1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 74
Текст из файла (страница 74)
В этомслучае разностьf (a + h, b + k) − f (a, b),не меняя знака при достаточно малых по абсолютному значению h и k,будет обращаться в нуль при h и k, отличных от нуля. Нетрудно осуществить этот случай, представив себе, например, круговой цилиндр, оськоторого параллельна плоскости XY . В этом случае также говорят, чтофункция f (x, y) имеет максимум или минимум при x = a и y = b [162].Поверхностьy2x22z = 2 − 2abесть гиперболический параболоид. Приравнивая нулю частные производные от z по x и y, получим x = y = 0, и касательная плоскость кповерхности в начале координат будет совпадать с плоскостью XY . Составим частные производные второго порядка:1∂2z= 2,∂x2a∂2z= 0,∂x∂y1∂2z= − 2,∂y 2bи, следовательно,AC − B 2 = −1< 0,a 2 b2165]§ 16. Формула Тейлора507т.
е. при x = y = 0 функция z не достигает нимаксимума, ни минимума, и вблизи начала координат поверхность расположена по обе стороны от касательной плоскости (рис. 164).2. На плоскости даны n точек Mi (ai , bi )(i =1, 2, . . . , n). Требуетсянайти точку M такую,чтобы сумма произведеРис. 164.ний данных положительных чисел mi на квадраты расстояний ее до точек Mi достигала минимума. Пусть (x, y) — координаты искомой точки M . Упомянутая вышесумма будет:nXw=mi [(x − ai )2 + (y − bi )2 ].i=1Приравнивая нулю частные производные wx′ и wy′ , получаемx=m1 a1 + m2 a2 + .
. . + mn an,m1 + m2 + . . . + mny=m 1 b1 + m 2 b2 + . . . + m n bn. (12)m1 + m2 + . . . + mnНетрудно проверить, что в рассматриваемом случае A и AC − B 2будут больше нуля, и, следовательно, найденным значениям x и y действительно будет соответствовать минимум w. Этот минимум являетсянаименьшим значением w на плоскости (x, y), ибо w → +∞ при беспредельном удалении точки (x, y).Если Mi — материальные точки и m1 — их массы, то формула (12)определяет координаты центра тяжести системы точек Mi .165. Дополнительные замечания о нахождении максимумови минимумов. Предыдущие рассуждения распространяются и на случай большего числа независимых переменных. Пусть, например, данафункция трех независимых переменных f (x, y, z).
Для нахождения техзначений независимых переменных, при которых эта функция достигаетмаксимума или минимума, надо решить систему трех уравнений с тремянеизвестными [162]fx′ (x, y, z) = 0,fy′ (x, y, z) = 0,fz′ (x, y, z) = 0.(13)508Гл. V. Функции нескольких переменных[165Пусть x = a, y = b, z = c — одно из решений этой системы. Наметимкратко путь для исследования этих значений. Формула Тейлора даетнам приращение функции в виде суммы однородных полиномов, расположенных по степеням приращений независимых переменных:∂f (a, b, c)∂f (a, b, c)∂f (a, b, c)+k+l+∂a∂b∂c(2)1∂∂∂+h+k+lf (a, b, c) + . .
