1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Функции нескольких переменных[155Сравнивая оба выражения, полученных для ω, будем иметь′′′′hkfyx(x + θ2 h, y + θ1 k) = hkfxy(x + θ3 h, y + θ4 k),или′′′′fyx(x + θ2 h, y + θ1 k) = fxy(x + θ3 h, y + θ4 k).Предполагая непрерывность написанных производных второго порядка и устремляя h и k к нулю, получим′′′′fyx(x, y) = fxy(x, y).Это рассуждение приводит к следующей теореме.Т е о р е м а.
Если f (x, y) имеет внутри некоторой области′′′′непрерывные производные fyx(x, y) и fxy(x, y), то во всех точкахвнутри упомянутой области указанные производные равны.Рассмотрим теперь две производные третьего порядкаfx′′′2 y (x, y)′′′и fyx2 (x, y),отличающиеся лишь порядком дифференцирования. Принимая вовнимание, что по доказанному результат двукратного дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования, можем написатьfx′′′2 y (x, y) =∂ 2 fx′ (x, y)∂ 2 fx′ (x, y)′′′== fxyx(x, y) =∂x∂y∂y∂x′′′′′′= fyxx(x, y) = fyx2 (x, y),т. е. и в этом случае результат дифференцирования не зависит отпорядка дифференцирования. Это свойство без труда обобщаетсяна производные любого порядка и на случай функции любого числа переменных, и мы можем высказать общую теорему: результатдифференцирования не зависит от порядка, в котором производится дифференцирование.Заметим, что при доказательстве мы пользовались не толькосуществованием производных, но и их непрерывностью внутринекоторой области.156]§ 15.
Производные и дифференциалы функции481В дальнейшем мы будем всегда предполагать непрерывностьпроизводных, о которых мы будем говорить, и в силу доказаннойтеоремы для производных высших порядков надо лишь указыватьпорядок производной n, те переменные, по которым производитсядифференцирование, и число дифференцирований по каждой переменной.Так, например, в случае функции w = f (x, y, z, t), пользуютсяследующим обозначением:∂ n f (x, y, z, t),∂xα ∂y β ∂z γ ∂tδили∂ nw∂xα ∂y β ∂z γ ∂tδ(α + β + γ + δ = n),которое показывает, что взята производная n-го порядка, причемдифференцирование произведено α раз по x, β раз по y, γ раз по zи δ раз по t.156.
Дифференциалы высших порядков. Полный дифференциал du функции от нескольких переменных есть в свою очередь функция тех же переменных, и мы можем определить полныйдифференциал этой последней функции. Таким образом мы получим дифференциал второго порядка d2 u первоначальной функцииu, который также будет функцией тех же переменных, а его полныйдифференциал приведет нас к дифференциалу третьего порядкаd3 u первоначальной функции и т. д.Рассмотрим подробнее случай функции u = f (x, y) двух переменных x и y и будем предполагать, что переменные x и y сутьнезависимые переменные. По определениюdu =∂f (x, y)∂f (x, y)dx +dy.∂x∂y(12)При вычислении d2 u будем принимать во внимание, что дифференциалы dx и dy независимых переменных надо рассматриватькак величины постоянные, а потому их можно выносить за знакдифференциала∂f (x, y)∂f (x, y)2dx + ddy =d u=d∂x∂y482Гл.
V. Функции нескольких переменных[156∂f (x, y)∂f (x, y)+ dy · d== dx · d∂x∂y 2∂ f (x, y)∂ 2 f (x, y)= dx ·dx +dy +2∂x∂x∂y 2∂ f (x, y)∂ 2 f (x, y)dx +=+dy∂y∂x∂y 2∂ 2 f (x, y) 2∂ 2 f (x, y)∂ 2 f (x, y) 2=dxdxdydy .+2+∂x2∂x∂y∂y 2Вычисляя точно так же d3 u, мы получимd3 u =∂ 3 f (x, y) 3∂ 3 f (x, y) 2dx + 3dx dy+3∂x∂x2 ∂y∂ 3 f (x, y)∂ 3 f (x, y) 3dxdy 2 +dy .+32∂x∂y∂y 3Эти выражения d2 u и d3 u приводят нас к следующей символической формуле для дифференциала любого порядка:(n)∂∂ndx +dyd u=f,(13)∂x∂yпричем формулу эту надо понимать так: сумму, стоящую в круглыхскобках, надо возвысить в степень n, применяя формулу бинома∂∂и ∂yнадо считатьНьютона, после чего показатели степеней у ∂xуказателями порядка производных по x и y от функции f .Мы убедились в справедливости формулы (13) при n, равном 1,2 и 3. Для полного ее доказательства необходимо применить обычный способ доказательства от n к (n + 1).
