1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 67
Текст из файла (страница 67)
+ Mn + . . .(59)(60)сходящийся (п р и з н а к В е й е р ш т р а с с а).(Б) Функции un (x) могут быть представлены в видеun (x) = an vn (x),(61)где a1 , a2 , . . . , an , . . . суть постоянные, такие, что рядa1 + a2 + . . . an + . . .(62)сходится; функции же v1 (x), . . . , vn (x), . . .
все неотрицательны, остаются меньше постоянного положительного числа M и при каждомзначении x в промежутке (a, b):v1 (x) > v2 (x) > . . . > vn (x) > . . . ,0 6 vn (x) 6 M(63)(п р и з н а к А б е л я).Д о к а з а т е л ь с т в о (А). Так как ряд (60) сходится, то при данномε можно найти такое число N , чтобы при всех n > N и при всех p мыимели [125]:Mn+1 + Mn+2 + . . . + Mn+p < ε;в силу же неравенств (59) и|un+1 (x) + . . . + un+p (x)| 6 Mn+1 + .
. . + Mn+p < ε,откуда [143] и вытекает равномерная сходимость ряда (55).Д о к а з а т е л ь с т в о (Б). Положимσp′ = an+1 + an+2 + . . . + an+p(p = 1, 2, . . .),откуда непосредственно следуетan+1 = σ1′и′an+k = σk′ − σk−1(k > 1).147]§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов459Оценим выражениеun+1 (x) + un+2 (x) + .
. . + un+p (x) == an+1 vn+1 (x) + an+2 vn+2 (x) + . . . + an+p vn+p (x).Подставляя вместо an+k их выражения через σk′ и собирая члены содинаковым σk′ , получимan+1 vn+1 (x) + an+2 vn+2 (x) + . . . + an+p vn+p (x) =′= σ1′ vn+1 (x) + (σ2′ − σ1′ )vn+2 (x) + . . . + (σp′ − σp−1)vn+p (x) == σ1′ [vn+1 (x) − vn+2 (x)] + . . . +′+ σp−1[vn+p−1 (x) − vn+p (x)] + σp′ vn+p (x).Принимая во внимание, что vn+p (x) и все разности vn+k−1 (x) −vn+k (x) по условию неотрицательны, можем написать|un+1 (x) + . . .
+ un+p (x)| 6′6 |σ1′ |[vn+1 (x)−vn+2 (x)]+. . .+|σp−1|[vn+p−1 (x)−vn+p(x)]+|σp′ |vn+p(x),или, обозначая через|σ1′ |, |σ2′ |, . . . , |σp′ |σ′наибольшееизабсолютныхзначений|un+1 (x) + . . . + un+p (x)| 66 σ ′ {[vn+1 (x) − vn+2 (x)] + . . . + [vn+p−1 (x) − vn+p (x)] + vn+p (x)}получаем, производя сокращения,|un+1 (x) + . . .
+ un+p (x)| 6 σ ′ vn+1 (x).(64)Из определения σk′ и сходимости ряда (62) вытекает, что для любогозаданного положительного ε существует такое N , что при n > N и всякомk мы имеемεε, а потому и σ ′ <.|σk′ | <MMПринимая во внимание еще, что по условию 0 6 vn+p (x) 6 M , получаем в силу (64),|un+1 (x) + . . . + un+p (x)| < εпри n > N и любом p. Так как N не зависит от x, то отсюда и вытекаетравномерная сходимость ряда (55) в промежутке (a, b).460Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [148П р и м е р ы.1.
Ряды∞Xcos nx,npn=1∞Xsin nxnpn=1(p > 1)(65)сходятся равномерно во всяком промежутке, так как при всяком x имеем:и рядP1 cos nx 6 p,npn1np1 sin nx 6 p,npnпри p > 1 сходящийся [122] (признак Вейерштрасса).∞P2. Если рядan сходится, то и рядn=1∞Xanxnn=1(66)равномерно сходится в промежутке (0 6 x 6 l) при любом l, так как,положив здесь1vn (x) = x ,nудовлетворим всем условиям признака Абеля.148. Степенные ряды. Радиус сходимости. Весьма важный пример приложения изложенной выше теории рядов с переменными членамипредставляют степенные ряды, т.
е. ряды вида:a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn + . . . ,(67)с которыми мы уже встретились при исследовании формулы Маклорена. Подробное изучение свойств этих рядов относится к теории функцийкомплексной переменной, а потому здесь мы укажем только самые основные свойства.П е р в а я т е о р е м а А б е л я. Если степенной ряд (67) сходитсяпри некотором значении x = ξ, то он сходится абсолютно при всехзначениях x, для которых|x| < |ξ|.(68)Наоборот, если он расходится при x = ξ, то расходится и при всехзначениях x, для которых|x| > |ξ| = r.(69)148]§ 14.
Дополнительные сведения из теории рядов461Пусть сперва рядa0 + a1 ξ + a2 ξ 2 + . . . + an ξ n + . . .сходится, тогда общий член сходящегося ряда должен стремиться к нулю,т. е.an ξ n → 0 при n → ∞,а потому можно найти такую постоянную M , чтобы при всех значенияхn мы имели|an ξ n | 6 M.Придадим теперь x любое значение, удовлетворяющее условию (68),и положим xq = < 1.ξМы имеем, очевидно, nxn x|an xn | = an ξ n n = |an ξ n | 6 M q n ,ξξт.
