1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Приравнивая нулю частные производные первого порядка, мы получаем систему уравнений, откуда определяются те значения независимых переменных, при которых функция может достигать максимума или минимума. Для полного решения вопроса необходимоеще произвести исследование полученных значений для того, чтобырешить, достигает ли функция действительно при этих значенияхнезависимых переменных максимума или минимума, а если достигает, то чего именно — максимума или минимума. В следующем номере мы покажем, как производится это исследование в случаяхфункции двух независимых переменных.163.
Исследование максимума и минимума функциидвух независимых переменных. Пусть система уравнений∂f (x, y)= 0,∂x∂f (x, y)= 0,∂y(6)выражающая необходимое условие максимума или минимума, дала нам значения x = a и y = b, которые надо исследовать. Предположим, что f (x, y) имеет непрерывные частные производные довторого порядка в точке (a, b) и некоторой ее окрестности.Согласно формуле Тейлора (4), при n = 2 можем написать∂f (a, b)∂f (a, b)h+k+f (a + h, b + k) = f (a, b) +∂a∂b 21 ∂ f (x, y) 2∂ 2 f (x, y)∂ 2 f (x, y) 2+h +2hk +k.x=a+θh2!∂x2∂x∂y∂y 2y=b+θkПринимая во внимание, что x = a и y = b являются решениемсистемы (6), можем переписать это равенство так:∆f = f (a + h, b + k) − f (a, b) =502Гл. V. Функции нескольких переменных[1631 ∂ 2 f (x, y) 2∂ 2 f (x, y)∂ 2 f (x, y) 2h +2hk +k=. (7)x=a+θh2!∂x2∂x∂y∂y 2y=b+θkПоложимr=ph2 + k 2 ,h = r cos α,k = r sin α.При малых по абсолютному значению h и k, и r будет мало, инаоборот, и условия h и k → 0, с одной стороны, и r → 0, с другой —между собой равносильны.Формула (7) имеет вид∂ 2 f (x, y)r2 ∂ 2 f (x, y)2coscos α sin α+α+2∆f =2!∂x2∂x∂y∂ 2 f (x, y)2sin α.
(8)+x=a+θh∂y 2y=b+θkПринимая во внимание непрерывность производных второго порядка и считая h и k или, что то же, r бесконечно малыми, можемутверждать, что производные в правой части формулы (8), вычисленные при значениях a+θh, b+θk, бесконечно мало отличающихсяот a, b, сами бесконечно мало отличаются от чисел∂ 2 f (a, b)= A,∂a2∂ 2 f (a, b)= B,∂a∂b∂ 2 f (a, b)= C,∂b2а потому коэффициенты при cos2 α, cos α sin α, sin2 α в квадратной скобке формулы (8) можно заменить соответственно на A + ε1 ,2B + ε2 , C + ε3 , где ε1 , ε2 , ε3 суть величины, бесконечно малыеодновременно с h и k (или с r).Формулу (8) можно после этого переписать так:∆f =гдеr2 A cos2 α + 2B sin α cos α + C sin2 α + ε ,2!(9)ε = ε1 cos2 α + 2ε2 cos α sin α + ε3 sin2 αесть величина, бесконечно малая одновременно с h и k (или с r).163]§ 16.
Формула Тейлора503Из определения максимума и минимума следует, что если правая часть равенства (9) при всех достаточно малых значениях rсохраняет знак (—), то значениям x = a и y = b соответствует максимум функции f (x, y); если она сохраняет знак (+), то указаннымзначениям будет соответствовать минимум функции; если же, наконец, при сколь угодно малых значениях r правая часть равенства(9) может иметь как знак (+), так и знак (—), то значениям функции x = a и y = b не соответствуют ни максимум, ни минимумфункции.При исследовании знака правой части равенства (9) могут представиться следующие четыре случая:I. Если трехчленA cos2 α + 2B sin α cos α + C sin2 α(10)не обращается в нуль ни при одном значении α, то как непрерывная функция от α он сохраняет неизменный знак [55]. Пусть этобудет знак (+). В промежутке (0, 2π) эта непрерывная функция достигает своего наименьшего (положительного) значения m.
В силупериодичности cos α и sin α это же наименьшее значение m будетиметь место и для любых значений α. Величина |ε| при всех достаточно малых значениях r меньше m, и при этом знак правой частиравенства (9) определяется знаком трехчлена (10), т. е. будет (+);в этом случае мы будем иметь минимум.II. Положим теперь, что трехчлен (10), не обращаясь ни при каких значениях α в нуль, сохраняет знак (–).
Пусть — m наименьшее(отрицательное) значение этого трехчлена в промежутке (0, 2π) изменения α. Величина |ε| при достаточно малых значениях r меньшеm, и при этом знак правой части равенства (9) будет постоянно (–),т. е. в этом случае мы будем иметь максимум.III. Положим теперь, что трехчлен (10) меняет знак. Пусть приα = α1 он равен положительному числу +m1 , а при α = α2 —отрицательному числу — m2 . При всех достаточно малых значенияхr |ε| будет меньше m1 и m2 . При таких значениях r и при α = α1и α2 знак правой части равенства (9) будет определяться знакомтрехчлена (10), т.
