1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Такимобразом, направляющие косинусы касательной к кривой в точке(x, y, x) пропорциональны ϕ′ (t), ψ ′ (t), ω ′ (t) или dx, dy, dz и уравнение касательной может быть написано в видеY −yZ −zX −x==,dxdydz(361 )X −xY −yZ −z= ′= ′.′ϕ (t)ψ (t)ω (t)(362 )илиВведем теперь новое понятие, а именно понятие касательной плоскости к поверхностиF (x, y, z) = 0.(37)Пусть M0 (x0 , y0 , z0 ) — некоторая точка этой поверхности и L —линия (32), лежащая на поверхности и проходящая через точкуM0 , так что при некотором t = t0 имеем x0 = ϕ(t0 ), y0 = ψ(t0 ),z0 = ω(t0 ). Предполагаем, что у функции (37) в точке M0 и ееокрестности имеются непрерывные частные производные по x, y иz, причем по крайней мере одна из этих производных отлична отнуля.
Пусть аналогичное свойство имеют и функции (32) при t = t0и в окрестности этого значения.160]§ 15. Производные и дифференциалы функции495Если подставим (32) в левую часть уравнения (37), то получимтождество по t, поскольку L лежит на поверхности (37). Дифференцируя это тождество по t, получимFx (x, y, z)ϕ′ (t) + Fy (x, y, z)ψ ′ (t) + Fz (x, y, z)ω ′ (t) = 0,где вместо x, y, z надо подставить функции (32), и в точке M0Fx (x0 , y0 , z0 )ϕ′ (t0 )+Fy (x0 , y0 , z0 )ψ ′ (t0 )+Fz (x0 , y0 , z0 )ω ′ (t0 ) = 0.
(38)Как мы видели, ϕ′ (t0 ), ψ ′ (t0 ), ω ′ (t0 ) пропорциональны направляющим косинусам касательной к линии L в точке M0 , и равенство (38)показывает, что касательная в точке M0 к любой линии L, лежащейна поверхности (37) и проходящей через точку M0 , перпендикулярна к некоторому определенному, не зависящему от выбора L направлению, у которого направляющие косинусы пропорциональнычислам, Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 ). Мы видим, такимобразом, что касательные в точке M0 ко всем линиям, лежащим наповерхности и проходящим через точку M0 , лежат в одной и тойже плоскости.
Эта плоскость называется касательной плоскостьюк поверхности (37) в точке M0 . Она проходит, очевидно, через точкуM0 . ПустьA(X − x0 ) + B(Y − y0 ) + C(Z − z0 ) = 0(39)— уравнение этой плоскости. Как известно из аналитической геометрии, коэффициенты A, B, C должны быть пропорциональнынаправляющим косинусам нормали к этой плоскости, т. е.
в данномслучае пропорциональны Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 ).В дальнейшем вместо точки M0 (x0 , y0 , z0 ) мы применим общее обозначение точки M (x, y, z). Таким образом, A, B и C должны бытьпропорциональны Fx′ (x0 , y0 , z0 ), Fy′ (x0 , y0 , z0 ), Fz′ (x0 , y0 , z0 ), и, следовательно, уравнение касательной плоскости окончательно можетбыть написано в виде:Fx′ (x, y, z)(X − x) + Fy′ (x, y, z)(Y − y)++ Fz′ (x, y, z)(Z − z) = 0, (40)496Гл. V. Функции нескольких переменных[160где X, Y , Z — текущие координаты касательной плоскости, а x, y,z — координаты точки касания M .Нормаль к касательной плоскости, проходящей через точку касания M , называется нормалью к поверхности.
