иприrn (x) = s(x) − sn (x) = −xn06x<1при0 6 x < 1.При x = 1 мы имеем, подставляя в (38) x = 1, ряд1 + 0 + 0 + ...,то естьsn (x) = 1,s(x) = lim sn (x) = 1,n→∞rn (x) = s(x) − sn (x) = 0при x = 1 и при любом n. Ряд (38) сходится во всем промежутке 0 6x 6 1, но в этом промежутке сходимость неравномерна. Действительно,143]§ 14.
Дополнительные сведения из теории рядов447в силу rn (x) = −xn при 0 6 x < 1, если мы хотим, чтобы выполнялосьнеравенство (34) |rn (x)| < ε, то должно быть xn < ε, т. е. n log x < log ε,или, деля на отрицательное число log x, получимn>log ε.log xlog εИтак, в данном случае N (x) = logи не может быть заменено меньшим.xПри приближении x к единице, log x → 0, функция N (x) возрастаетбеспредельно, и нельзя указать такое значение N , чтобы неравенство (34)выполнялось при n > N во всем промежутке (0, 1). Вследствие этогообстоятельства, хотя ряд (38) и сходится во всем промежутке (0, 1), втом числе и при x = 1, однако сходимость его будет все медленнее приприближении x к единице; для достаточного приближения к сумме ряданужно будет брать все больше членов, чем ближе x будет к единице.Заметим, однако, что при самом значении x = 1 ряд просто обрываетсяна втором члене.Укажем теперь другое определение равномерной сходимости, равносильное прежнему определению.
Выше мы формулировали [125] необходимое и достаточное условие сходимости ряда. В рассматриваемомслучае оно формулируется так: для сходимости ряда (32) в промежутке(a, b) необходимо и достаточно, чтобы при любом заданном положительном ε и любом x из (a, b) существовало такое N , что|un+1 (x) + un+2 (x) + . . . + un+p (x)| < ε(39)при n > N и любом целом положительном p. Это N при заданном εможет зависеть еще от выбора x. Если же при любом заданном положительном ε существует число N одно и то же для всех x из (a, b)такое, что при n > N и любом целом положительном p выполняется (39), то говорят, что ряд (32) сходится равномерно в промежутке(a, b).Надо показать, что это новое определение равномерной сходимостиравносильно прежнему определению, т.
е. если ряд равномерно сходится в прежнем смысле, то он равномерно сходится и в новом смысле, инаоборот. Итак, пусть сначала ряд равномерно сходится в прежнем смысле, т. е. |rn (x)| < ε при n > N , где x — любое значение из (a, b) и N независит от x. Мы имеем, очевидноun+1 (x) + un+2 (x) + . . . + un+p (x) = rn (x) − rn+p (x)и, следовательно,|un+1 (x) + un+2 (x) + . . . + un+p (x)| 6 |rn (x)| + |rn+p (x)|,(40)448Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [144что при n > N и, следовательно, n + p > N дает|un+1 (x) + un+2 (x) + .
. . + un+p (x)| < 2ε.(41)Ввиду произвольного выбора ε мы видим, что ряд равномерно сходится в новом смысле. Положим теперь, что ряд равномерно сходится вновом смысле, т. е. что выполнено неравенство (39) при n > N , не зависящем от x, любом целом положительном p и любом x из (a, b). Из этогоследует, что ряд сходится, и мы можем образоватьrn (x) = un+1 (x) + un+2 (x) + .
. . = lim [un+1 (x) + un+2 (x) + . . . + un+p (x)],p→∞причем из неравенства (39) при p → ∞ получаем в пределе |rn (x)| 6 εпри n > N , т. е. из нового определения равномерной сходимости, в силупроизвольности ε, вытекает прежнее, и равносильность обоих определений доказана.Отметим, что при первом определении равномерной сходимости (34)мы используем rn (x) и тем самым уже дополнительно предполагаем, чторяд сходится. Второе определение равномерной сходимости (39) включает и самый факт сходимости ряда.144. Равномерно сходящиеся последовательности функций.Последовательность функцийs1 (x),s2 (x),sn (x), .
. . ,(42)которую мы рассматривали выше, была определена с помощью ряда (32);sn (x) означала сумму n первых членов ряда. Но можно рассматриватьпоследовательность (42) саму по себе, считая ее данной, и уже по нейпостроить ряд, суммой n первых членов которого является n-й член последовательности sn (x). Члены этого ряда определяются, очевидно, поформулам:u1 (x) = s1 (x), u2 (x) = s2 (x) − s1 (x), . . . , un (x) = sn (x) − sn−1 (x), . .
.(43)Очень часто последовательность (42) бывает проще (43), как это имело место и в рассмотренных примерах.Таким путем мы приходим к понятиям о сходящейся и равномерносходящейся последовательности функций:Если дана последовательность функций (42):s1 (x),s2 (x),...,sn (x), . . . ,(44)144]§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов449определенных в промежутке (a, b), и если при каждом значении x вэтом промежутке существует пределs(x) = lim sn (x),n→∞(44)то последовательность (42) называется сходящейся в промежутке(a, b), функция же s(x) называется предельной функцией последовательности (42).∗ 18Если, сверх того, при любом данном наперед положительном ε существует такое число N , не зависящее от x, что неравенство:|s(x) − sn (x)| < ε(45)имеет место при всех значениях n > N во всем промежутке (a, b),то последовательность (42) называется равномерно сходящейся в промежутке (a, b).
Условие (45) можно заменить равносильным ему|sm (x) − sn (x)| < ε(46)при m и n > N .Условие равномерной сходимости последовательности (42) равносильно условию равномерной сходимости рядаu1 (x) + u2 (x) + . . . + un (x) + . . . ,(47)где (43):u1 (x) = s1 (x), u2 (x) = s2 (x) − s1 (x), . . . , un (x) = sn (x) − sn−1 (x), . . .Равносильность условий (45) и (46) при исследовании равномернойсходимости последовательностей может быть доказана совершенно также, как выше была установлена равносильность условий (35) и (36) длябесконечных рядов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