е. общий член ряда (67) при рассматриваемом значении x по абсолютной величине не превосходит общего члена бесконечно убывающейгеометрической прогрессии, а потому ряд (67) сходится абсолютно [124].Вторая часть теоремы очевидна, так как если бы ряд (67) сходилсяпри некотором значении x, удовлетворяющим условию (69), то по доказанному сейчас он должен был бы сходиться при всяком ξ, для которого|ξ| < |x|, что противоречит условию.С л е д с т в и е. Существует вполне определенное число R, котороеназывается радиусом сходимости ряда (67) и которое обладает следующими свойствами:ряд (67) сходится абсолютно при |x| < R,ряд (67) расходится при |x| > R.В частности, может оказаться, что R = 0, и тогда ряд (67) расходитсяпри всех значениях x, отличных от нуля, или же R = ∞, и тогда ряд (67)сходится при всех значениях x.Отбросив первый случай, рассмотрим такое положительное значениеx = ξ, при котором ряд (67) сходится.
Такое значение, наверное, существует, если, вообще, существуют значения x 6= 0, при которых ряд(67) сходится. Если мы будем увеличивать число ξ, то могут встретитьсялишь два случая: или все время ряд (67) будет оставаться сходящимся462Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [149при x = ξ, даже когда ξ увеличивается беспредельно; тогда мы имеем,очевидно, R = ∞; или же будет существовать такое постоянное число A,которое обладает тем свойством, что при всех ξ < A ряд (67) сходится,но при ξ > A ряд делается расходящимся.Существование такого числа A интуитивно-геометрически вполнеочевидно, так как на основании первой теоремы Абеля, если ряд прикаком-нибудь значении ξ сделается расходящимся, то он будет расходиться и при всех больших значениях.
Строгое доказательство существованиячисла A может быть проведено на основании теории иррациональныхчисел. Очевидно, что это число A и будет радиусом сходимости R ряда(67).Проведем доказательство существования R. Разобьем все вещественные числа на два класса следующим образом: к первому классу отнесемвсе отрицательные числа, нуль и такие положительные числа ξ, что ряд(67) сходится при |x| = ξ, а ко второму классу отнесем все остальныевещественные числа. В силу доказанной теоремы любое число первогокласса меньше любого числа второго класса, т. е. мы произвели сечение в области вещественных чисел, а потому или в первом классе естьнаибольшее число, или во втором есть наименьшее число [40].
Нетрудновидеть, что это число и будет радиусом сходимости R ряда. Если всечисла попадут в первый класс, то надо считать R = ∞.149. Вторая теорема Абеля. Если R есть радиус сходимости ряда(67), то ряд сходится не только абсолютно, но и равномерно в любомпромежутке (a, b), лежащем целиком внутри промежутка (−R, +R),т. е. для которого−R < a < b < R.Если же ряд сходится и при x = R или x = −R, то он будет равномерно сходящимся и в промежутке (a, R) или (−R, b).Заметим, прежде всего, что не нарушая общности, мы можем считатьR = 1, введя вместо x новую независимую переменную t по формулеx = Rt,после чего ряд (67) превратится в степенной ряд относительно переменной t, а промежуток (−R, +R) перейдет в (−1, 1).Если R = 1, то, по определению радиуса сходимости, ряд (67) будетсходиться абсолютно при всяком значении x = ξ, для которого |ξ| < 1.Рассмотрим теперь любой промежуток (a, b), лежащий внутри (−R, R),так что−1 < a < b < 1.149]§ 14.
Дополнительные сведения из теории рядов463Выберем за ξ любое число, лежащее внутри (−1, 1), но по абсолютному значению большее |a| и |b|. При всяком x в промежутке (a, b) имеем|an xn | < |an ξ n |,и так как рядa0 + a1 ξ + a2 ξ 2 + . . . + an ξ n + . . .сходится абсолютно и члены его не зависят от x, то по признаку Вейерштрасса ряд (67) сходится равномерно в промежутке (a, b).Допустим теперь, что ряд (67) сходится и при x = 1, т. е. что рядa0 + a1 + a2 + .
. . + an + . . .сходится. Полагаяvn (x) = xn ,мы можем применить к ряду (67) признак Абеля, который покажет, чторяд (67) будет равномерно сходиться во всем промежутке (a, 1), где a —любое число, большее –1.Случай, когда ряд (67) сходится при x = −1, приводится к предыдущему, если заменить x на (−x).Обозначим через f (x) сумму ряда (67).
Она существует, конечно,лишь при тех значениях x, при которых ряд сходится. Пусть R — радиус сходимости ряда. Принимая во внимание равномерную сходимостьряда во всяком промежутке (a, b), для которого−R < a < b < R,(70)и свойство 1) из [146], можем утверждать, что сумма ряда f (x) естьнепрерывная функция во всяком из указанных промежутков (a, b). Иначе говорят, что f (x) непрерывна внутри промежутка (−R, +R). Дальше мы увидим, что эта функция имеет сколько угодно производных внутри промежутка (−R, +R). Если ряд (67) сходится и при x = R, то в силудоказанной равномерной сходимости во всяком промежутке (a, R), гдеa > −R, f (x), будет непрерывной функцией в этом промежутке, и, вчастности, f (R) будет пределом f (x) при стремлении x к R слева [35]:f (R) =lim f (x).x→R−0Аналогично при сходимости ряда для x = −R.Выше мы видели, что разложение бинома Ньютона [131](1 + x)m = 1 +m(m − 1) 2mx+x + ...1!2!(71)464Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