Положим, что формула (13) справедлива при некотором n. Определим дифференциал(n + 1)-го порядка:∂(dn u)∂∂∂(dn u)n+1ndx +dy =dx +dy dn u,du = d(d u) =∂x∂y∂x∂yгде символом∂∂dx +dy ϕ∂x∂y156]§ 15. Производные и дифференциалы функции483мы обозначаем, вообще:∂ϕ∂ϕdx +dy.∂x∂yПринимая во внимание, что для dn u формула (13) считаетсядоказанной, можем написатьn+1du=∂∂dx +dy∂x∂y "(n) #∂∂dx +dyf =∂x∂y(n+1)∂∂dx +dy=f,∂x∂yт. е. формула доказана и для dn+1 u.Формула (13) обобщается без труда и на случай функции любого числа независимых переменных. Формула (13) справедлива, какмы знаем [153], не только в том случае, когда x и y суть независимые переменные. Но при выводе выражения d2 u существеннымбыло считать dx и dy величинами постоянными, и формула (13)справедлива лишь в тех случаях, когда dx и dy могут считатьсяпостоянными.Это будет справедливо, если x и y суть независимые переменные.
Положим теперь, что x и y суть линейные функции независимых переменных z и t:x = az + bt + c,y = a 1 z + b 1 t + c1 ,где коэффициенты и свободные члены — постоянные. Для dx и dyполучим выраженияdx = adz + bdt,dy = a1 dz + b1 dt.Но dz и dt, как дифференциалы независимых переменных,должны считаться постоянными; то же можно сказать, следовательно, в этом случае и относительно dx и dy; мы можем поэтомуутверждать, что символическая формула (13) справедлива как вслучае, когда x и y суть независимые переменные, так и в том484Гл. V. Функции нескольких переменных[157случае, когда они суть линейные функции (целые многочлены первой степени) независимых переменных.Если dx и dy нельзя считать постоянными, то формула (13) ужене будет справедливой.
Разберем выражение d2 u в этом общем случае. При вычислении∂f (x, y)∂f (x, y)dxdydи d∂x∂yмы уже не имеем права выносить dx и dy за знак дифференциала,как это делали выше, то должны применять формулу для дифференциала произведения [153].Мы получим, таким образом:d2 u = dxd∂f (x, y) 2∂f (x, y) ∂f (x, y) 2∂f (x, y)+ dyd+d x+d y.∂x∂y∂x∂yСумма первых двух слагаемых в правой части этого равенствадаст нам выражение, которое мы имели выше для d2 u, и окончательно получимd2 u =∂ 2 f (x, y) 2∂ 2 f (x, y)∂ 2 f (x, y) 2dxdy +dx + 2dy +2∂x∂x∂y∂y 2∂f (x, y) 2∂f (x, y) 2d x+d y, (14)+∂x∂yт. е.
в рассматриваемом общем случае выражение для d2 u будетсодержать добавочные слагаемые, зависящие от d2 x и d2 y.157. Неявные функции. Укажем сейчас правила дифференцирования функций, заданных неявно. При этом мы будем предполагать, что написанные уравнения действительно определяютнекоторую функцию, имеющую соответствующие производные.
В[159] при некоторых условиях мы докажем это. Если y есть неявнаяфункция от x:F (x, y) = 0(15)то первая производная y ′ этой функции определяется, как мы знаем, из уравнения [69]:Fx′ (x, y) + Fy′ (x, y)y ′ = 0(16)157]§ 15. Производные и дифференциалы функции485Уравнение (16) мы получали, предполагая в равенстве (15) yфункцией от x и дифференцируя обе части этого тождества по x.Поступая так же с (16), получим уравнение для определения второйпроизводной y ′′ :′′Fx′′2 (x, y) + 2Fxy(x, y)y ′ + Fy′′2 (x, y)y ′2 + Fy′ (x, y)y ′′ = 0.(17)Дифференцируя еще раз по x, получим уравнение для определения третьей производной y ′′′ и т.