Ее направляющиекосинусы пропорциональны, как мы сейчас видели, частным производным Fx′ (x, y, z), Fy′ (x, y, z), Fz′ (x, y, z), и уравнение ее, следовательно, будетX −xFx′ (x, y, z)=Y −yFy′ (x, y, z)=Z −zFz′ (x, y, z).(41)Если поверхность задана уравнением в явной форме: z = f (x, y),то уравнение (37) будет иметь видF (x, y, z) = f (x, y) − z = 0,и, следовательно,Fx′ (x, y, z) = fx′ (x, y),Fy′ (x, y, z) = fy′ (x, y),Fz′ (x, y, z) = −1.Обозначая, как это обыкновенно делается, частные производныеfx′ (x, y) и fy′ (x, y), буквами p и q, получим уравнение касательнойплоскостиp(X − x) + q(Y − y) − (Z − z) = 0(42)и нормали к поверхностиY −yZ −zX −x==.pq−1(43)Для эллипсоидаy2z2x2++=1a2b2c2уравнение касательной плоскости в некоторой его точке (x, y, z) будет2x2y2z(X − x) + 2 (Y − y) + 2 (Z − z) = 0a2bcилиyYzZx2y2z2xX++=++.a2b2c2a2b2c2161]§ 16.
Формула Тейлора497Правая часть этого уравнения равна единице, так как координаты(x, y, z) точки касания должны удовлетворять уравнению эллипсоида, иокончательно уравнение касательной плоскости будетyYzZxX+ 2 + 2 = 1.a2bc§ 16. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА.МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИИОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ161.
Распространение формулы Тейлора на случайфункции от нескольких независимы переменных. Для простоты письма ограничимся случаем функции f (x, y) от двух независимых переменных. Формула Тейлора даст разложение f (a + h, b +k) по степеням h и k приращений независимых переменных [127].Введем новую независимую переменную t, полагаяx = a + ht, y = b + kt.(1)Мы получим, таким образом, функцию одной независимой переменной t:ϕ(t) = f (x, y) = f (a + ht, b + kt),причемϕ(0) = f (a, b) и ϕ(1) = f (a + h, b + k).(2)Пользуясь формулой Маклорена с остаточным членом Лагранжа, можем написать [127]:ϕ(1) = ϕ(0)+ϕ(n) (0) ϕ(n+1) (θ)ϕ′ (0) ϕ′′ (0)++. .
.++(0 < θ < 1). (3)1!2!n!(n + 1)!Выразим теперь производные ϕ(p) (0) и ϕ(n+1) (θ) через функцию f (x, y). Из формулы (1) мы видим, что x и y суть линейныефункции независимой переменной t иdx = hdt,dy = kdt.498Гл. V. Функции нескольких переменных[161Мы можем поэтому пользоваться символической формулой приопределении дифференциала любого порядка функции ϕ(t) [156]:dp ϕ(t) =∂∂dx +dy∂x∂y(p)f (x, y) =(p)∂∂+kf (x, y)dtp ,h∂x∂yоткудаϕ(p) (t) =dpϕ (t)=dtp(p)∂∂h+kf (x, y).∂x∂yПри t = 0 имеем x = a и y = b, при t = θ имеем x = a + θh иy = b + θk, а потому(p)(p)∂∂∂∂+kf (a, b) = h+kf (x, y)h,x=a∂a∂b∂x∂yy=b(n+1)∂∂(n+1)+kϕ(θ) = hf (a + θh, b + θk).∂a∂bϕ(p) (0) =Подставляя эти выражения в формулу (3) и пользуясь еще формулами (2), получим окончательно формулу Тейлора∂∂+kf (a, b)+f (a + h, b + k) = f (a, b) + h∂a∂b(2)(n)∂∂∂∂11h+kh+kf (a, b)++f (a, b) + .
. . +2!∂a∂bn!∂a∂b(n+1)∂∂1+khf (a + θh, b + θk). (4)+(n + 1)!∂a∂bЗаменяя в этой формуле a на x, b на y и обозначая приращенияh и k независимых переменных через dx и dy, а приращение функции, т. е. f (x + dx, y + dy) − f (x, y), через ∆f (x, y), можем написатьформулу в следующем виде: n+1dd2 f (x, y)dn f (x, y)f (x, y)+ . .
.++∆f (x, y) = df (x, y)+.2!n!(n + 1)! x+θdxy+θdy162]§ 16. Формула Тейлора499Правая часть этой формулы содержит дифференциалы различныхпорядков функции f (x, y), а в последнем члене указаны те значениянезависимых переменных, которые надо подставить в производные(n+1)-го порядка, входящие в этот член.
