1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Формула Тейлора513С другой стороны, дифференцируя соотношения (17), получим втой же точке M следующие n равенств:m+nXs=1∂ϕ1dx = 0 (i = 1, 2, . . . n).∂xsУмножим эти последние уравнения на неопределенные пока множителиλ1 , λ2 , λnи сложим их все почленно друг с другом и соотношением (18):m+nXs=1∂ϕ1∂ϕ2∂ϕn∂fdxs = 0.+ λ1+ λ2+ . . . + λn∂xs∂xs∂xs∂xs(19)Определим эти n множителей так, чтобы коэффициенты при nдифференциалахdxm+1 , dxm+2 , .
. . , dxm+nзависимых переменных были равны нулю, т. е. определим λ1 , λ2 ,. . . , λn из n равенств∂ϕ1∂ϕ2∂f∂ϕn+ λ1+ λ2+ . . . + λn=0∂xs∂xs∂xs∂xs(20)(s = m + 1, m + 2, . . . , m + n).Тогда в левой части соотношения (19) останутся лишь члены,содержащие дифференциалы независимых переменныхdx1 , dx2 , .
. . , dxm ,то естьm X∂ϕ1∂ϕ2∂ϕn∂f+ λ1+ λ2+ . . . + λndxs = 0.∂xs∂xs∂xs∂xss=1(21)Но дифференциалы dx1 , dx2 , . . . , dxm независимых переменныхсуть величины произвольные. Приравнивая один из них единице, а514Гл. V. Функции нескольких переменных[168остальные нулю, мы видим, что из равенства (21) вытекает, что всекоэффициенты этого неравенства должны быть равны нулю [158],то есть∂ϕ1∂ϕ2∂f∂ϕn+ λ1+ λ2+ . . . + λn=0∂xs∂xs∂xs∂xs(s = 1, 2, .
. . , m). (22)Надо считать, что во всех предыдущих формулах, начиная с(18), переменные xs заменены координатами той точки M , в которой f достигает, по предположению, относительного максимумаили минимума. В частности, это относится и к уравнениям (20), изкоторых должны быть определены λ1 , λ2 , . .
. , λn .Таким образом, уравнения (22), (20) и (17) выражают необходимое условие того, что в точке (x1 , x2 , . . . , xm+n ) достигается относительный максимум или минимум.Уравнения (22), (20) и (17) дадут нам (m + 2n) уравнений дляопределения (m + n) переменных xs и n множителей λi .Из системы (22) и (20) видно, что для определения тех значений переменных xs , при которых функция f достигает относительного максимума или минимума, надо приравнять нулю частные производные по всем xs от функции Φ, определяемой равенствомΦ = f + λ1 ϕ1 + λ2 ϕ2 + .
. . + λn ϕn ,считая λ1 , λ2 , . . . , λn постоянными, и присоединить n уравненийсвязи (17).В следующем параграфе мы кратко изложим вопрос о достаточных условиях.Отметим, что при выводе указанного правила мы предположили не только существование производных у функций f и ϕi , нои возможность определения множителей λ1 , λ2 , . . . , λn из уравнения (20). В связи с этим указанное правило может не дать намнекоторых значений (x1 , x2 , .
. . , xm+n ), для которых достигается относительный максимум или минимум. Мы выясним сейчас болееподробно это обстоятельство в простейших случаях и уточним теорию.168. Дополнительные замечания. Пусть ищутся относительныемаксимумы и минимумы функции f (x, y) при одном дополнительном168]§ 16. Формула Тейлора515ϕ(x, y) = 0,(23)условиии предположим, что, например, относительный максимум достигается вточке (x0 , y0 ), так что ϕ(x0 , y0 ) = 0. Пусть ϕ(x, y) имеет непрерывныечастные производные первого порядка в точке (x0 , y0 ) и ее некоторойокрестности, и предположим, кроме того, чтоϕ′y0 (x0 , y0 ) 6= 0.(24)При этом уравнение (23) определит единственным образом в окрестности x = x0 функцию y = ω(x), непрерывную, с непрерывной производной и такую, что y0 = ω(x0 ) [157].
Подставляя y = ω(x) в функциюf (x, y), мы можем утверждать, что функция f [x, ω(x)] одного переменного x должна достигать максимума при x = x0 , и, следовательно, ееполная производная по x должна обращаться в нуль при x = x0 , то естьfx′ 0 (x0 , y0 ) + fy′ 0 (x0 , y0 )ω ′ (x0 ) = 0.Подставляя y = ω(x) в (23) и дифференцируя по x, получим в точке(x0 , y0 ) [69]:ϕ′x0 (x0 , y0 ) + ϕ′y0 (x0 , y0 )ω ′ (x0 ) = 0.Умножая второе уравнение на λ и складывая почленно с первым, получим(fx′ 0 + λϕ′x0 ) + (fy′ 0 + λϕ′y0 )ω ′ (x0 ) = 0.Определяя λ из условия fy′ 0 + λϕ′y0 = 0, что возможно, в силу (24), будемиметь fx′ 0 + λϕ′x0 = 0, т.