. +2!∂a∂b∂c(n+1)∂∂1∂+h +k +lf (a+θh, b+θk, c+θl)(0 < θ < 1).(n + 1)!∂a∂b ∂c∆f = h(14)Значения x = a, y = b, z = c удовлетворяют уравнениям (13). Поэтомуh∂f (a, b, c)∂f (a, b, c)∂f (a, b, c)+k+l= 0.∂a∂b∂cЕсли совокупность членов второй степени относительно h, k, l(2)∂∂∂1+k+lhf (a, b, c)2!∂a∂b∂c(15)обращается в нуль только при h = k = l = 0, то знак правой части (14)при h, k, l, достаточно малых по абсолютному значению, совпадает сознаком выражения (15), и если этот знак (+), то f (a, b, c) является минимумом функции f (x, y, z), если же (—), то мы имеем дело с максимумом.Если выражение (15) может иметь разные знаки, то f (a, b, c) не являетсяни максимумом, ни минимумом функции. Если же, наконец, выражение(15), не меняя знака, обращается в нуль при некоторых значениях h, k, l,отличных от h = k = l = 0, то этот случай остается сомнительным итребуется исследование тех членов правой части (14), которые содержатh, k и l в степени выше второй.Приведем полное исследование этого сомнительного случая в частном примере функции двух независимых переменныхu = x2 − 2xy + y 2 + x3 + y 3 .Значения x = y = 0 обращают в нуль частные производныеКроме того, имеемA=∂ 2 u = 2,∂x x=0y=0B=∂ 2 u = −2,∂x∂y x=0y=0C=∂u∂x∂ 2 u = 2,∂y 2 x=0y=0и∂u.∂y165]§ 16.
Формула Тейлора509AC − B 2 = 0,т. е. мы имеем дело с сомнительным случаем. Характерная особенностьэтого случая состоит в том, что совокупность членов второго измерения ввыражении функции u представляет собою полный квадрат, и мы можемв рассматриваемом примере написатьu = (x − y)2 + (x3 + y 3 ).При x = y = 0 и u обращается в нуль. Для исследования знака u приx и y, близких к нулю, введем полярные координатыx = r cos α,y = r sin α.Подставляя эти значения x и y, получимu = r 2 [(cos α − sin α)2 + r(cos3 α + sin3 α)].При любом значении α в промежутке (0, 2π), отличном отπ4и5π,4cos α − sin α 6= 0,и, следовательно, для всякого такого значения α можно выбрать такоеположительное число r0 , что при r < r0 знак выражения, стоящего вквадратных скобках, будет (+).
При α = π4 этот знак также будет (+),мы получим знак (–), и, следовательно, при x = y = 0но при α = 5π4функция u не будет иметь ни максимума, ни минимума.Рассмотрим еще одну функциюu = (y − x2 )2 − x5 .иНетрудно проверить, что при x = y = 0 частные производные ∂u∂xобращаются в нуль, и что мы имеем дело с сомнительным случаем.Выбирая для x сколь угодно малое значение и полагая y = x2 , мы видим,что функция u приведется к (−x5 ) и ее знак будет зависеть от знака x,т. е. при x = y = 0 функция u не будет достигать ни максимума, ниминимума. Вводя полярные координаты, мы получили бы∂u∂yu = r 2 (sin2 α − 2r cos2 α sin α + r 2 cos4 α − r 3 cos5 α),510Гл. V.
Функции нескольких переменных[166и из этого выражения видно, что при всяком значении α, не исключая и значенийα = 0 и π, можно найти такое положительное число r0 , чтобы было u > 0 при r < r0 ,т. е. на всякой полупрямой, выходящей изначала координат, функция u имеет знак(+) вблизи начала координат. Однако, какмы видим, это не влечет за собой минимумав начале координат, где u = 0, ибо нельзянайти упомянутое число r0 так, чтобы оноРис. 165.было одно и то же для всех значений α.В [76] мы построили кривую (y − x2 )2 − x5 = 0 и видели, что она вначале координат имеет точку возврата второго рода, а левая часть этогоуравнения имеет знак (—) вблизи начала координат, если рассматриватьее значения в точках, заключающихся в заштрихованной области междудвумя ветвями кривой (рис.
165).166. Наибольшее и наименьшее значения функции. Положим,что требуется найти наибольшее значение некоторой функции f (x, y), заданной в определенной области. Указанный в [163] прием позволяет намнайти все максимумы функции внутри этой области, т. е. те точки внутри области, в которых значения функции не меньше, чем в соседнихс ними точках.