е. будет (+) при α = α1 и (–) при α = α2 . Такимобразом, в рассматриваемом случае знак правой части равенства504Гл. V. Функции нескольких переменных[163(9) может быть и (+) и (–) при сколь угодно малых значениях r,т. е. в этом случае мы не будем иметь ни максимума, ни минимума.IV. Положим, наконец, что трехчлен (10), сохраняя неизменныйзнак, может обращаться в нуль при некоторых значениях α. В этомслучае без дальнейшего исследования знака ε мы не можем сделатьникаких заключений о знаке правой части равенства (9), и этотслучай остается сомнительным в нашем исследовании.Итак, все свелось к исследованию знака трехчлена (10) при изменении α, и мы укажем простые признаки, позволяющие судить,с каким из указанных четырех случаев мы имеем дело.1.
Положим сначала, что A 6= 0. Трехчлен (10) мы можем представить в виде:(A cos α + B sin α)2 + (AC − B 2 ) sin2 α.A(11)Если AC − B 2 > 0, то числитель написанной дроби представляет собою сумму двух положительных слагаемых, которые не могутобратиться в нуль одновременно. Действительно, второе слагаемоеобращается в нуль, только если sin α = 0, но при этом cos α = ±1, ипервое слагаемое обращается в A2 6= 0. Таким образом, в рассматриваемом случае знак выражения (11) совпадает со знаком A, и,следовательно, при A > 0 будем иметь случай (I), т. е.
минимум, апри A < 0 — случай (II), т. е. максимум.2. Предполагая по-прежнему A 6= 0, положим, что AC − B 2 < 0.Числитель дроби (11) будет иметь знак (+) при sin α = 0 и знак(–) при ctg α = − BA , а потому при указанных условиях мы будемиметь случай (III), т.
е. не будет ни максимума, ни минимума.3. Если при A 6= 0 мы положим, что AC − B 2 = 0, то числительдроби (11) приводится к первому слагаемому и, сохраняя неизменный знак (+), обращается в нуль при ctg α = − BA , т. е. при этихусловиях мы имеем дело с сомнительным случаем (IV).4. Положим, что A = 0, но B 6= 0. Трехчлен (10) имеет тогдавид: sin α(2B cos α + C sin α).
При значениях α, близких к нулю, выражение, стоящее в круглых скобках, сохраняет неизменный знак,совпадающий со знаком B, а первый множитель sin α имеет разныезнаки, смотря по тому, будет ли α больше или меньше нуля, т. е.имеет место случай (III) — ни максимума, ни минимума.164]§ 16. Формула Тейлора5055. Предположим, наконец, что A = B = 0. Тогда трехчлен (10)приведется к одному слагаемому C sin2 α и, следовательно, не меняя знака, может обращаться в нуль, т.
е. мы имеем дело с сомнительным случаем.Принимая во внимание, что в случае 4 будет AC − B 2 < 0, вслучае 5 имеем AC − B 2 = 0, можем высказать следующее правило: для нахождения максимумов и минимумов внутри областипри предположении, что функция f (x, y) непрерывна там и имеет непрерывные производные до второго порядка, надо составитьчастные производные fx′ (x, y) и fy′ (a, y) и решить систему уравненийfx′ (x, y) = 0, fy′ (x, y) = 0.Пусть x = a, y = b — какое-нибудь решение этой системы.
Положив∂ 2 f (a, b)∂ 2 f (a, b)∂ 2 f (a, b)=A,=B,= C,∂a2∂a∂b∂b2производим исследование решения по следующей схеме:AC − B 2++—мин.макс.A—0ни мин.ни макс.сомнит.случай164. Примеры. 1. Рассмотрим поверхность z = f (x, y). Уравнениекасательной плоскости к ней будет [160]:p(X − x) + q(Y − y) − (Z − z) = 0,где p и q обозначают частные производные fx′ (x, y) и fy′ (x, y).Если при некоторых значениях x = a и y = b функция z достигает максимума или минимума, то соответствующая точка называетсявершиною поверхности: в такой точке касательная плоскость должнабыть параллельна плоскости XY , т. е. частные производные p и q должны обращаться в нуль, и поверхность должна быть расположена по одну сторону от касательной плоскости, вблизи точки касания (рис. 163).506Гл.
V. Функции нескольких переменных[164Но может случиться, что p и q внекоторой точке обращаются в нуль,т. е. касательная плоскость параллельна плоскости XY , но поверхность вблизи этой точки расположена по обе стороны от касательнойплоскости, и в этом случае при соответствующих значениях x и y функция z не будет достигать ни максимума, ни минимума.Укажем на еще одну возможность, которая может осуществитьсяРис. 163.в случае, названном нами в предыдущем сомнительным. Положим, чтопри x = a, y = b касательная плоскость параллельная плоскости XY ,и поверхность расположена по одну сторону от касательной плоскости,но имеет с нею общую линию, проходящую через точку касания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