Аналогично случаю функции от одной независимой переменной формула Маклорена, дающая разложение функции f (x, y) по степеням x, y, выводится изформулы Тейлора (4), если положить тамa = 0, b = 0;h = x, k = y.При выводе формулы (4) мы предполагали, что функция f (x, y)имеет непрерывные частные производные до порядка (n+1) в некоторой открытой области, содержащей отрезок прямой, соединяющий точки (a, b) и (a + h, b + k). При изменении t от нуля до единицы переменная точка x = a + ht, y = b + kt описывает упомянутыйотрезок. При n = 0 получаем формулу конечных приращенийf (a + h, b + k) − f (a, b) = hfa′ (a + θh, b + θk) + kfb′ (a + θh, b + θk).Отсюда, как и в [63], непосредственно следует, что если внутринекоторой области частные производные первого порядка равнывезде нулю, то функция сохраняет внутри упомянутой областипостоянное значение.162.
Необходимые условия максимума и минимумафункции. Пусть функция f (x, y) непрерывна в точке (a, b) и некоторой ее окрестности. Аналогично случаю одной независимой переменной мы будем говорить, что функция f (x, y) двух независимыхпеременных достигает максимума в точке (a, b), если значениеf (a, b) не меньше всех смежных значений функции, т. е.
если∆f = f (a + h, b + k) − f (a, b) 6 0,(5)при всех h и k достаточно малых по абсолютной величине.∗∗ Также, как и в случае функции одной переменной, существует окрестность точки (a, b), во всех точках которой, значения функции меньше, чем вточке (a, b).500Гл. V. Функции нескольких переменных[162Точно так же мы будем говорить, что функция f (x, y) достигает минимума при x = a и y = b, если∆f = f (a + h, b + k) − f (a, b) > 0(51 )при всех значениях h и k достаточно малых по абсолютной величине.Итак, пусть x = a, y = b — значения независимых переменных,при которых функция f (x, y) достигает максимума или минимума. Рассмотрим функцию f (x, b) одной независимой переменной x.По условию она должна достигать максимума или минимума приx = a, а потому ее производная по x при x = a должна или обращаться в нуль или же не существовать [58].
Таким же рассуждениемубедимся, что и производная функция f (a, y) по y должна или обращаться в нуль или не существовать при y = b. Мы приходим, таким образом, к следующему необходимому условию существованиямаксимума или минимума: функция f (x, y) двух независимых переменных может достигать максимума или минимума лишь притех значениях x и y, при которых частные производные первого(x,y)(x,y)и ∂f∂y)обращаются в нуль или не существуют.порядка ∂f∂xСовершенно так же, меняя только x или только y, мы можем,пользуясь сказанным в [58], утверждать, что при наличии производных второго порядка необходимым условием максимума явля226 0 и ∂ f∂y(x,y)6 0, а необходимым услоются неравенства ∂ f∂x(x,y)2222> 0 и ∂ f∂y(x,y)> 0.вием минимума — неравенства ∂ f∂x(x,y)22Предыдущие рассуждения остаются в силе и в случае функциилюбого числа независимых переменных.
Мы можем высказать, таким образом, следующее общее правило:Функция нескольких независимых переменных может достигать максимума или минимума лишь при тех значениях независимых переменных, при которых частные производные первого порядка обращаются в нуль или не существуют. В дальнейшем мыограничимся рассмотрением того случая, когда указанные частныепроизводные существуют.Дифференциал первого порядка равен сумме произведенийчастных производных по независимым переменным на дифференциалы соответствующих независимых переменных [153], и мы мо-163]§ 16.
Формула Тейлора501жем поэтому утверждать, что при значениях независимых переменных, при которых функция имеет максимум или минимум,ее дифференциал первого порядка должен обращаться в нуль. Этаформа необходимого условия удобная, потому что выражения первого дифференциала не зависят от выбора переменных [153].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