д.Обратим внимание на то, что в получаемых таким образом уравнениях коэффициент при искомых производных неявной функциибудет один и тот же, а именно Fy′ (x, y), и потому, если при некоторых значениях x и y, удовлетворяющих уравнению (15), этот коэффициент отличен от нуля, то при этих значениях указанный вышеприем даст вполне определенные значения для производных любого порядка неявной функции. При этом, конечно, предполагается существование частных производных от левой части уравнения(15).Рассмотрим уравнение еще с тремя переменнымиΦ(x, y, z) = 0.Такое уравнение определяет z как неявную функцию от независимых переменных x и y, и если заменить в левой части этого уравнения z именно этой функцией от x и y, то левая часть уравнениястанет равна тождественно нулю.
Таким образом, дифференцируялевую часть этого уравнения по независимым переменным x и y впредположении, что z есть функция от них, мы должны получитьнуль:Φ′x (x, y, z) + Φ′z (x, y, z)zx′ = 0,Φ′y (x, y, z) + Φ′z (x, y, z)zy′ = 0.Из этих уравнений определятся частные производные первогопорядка zx′ и zy′ . Дифференцируя первое из написанных соотношений еще раз по x, получим уравнение для определения частнойпроизводной zx′′2 и т.
д. Во всех получаемых уравнениях коэффициент при искомой производной будет Φ′z (x, y, z). Рассмотрим теперь486Гл. V. Функции нескольких переменных[158систему уравненийϕ(x, y, z) = 0,ψ(x, y, z) = 0.(171 )Будем считать, что эта система определяет y и z как неявные функции от x. Дифференцируя оба уравнения системы по x в предположении, что y и z суть функции от x, получим систему уравненийпервой степени для определения производных y ′ и z ′ от y и z по x:ϕ′x (x, y, z) + ϕ′y (x, y, z) · y ′ + ϕ′z (x, y, z) · z ′ = 0,ψx′ (x, y, z) + ψy′ (x, y, z) · y ′ + ψz′ (x, y, z) · z ′ = 0.Дифференцируя эти соотношения еще раз по x, получим систему уравнений для определения вторых производных y ′′ и z ′′ .
Дифференцируя еще раз по x, получим систему уравнений для определения y ′′′ и z ′′′ и т. д.Производные n-го порядка y (n) и z (n) будут при это определяться из системы вида:ϕ′y (x, y, z) · y (n) + ϕ′z (x, y, z) · z (n) + A = 0,ψy′ (x, y, z) · y (n) + ψz′ (x, y, z) · z (n) + B = 0,где A и B — выражения, содержащие производные порядка нижеn. Такая система, как это известно из элементарной алгебры, будетдавать одно определенное решение, если выполнено условие:ϕ′y (x, y, z) · ψz′ (x, y, z) − ϕ′z (x, y, z) · ψy′ (x, y, z) 6= 0.При всех тех значениях x, y и z, удовлетворяющих системе (171 ),при которых это условие выполнено, описанный выше прием приведет к вполне определенным значениям производных.Если имеется система m уравнений с (m + n) переменным, тотакая система определяет, вообще говоря, m переменных как неявные функции остальных n переменных, и производные этих неявных функций могут быть получены указанным выше приемом последовательного дифференцирования уравнений по независимымпеременным.158]§ 15.
Производные и дифференциалы функции487158. Пример. Рассмотрим в качестве примера уравнениеax2 + by 2 + cz 2 = 1,(18)которое определяет z как функцию от x и y. Дифференцируя по x, получимax + cz · zx′ = 0,(19)и точно так же, дифференцируя по y, получимby + cz · zy′ = 0,(191 )откудаbyax, zy′ = − .czczДифференцируя соотношение (19) по x и y, а соотношение (191 ) поy, получимzx′ = −a + czx′2 + czzx′′2 = 0,′′czx′ zy′ + czzxy= 0,b + czy′2 + czzy′′2 = 0,откуда2 2a + c ac2 zx2acz 2 + a2 x2a + czx′2=−=−,czczc2 z 3′ ′zx zyabxy=− 2 3,=−zc zb + czy′2bcz 2 + b2 y 2=−.=−czc2 z 3zx′′2 = −′′zxyzy′′2Покажем теперь другой способ вычисления частных производных, основанный на применении выражения полного дифференциала функции.Докажем предварительно вспомогательную теорему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