Для нахождения наибольшего значениях функции надопринять во внимание значения функции на границе (контуре) даннойобласти и сравнить ее максимумы внутри области со значениями на контуре. Наибольшее из всех этих значений и будет наибольшим значениемфункции в данной области. Аналогично находится и наименьшее значение функции в данной области. Для разъяснения сказанного рассмотримпример.На плоскости дан треугольник OAB(рис. 166), образованный осями OX и OYи прямойx + y − 1 = 0.(16)Рис. 166.Требуется найти такую точку этоготреугольника, для которой сумма квадратов ее расстояний до вершин треугольника была бы наименьшей.Принимая во внимание, что вершины Aи B имеют координаты (1, 0) и (0, 1), мы167]§ 16.
Формула Тейлора511можем написать выражение для вышеупомянутой суммы квадратов расстояний переменой точки (x, y) до вершин треугольника:z = 2x2 + 2y 2 + (x − 1)2 + (y − 1)2 .Приравнивая нулю частные производные первого порядка, получимx = y =1 /3 , и нетрудно показать, что этим значениям соответствуетминимум z =4 /3 . Исследует теперь значения z на контуре треугольника.Для исследования z на стороне OA надо в выражении для z положитьy = 0:z = 2x2 + (x − 1)2 + 1,причем x может меняться в промежутке (0, 1).∗ Поступая согласно [60],убедимся, что z на стороне OA принимает наименьшее значение z =5/3 вточке C, для которой x =1 /3 .
Точно так же и на стороне OB наименьшеезначение z будет равно 5/3 и будет достигаться в точке D, для которойy =1 /3 . Для исследования значений z на стороне AB надо, согласноуравнению (16), в выражении z положить y = 1 − x:z = 3x2 + 3(x − 1)2 ,причем x может меняться в промежутке (0, 1). В данном случае наименьшее значение z будет z =3 /2 и будет достигаться в точке E, длякоторой x = y =1/2 . Мы получаем, таким образом, следующую таблицувозможных наименьших значений функции:x, y1 1,3 31, 03z43530,53131 1,2 232Из этой таблицы мы видим, что наименьшее значение z =4 /3 будет достигаться в точке (1/3 , 1/3 ). Рассматриваемая задача может бытьтакже решена и для любого треугольника, и искомая точка являетсяцентром тяжести треугольника.167.
Относительные максимумы и минимумы. До сих пормы рассматривали максимумы и минимумы функции, предполагая,∗ Функция двух переменных, суженая на отрезок, оказывается функциейодной переменной.512Гл. V. Функции нескольких переменных[167что те переменные, от которых функция зависит, суть независимыепеременные. В подобных случаях максимумы и минимумы называются абсолютными.
Перейдем теперь к рассмотрению того случая,когда переменные, от которых зависит функция, связаны некоторыми соотношениями. В подобных случаях максимумы и минимумы называются относительными.∗Пусть требуется найти максимумы и минимумы функцииf (x1 , x2 , . . . , xm , xm+1 , . . . , xm+n )от (m + n) переменных xi , которые связаны n соотношениямиϕ1 (x1 , x2 , . . . , xm , xm+1 , xm+n ) = 0(17)(i = 1, 2, .
. . , n).В дальнейшем для сокращения письма мы не будем писать аргументов у функций. Разрешая n соотношений (17) относительноn переменных, например,xm+1 , xm+2 , . . . , xm+n ,мы выразим их через остальные m независимых переменныхx1 , x2 , . . . , xm ;подставляя эти выражения в функцию f , получим функцию от mнезависимых переменных, т.
е. придем к задаче отыскания абсолютных максимумов и минимумов. Но такое разрешение системы(17) часто бывает практически затруднительным и даже невыполнимым, и мы укажем другой способ решения задачи, способ множителей Лагранжа.Пусть в некоторой точке M (x1 , x2 , . . . , xm+n ) функция f достигает относительного максимума или минимума. Предполагая существование производных в точке M , можем утверждать, что полный дифференциал функции f должен обращаться в нуль в точкеM [162]:m+nX ∂fdxs = 0.(18)∂xss=1∗ В математической литратуре такие максимумы и минимумы часто называются условными.167]§ 16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