е. придем к двум уравнениямfx′ 0 + λϕ′x0 = 0;fy′ 0 + λϕ′y0 = 0,(25)к которым надо присоединить еще уравнение ϕ(x0 , y0 ) = 0, чем иоправдывается способ множителей. Если условие (24) не выполнено, т. е.ϕ′y0 (x0 , y0 ) = 0, но ϕ′x0 (x0 , y0 ) 6= 0, то можно повторить все предыдущиерассуждения, меняя x и y ролями. Если в точке (x0 , y0 ) мы имеемϕ′x0 (x0 , y0 ) = 0иϕ′y0 (x0 , y0 ) = 0,(26)то мы не можем доказать, что точка (x0 , y0 ) получается при помощиправила множителей.Равенства (26) показывают, что точка (x0 , y0 ) является особой точкойкривой (23) [76]. Дадим сейчас пример такой задачи, для которой имеютместо условия (26) в точке относительного минимума.516Гл. V.
Функции нескольких переменных[168Пусть требуется найти кратчайшее расстояние от точки (−1, 0) доточек, лежащих на полукубической параболе y 2 − x3 = 0, изображеннойна рис. 87 [76]. Таким образом, ищется минимум функции f = (x+1)2 +y 2при условии ϕ = y 2 − x3 = 0. Геометрически очевидно, что минимум достигается в точке (0, 0), лежащей на полукубической параболе, причемэта точка является особой точкой параболы. Способ множителей приведет нас к следующим двум уравнениям:2(x + 1) − 3λx2 = 0,2y + 2λy = 0.При подстановке x = 0, y = 0 первое уравнение приводит к нелепомуравенству 2 = 0, а второе — удовлетворено при любом λ.
В данном случаеспособ множителей не приведет нас к точке (0, 0), в которой достигаетсяотносительный минимум.Совершенно аналогично можно показать, что если в точке (x0 , y0 , z0 )функция достигает максимума или минимума, при одном дополнительном условии ϕ(x, y, z) = 0, и притом по крайней мере одна из частных производных первого порядка функции ϕ отлична от нуля в точке(x0 , y0 , z0 ), то эта точка может быть получена по способу множителей.Аналогичны рассуждения и в более общих случаях, но при этом приходится ссылаться на теорему существования неявных функций для систем уравнений, о чем мы упоминали в [157].
Пусть, например, функция f (x, y, z) достигает относительного максимума в точке (x0 , y0 , z0 ) придвух дополнительных условияхϕ(x, y, z) = 0,ψ(x, y, z) = 0(27)и при обычных предположениях существования и непрерывности производных, и пусть мы имеемϕ′y0 (x0 , y0 , z0 )ψz′ 0 (x0 , y0 , z0 ) − ϕ′z0 (x0 , y0 , z0 )ψy′ 0 (x0 , y0 , z0 ) 6= 0.(28)При этом уравнения (27) определяют единственным образом функции: y = ω1 (x); z = ω2 (x) такие, что y0 = ω1 (x0 ), z0 = ω2 (x0 ). Подставляяэти функции в функцию f , получим функцию одного x, которая имеетмаксимум при x = x0 , откуда следуетfx′ 0 (x0 , y0 , z0 ) + fy′ 0 (x0 , y0 , z0 )ω1′ (x0 ) + fz′ 0 (x0 , y0 , z0 )ω2′ (x0 ) = 0.Подставляя указанные функции в (27) и дифференцируя по x в точке(x0 , y0 , z0 ), получимϕ′x0 + ϕ′y0 ω1′ (x0 ) + ϕ′z0 ω2′ (x0 ) = 0,ψx′ 0 + ψy′ 0 ω1′ (x0 ) + ψz′ 0 ω2′ (x0 ) = 0.168]§ 16.
Формула Тейлора517Умножаем эти равенства на λ1 , λ2 и складываем с предыдущим(fx′ 0 +λ1 ϕ′x0 +λ2 ψx′ 0 )+(fy′ 0 +λ1 ϕ′y0 +λ2 ψy′ 0 )+(fz′ 0 +λ1 ϕ′z0 +λ2 ψz′ 0 ) = 0. (29)Принимая во внимание (28), можем утверждать, что из двух уравненийfy′ 0 + λ1 ϕ′y0 + λ2 ψy′ 0 = 0,fz′ 0 + λ1 ϕ′z0 + λ2 ψz′ 0 = 0(30)мы сможем определить λ1 и λ2 , и уравнение (29) после этого приведетнас к равенствуfx′ 0 + λ1 ϕ′x0 + λ2 ψx′ 0 = 0,(31)чем и оправдывается способ множителей для данного случая.
К уравнениям (30) и (31) надо добавить ещеϕ(x0 , y0 , z0 ) = 0иψ(x0 , y0 , z0 ) = 0.Вместо условия (28) мы могли бы поставить аналогичное условие,дифференцируя не по y0 и z0 , а по x0 и y0 или по x0 и z0 . Но если нетолько выражение, стоящее в левой части (28), но и два других аналогичных выражения, которые получаются при дифференцировании по x0 иy0 или по x0 и z0 равны нулю, то мы не сможем оправдать способ множителей для точки (x0 , y0 , z0 ). Можно показать, что во всех рассмотренныхв следующем номере примерах мы не можем иметь такого случая.
Так,например, в примере I мы имеем одно дополнительное условие (32), и влевой части этого условия по крайней мере одно из чисел A, B и C отлично от нуля. Если, например, C 6= 0, то производная левой части (32)по z равна числу C и, следовательно, отлична от нуля во всякой точке(x, y, z). Это и указывает на то, что в рассматриваемом случае всякийответ должен получаться по способу множителей.Приведем теперь короткие указания о достаточных условиях относительного максимума или минимума, ограничиваясь тем случаем, когдамы имеем две независимые переменные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
